1、1,水葫蘆生長(zhǎng)及治理模型,周繼順 0018103 復(fù)旦大學(xué) 03.04.02,2,提要,提出問(wèn)題 分析問(wèn)題 提出解決問(wèn)題的方案 利用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題 應(yīng)用舉例 模型改進(jìn),3,1.水葫蘆污染的現(xiàn)狀,水葫蘆是50多年前從南美的巴西引進(jìn)來(lái)的，是外來(lái)物種。它喜歡生長(zhǎng)于溫暖向陽(yáng)及富含養(yǎng)分的水域中，無(wú)性繁殖能力特別強(qiáng)，每年的九、十月份是生長(zhǎng)旺季。在適宜的條件下，每5天就能繁殖新株，也能開(kāi)花結(jié)實(shí)產(chǎn)生種子而進(jìn)行有性繁殖，一枝花大約結(jié)300粒種子。一公頃水面的水葫蘆就能擠滿200萬(wàn)株，重達(dá)300多噸。在上海，每年內(nèi)河水域的水葫蘆總量高達(dá)200萬(wàn)噸，覆蓋了405.57平方公里中25%的水面。,4,2.水葫蘆污染的

2、形成,由于水葫蘆在水中不及時(shí)打撈上岸，會(huì)腐爛變臭，從而造成環(huán)境污染。上海的水葫蘆污染已日趨嚴(yán)重，水域整治已迫在眉睫，在上海水域的水葫蘆污染形成有以下幾個(gè)原因。 由長(zhǎng)江上游及蘇浙地區(qū)漂移而下。 水葫蘆自身強(qiáng)大的繁殖能力。 水葫蘆與周?chē)脑S多昆蟲(chóng)和病原菌建立了穩(wěn)定的生態(tài)平衡關(guān)系。,5,3.水葫蘆的危害,河道堵塞 航運(yùn)受阻 水質(zhì)污染 破壞生態(tài),6,4.建立水葫蘆生長(zhǎng)方程,由于上游的水葫蘆也在不斷繁殖，所以每天從上游漂移進(jìn)上海的水葫蘆的速度也不斷增加，于是我們?cè)O(shè)流速為f(t)，而已在上海水域的水葫蘆自身繁殖加速度與水域中水葫蘆增加速度成正比，我們?cè)O(shè)為k v。而這個(gè)k的大小取決于此水域生態(tài)系統(tǒng)的大小。我

3、們?cè)O(shè)水葫蘆增加速度為v，這樣我們可排出如下方程。,7,5.計(jì)算水域中水葫蘆的數(shù)量,由以上方程我們可以利用微分方程數(shù)值方法計(jì)算每一個(gè)t時(shí)刻，水葫蘆增加量v的值，我們只需得到若干個(gè)v的值，就能利用數(shù)值積分方法計(jì)算水葫蘆數(shù)量M。（見(jiàn)右邊）,8,6.水葫蘆數(shù)量增長(zhǎng)分析,我們由假設(shè)可知流速函數(shù)f ( t )必為遞增的，且其一階導(dǎo)數(shù)也為遞增的。而k必為正值，那么可知v也為遞增的。 這樣，水葫蘆的增長(zhǎng)必定越來(lái)越快，所以我們必須及時(shí)對(duì)它進(jìn)行治理，否則其必將迅速蔓延，無(wú)法控制。以下我們將討論如何治理。,9,7.水葫蘆治理方法,截?cái)嗌嫌纹频乃J 大力打撈漂浮在水域中的水葫蘆 運(yùn)用生物（如象甲）防治以降低水葫蘆

4、繁殖速度 破壞水葫蘆生態(tài)系統(tǒng),10,8.各種方法的單獨(dú)應(yīng)用（1）,我們先使用打撈這一最簡(jiǎn)單的方法。設(shè)v(0)=10000噸/月，而流速f( t )為 噸/月,且k=0.5，每月可打撈4000 噸,那么我們可以得出方程如下：,11,8（2）,使用RK4方法可觀察到前十月的速度曲線從中可知單純打撈是無(wú)濟(jì)于事的，水葫蘆的增長(zhǎng)速度很快會(huì)超過(guò)打撈速度。,12,8（3）,再看利用生物防治方法，設(shè)象甲幼蟲(chóng)定期投放入水域，而隨著幼蟲(chóng)的生長(zhǎng)，其對(duì)水葫蘆的食用量也越來(lái)越大，我們?cè)O(shè)其食用量為 ，則方程可寫(xiě)為：,13,8（4）,使用RK4方法可觀察到前十月的速度曲線從中可知單純生物治理也是沒(méi)有什么作用的。,14,8（

