1、1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系,主題1四種命題之間的關(guān)系 1.觀察下面四個(gè)命題,命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系? (1)若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù). (2)若f(x)是周期函數(shù),則f(x)是正弦函數(shù).,(3)若f(x)不是正弦函數(shù),則f(x)不是周期函數(shù). (4)若f(x)不是周期函數(shù),則f(x)不是正弦函數(shù).,提示:命題(1)的條件是命題(2)的結(jié)論,且命題(1)的結(jié)論是命題(2)的條件,對于命題(1)和(3),其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定;對于命題(1)和(4),其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題

2、的結(jié)論的否定和條件的否定.,2.通過問題1中的探究,你發(fā)現(xiàn)其中任意兩個(gè)命題之間的相互關(guān)系嗎?你能用數(shù)學(xué)語言描述出來嗎? 提示:命題(2)(3)是互為逆否命題,命題(2)(4)是互否命題,命題(3)(4)是互逆命題.,結(jié)論:四種命題間的關(guān)系:,若q，則p,若q，則p,若p，則q,【微思考】 1.判斷兩個(gè)命題之間的關(guān)系關(guān)鍵看命題的條件與結(jié)論的哪方面? 提示:判斷兩個(gè)命題之間的關(guān)系關(guān)鍵看兩個(gè)命題的條件和結(jié)論之間是否互換了,是否都否定了.,2.能不能說“若p,則q”是逆命題或否命題?為什么? 提示:不能,逆命題或否命題都是相對于原命題而言的,只有確定了原命題,才有逆命題、否命題的說法,它們與原命題互為

3、逆命題、互為否命題.,3.如何利用原命題的逆命題寫出原命題的逆否命題? 提示:原命題的逆命題與原命題的逆否命題互為否命題,所以只需寫出原命題的逆命題的否命題,即得原命題的逆否命題.,主題2四種命題的真假性關(guān)系 1.主題1問題1中的四個(gè)命題,它們的真假性如何? 提示:命題(1)為真命題,(2)是假命題,(3)是假命題,(4)是真命題.,2.若命題(1)為原命題,你發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)命題的真假性相同?這種關(guān)系是否對任意的有這種關(guān)系的兩個(gè)命題都成立? 提示:原命題與逆否命題,逆命題與否命題,真假性相同.且這種關(guān)系對任意兩個(gè)互為逆否的命題都成立.,結(jié)論: 1.兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有_的真假性. 2.兩個(gè)

4、命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性 _.,相同,沒有關(guān)系,【微思考】 1.一個(gè)命題的逆命題與否命題是同真同假命題嗎? 提示:可以通過命題的結(jié)構(gòu)形式,即它的條件和結(jié)論分析,逆命題與否命題是互為逆否命題,故逆命題與否命題是同真同假的.,2.在四種命題中,真命題的個(gè)數(shù)可能有幾個(gè)? 提示:因?yàn)樵}與逆否命題、逆命題與否命題均互為逆否命題,它們同真或同假,所以真命題的個(gè)數(shù)可能是0,2或4.,【預(yù)習(xí)自測】 1.命題“若p不正確,則q不正確”的逆命題的同真同假命題是() A.若q正確,則p不正確 B.若q不正確,則p正確 C.若p正確,則q不正確 D.若p正確,則q正確,【解析】選D.與逆命題同真同

5、假的命題是否命題,否命題是“若p正確,則q正確”.,2.已知命題p:“若|a|=|b|,則a=b”,則命題p及其逆命題、否命題、逆否命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是() A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】選B.因?yàn)閍=-b時(shí),|a|=|b|,則命題p為假命題,命題p的逆命題為:若a=b,則|a|=|b|,為真命題; 又因?yàn)槊}的逆命題與否命題互為逆否命題,原命題與其逆否命題互為逆否命題,故真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè).,3.在原命題“若ABB,則ABA”與它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個(gè)數(shù)為_.,【解析】逆命題為“若ABA,則ABB”; 否命題為“若AB=B,則AB=A”; 逆否命題為“若AB=

6、A,則AB=B”; 全為真命題. 答案:4,4.已知a,bR,則命題“若ab,則 ”的逆命題、否命題、逆否命題,這三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為_.,【解析】原命題“ab,則 ”是假命題,其逆命題 “若 ,則ab”也是假命題,又原命題與逆否命題 同真同假,逆命題與否命題同真同假,故三個(gè)命題都是 假命題. 答案:0,類型一四種命題之間的相互關(guān)系 【典例1】(1)命題“若-11,則x1或x-1 D.若x21,則x1或x-1,(2)命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的() A.逆命題 B.否命題 C.逆否命題 D.無關(guān)命題,【解題指南】 (1)根據(jù)互為逆否命題的概念