5、5）,由于破壞水葫蘆生態(tài)系統(tǒng)只是單純減少之前的系數(shù)，速度仍增長(zhǎng)很快，所以也是沒(méi)有很大作用的。 從觀察可知截?cái)嗌嫌纹频乃J可使方程中的 這一項(xiàng)沒(méi)有，這樣再使用以上方法就會(huì)有明顯效果。,15,9.各種方法的綜合使用（1）,我們?cè)诮財(cái)嗌嫌挝廴镜那疤嵯?，使?（1），8（3），8（5）三種方法。得到方程為：,16,9（2）,我們也觀察10個(gè)月的速度變化（取值如前），可以看出速度得到了控制，污染不會(huì)再蔓延了。,17,10.具體例子分析（1）,幾點(diǎn)假設(shè)： 黃浦江中某水域現(xiàn)有水葫蘆10萬(wàn)噸 水葫蘆繁殖系數(shù)0.5,生態(tài)系統(tǒng)破壞后為0.3 現(xiàn)今水葫蘆增長(zhǎng)速度為1萬(wàn)噸/月 每月可打撈4000噸 每批象甲蟲(chóng)食用

6、水葫蘆速度為500 噸/月,18,10（2）,在以上幾點(diǎn)假設(shè)下，問(wèn)二年內(nèi)黃浦江中此水域能否完全消除水葫蘆污染？ 我們先建立速度方程。,19,10（3）,我們通過(guò) matlab命令ode45作出v在兩年內(nèi)的函數(shù)圖象。（見(jiàn)右邊）,20,10（4）,從圖中可以看出當(dāng)t=13時(shí)，水葫蘆的增長(zhǎng)速度幾乎為0，即在第13個(gè)月時(shí)，我們就能控制水葫蘆增長(zhǎng)了。 接下來(lái)我們就要計(jì)算能不能在余下的幾個(gè)月中清理完已在水域中的水葫蘆。,21,10（5）,要計(jì)算水域中的水葫蘆數(shù)量，我們可以利用已學(xué)過(guò)的數(shù)值積分的Matlab命令。（具體操作見(jiàn)右邊）,22,10（6）,則此時(shí)水域中有水葫蘆M=3.4684137e+5噸。 由于

7、水葫蘆增長(zhǎng)速度為0，象甲蟲(chóng)由于食物量減少，從而其數(shù)量也會(huì)減少，那么象甲蟲(chóng)消滅水葫蘆的速度也會(huì)相應(yīng)減少，于是，我們要在此時(shí)再投入一批象甲蟲(chóng)，增加消滅水葫蘆的速度。,23,10（7）,為計(jì)算方便，我們可假設(shè)第一批象甲蟲(chóng)消滅水葫蘆的速度已和水葫蘆繁殖速度相同。即我們可認(rèn)為此時(shí)象甲消滅水葫蘆速度為0，而水葫蘆則不再繁殖，第二批象甲蟲(chóng)消滅水葫蘆速度以1000 t速度遞增，則可得方程：,24,10（8）,解上述方程，并得到余下11個(gè)月的圖象，并對(duì)其進(jìn)行積分， 可知在11個(gè)月內(nèi)，象甲能在控制水葫蘆繁殖之外再消滅2.2183333e+5噸水葫蘆。,25,10（9）,這樣還有1.250080390843610e

8、+5噸水葫蘆需要由環(huán)衛(wèi)工人打撈，由簡(jiǎn)單計(jì)算可知二年內(nèi)可撈 ，由于有近13萬(wàn)噸水葫蘆要打撈，所以可知在兩年內(nèi)無(wú)法將水葫蘆整治干凈，必須加大打撈力度。如果每月打撈6000噸，即能在兩年內(nèi)清除水葫蘆污染。（可見(jiàn)下頁(yè)簡(jiǎn)圖）,26,10（10）,27,11.模型改進(jìn)（1）,由于我們完全不考慮上游漂浮來(lái)的水葫蘆，得到的結(jié)果并不能完全反映實(shí)際情況，所以我們?nèi)钥煽紤]上游水葫蘆的漂浮速度為f ( t )?？傻梅匠蹋?28,11（2）,而也有一部分水葫蘆流入大海中，我們?cè)O(shè)其速度與水葫蘆增長(zhǎng)速度有關(guān)，其速度增量為0.1v,設(shè)f( t )為1000 t，則有方程及圖象：,29,11（3）,右圖中綠線為原方程曲線，藍(lán)線為新方程曲線。從中可以看出實(shí)際上不需要二年時(shí)間就能完全治理好水葫蘆污染。,30,12.結(jié)束語(yǔ),上海作為國(guó)際大都市,治理環(huán)境問(wèn)題刻