7、結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷. (2)分清涉及的命題的條件和結(jié)論,比較兩個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系即可解決.,【解析】(1)選D.若原命題是“若p,則q”,則逆否命題為“若q,則p”,故此命題的逆否命題是“若x21,則x1或x-1”. (2)選A.從兩種命題的形式來看是條件與結(jié)論換位,因此為逆命題.,【方法總結(jié)】判斷四種命題關(guān)系的關(guān)鍵 關(guān)鍵是正確找出原命題的條件和結(jié)論,若原命題不是“若p,則q”的形式,應(yīng)改寫成“若p,則q”的形式,并寫出條件和結(jié)論的否定:,(1)“換位”得到“若q,則p”為逆命題. (2)“換質(zhì)”(分別否定)得到“若p,則q”為否命題. (3)“換位”又“換質(zhì)”得到“若q,則p”為逆否

8、命題.,【鞏固訓(xùn)練】命題“a,b都是奇數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是() A.a,b都不是奇數(shù),則a+b是偶數(shù) B.a+b是偶數(shù),則a,b都是奇數(shù) C.a+b不是偶數(shù),則a,b都不是奇數(shù) D.a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù),【解析】選D.“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,故該命題的逆否命題是:“a+b不是偶數(shù),則a,b不都是奇數(shù)”.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列命題中: 若一個(gè)四邊形的四條邊不相等,則它不是正方形; 若一個(gè)四邊形對角互補(bǔ),則它內(nèi)接于圓; 正方形的四條邊相等; 圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ);,對角不互補(bǔ)的四邊形不內(nèi)接于圓; 若一個(gè)四邊形的四條邊相等,則它是正方形. 其中互為逆命題的

9、有_;互為否命題的有_;互為逆否命題的有_.,【解析】命題可改寫為“若一個(gè)四邊形是正方形,則它的四條邊相等”;命題可改寫為“若一個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形,則它的對角互補(bǔ)”;命題可改寫為“若一個(gè)四邊形的對角不互補(bǔ),則它不內(nèi)接于圓”,再依據(jù)四種命題間的關(guān)系便不難判斷. 答案:和,和和,和和,和,類型二四種命題的真假性 【典例2】(1)原命題為“若 an,nN*,則an為遞減數(shù)列”,關(guān)于逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是() A.真、真、真B.假、假、真 C.真、真、假D.假、假、假,(2)原命題:“a,b,cR,若ab,則ac2bc2”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題共

10、有() A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè),【解題指南】(1)因?yàn)樵}和其逆否命題同真假,逆命題和否命題同真假,所以只要判斷原命題和它的逆命題的真假即可. (2)寫出逆命題、否命題及逆否命題,然后判斷真假.,【解析】(1)選A.由已知條件可以判斷原命題為真,所以它的逆否命題也為真;而它的逆命題為真,所以它的否命題亦為真.,(2)選C.對原命題:當(dāng)c=0時(shí)ac2=bc2,故原命題為假命題.又逆命題為“a,b,cR,若ac2bc2,則ab”,由不等式性質(zhì),可得此命題為真命題.由命題的同真同假性知,原命題與逆否命題為假命題,逆命題與否命題為真命題.,【延伸探究】若把本例(1)中“若 a2a3”

11、,其他條件不 變,則結(jié)果如何?,【解析】由已知條件可以判斷原命題為真,所以它的逆否命題也為真,而它的逆命題為真,所以它的否命題亦為真.,【方法總結(jié)】判斷四種命題真假的兩種方法 (1)直接判斷:利用命題真假判斷的方法判斷. (2)同真同假轉(zhuǎn)化:由于互為逆否命題的真假具有同真同假性,因而在判斷四種命題的真假時(shí),可以轉(zhuǎn)化為先判斷原命題和逆(否)命題的真假,再利用互為逆否命題的真假具有同真同假性即可完成.,【拓展延伸】轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方 法去解決數(shù)學(xué)問題;它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與 形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;它可以將較為煩瑣、復(fù)雜的問題,變 成比較簡單的問題;通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等,思維過程,選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換,將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題(相對來說,自己較熟悉的問題),并通過對新問題的求解,達(dá)到解決原問題的目的.,【鞏固訓(xùn)練】已知xR,a=x2+ ,b=-x+2,c=x2-x+1. 求證:a,b,c中至少有一個(gè)不小于1.