1、(適用于信息管理與信息系統(tǒng)、工商管理專業(yè) 30H) 主講教師：屈春艷,管理決策模型與方法（AHP部分）,第四章 層次分析法,決策的研究中存在的兩種傾向： 一是過(guò)分地依賴數(shù)學(xué)模型，期望對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行定量而精確的分析并追求大而復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，其結(jié)果是無(wú)法反映人們的經(jīng)驗(yàn)因素，因而使相當(dāng)多的數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解與現(xiàn)實(shí)中的最優(yōu)相距甚遠(yuǎn)。 二是過(guò)多的偏重于行為、邏輯、推理方面的研究和分析，而忽視了把重要因素定量地反映到?jīng)Q策中來(lái)，以致于不能夠定量描述因素之間的相關(guān)關(guān)系。 正是在這種背景下，產(chǎn)生了層次分析理論。,層次分析法(The Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP方法)是美國(guó)運(yùn)籌

2、學(xué)家A.L.Saaty教授二十世紀(jì)七十年代提出的，它是一種新的定性與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析方法。AHP本質(zhì)上是一種決策思維方式，人們往往把AHP看作一種最優(yōu)化技術(shù)，歸入多目標(biāo)決策的一個(gè)分支，但AHP改變了以往最優(yōu)化技術(shù)只能處理定量分析問(wèn)題的傳統(tǒng)觀念，而率先進(jìn)入了長(zhǎng)期滯留在定性分析水平上的許多科學(xué)研究的領(lǐng)地。AHP最大的貢獻(xiàn)在于提供了對(duì)非定量事件作定量分析的簡(jiǎn)便方法，而導(dǎo)致這種貢獻(xiàn)的最關(guān)鍵突破在于對(duì)人的主觀判斷做出了客觀的定量描述。,層次分析法的理論核心,AHP法是綜合定性與定量分析，使決策者對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的決策思維過(guò)程模型化、數(shù)量化或規(guī)范化的一種方法，其理論核心是：很多復(fù)雜的系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為有序的

3、遞階層次結(jié)構(gòu)，決策問(wèn)題通常表現(xiàn)為一組方案優(yōu)先順序的排列問(wèn)題，而這種排序又可以通過(guò)簡(jiǎn)單的兩兩比較形式導(dǎo)出。,層次分析法的特點(diǎn),（1）思路簡(jiǎn)單明瞭，它將決策者的思維過(guò)程條理化、數(shù)量化，便于計(jì)算，容易被人們所接受； （2）所需要的定量數(shù)據(jù)較少，但對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)，包含的因素及其內(nèi)在關(guān)系分析得清楚； （3）可用于復(fù)雜的非結(jié)構(gòu)化的問(wèn)題，以及多目標(biāo)、多準(zhǔn)則、多時(shí)段等各種類型問(wèn)題的決策分析，具有較廣泛的實(shí)用性。,第一節(jié) 層次分析法的原理,一、AHP的基本思想 層次分析法對(duì)復(fù)雜決策問(wèn)題處理的基本思想是：在對(duì)問(wèn)題充分研究后首先分析問(wèn)題內(nèi)在因素間的聯(lián)系，并把它劃分為若干層次，如措施層(或方案層)、準(zhǔn)則層（含子準(zhǔn)則）、

4、目標(biāo)層等。措施層指的是決策問(wèn)題的可行方案，準(zhǔn)則層是指評(píng)價(jià)方案優(yōu)劣的準(zhǔn)則，目標(biāo)層指的是解決問(wèn)題所追求的總目標(biāo)，把各層間要求的聯(lián)系用直線表示出來(lái)，所形成的層次結(jié)構(gòu)如下圖所示。,AHP的基本思想(另一種說(shuō)法),以系統(tǒng)方法為指導(dǎo)，在對(duì)問(wèn)題充分研究后首先分析問(wèn)題內(nèi)在因素間的聯(lián)系，并把它劃分為若干層次，然后通過(guò)兩兩比較確定同一層次元素相對(duì)上一層次元素的數(shù)量關(guān)系，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行排序的一種簡(jiǎn)潔實(shí)用的決策方法。,二、層次分析法的基本原理,復(fù)雜的決策問(wèn)題往往涉及到許多因素，如社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)、科技乃至自然環(huán)境等，因此要認(rèn)識(shí)一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)就比較困難。層次分析法正是處理此類問(wèn)題的有效方法。它

5、首先提出了遞階層次結(jié)構(gòu)理論，然后給這種遞階層次結(jié)構(gòu)進(jìn)行定量描述，通過(guò)排序理論得出滿足系統(tǒng)總目標(biāo)要求的各個(gè)方案（或措施）的優(yōu)先次序。因此，層次分析法的基本原理可歸納為層次的數(shù)學(xué)原理特征向量方法、遞階層次結(jié)構(gòu)原理、兩兩比較標(biāo)度與判斷原理、層次排序原理。,（一）層次分析法的數(shù)學(xué)原理 特征向量方法,重量?jī)蓛蛇M(jìn)行比較如下：,個(gè)物體,重量分別記為,?，F(xiàn)將每個(gè)物體的,假設(shè)有,，它們的,物體重量?jī)蓛杀容^結(jié)果：,若以矩陣來(lái)表示各物體的這種相互重量關(guān)系，即,上式中，,稱為判斷矩陣。,則有：,若取重量向量,上述事實(shí)提示我們，如果有一組物體(假設(shè)其重量總和為1)，需要知道它們的重量，而又沒(méi)有衡器，那么我們就可以通過(guò)兩

6、兩比較它們的相互重量，得出每對(duì)物體重量比的判斷，從而構(gòu)成判斷矩陣;然后通過(guò)求解判斷,根據(jù)這一思路，對(duì)于復(fù)雜管理決策問(wèn)題，通過(guò)建立層次分析模型, 對(duì)于一些無(wú)法測(cè)量的因素，只要引入合理的標(biāo)度，構(gòu)造出判斷矩陣，就可以應(yīng)用這種求解判斷矩陣的最大特征根及其特性向量的方法,來(lái)確定出相應(yīng)各種方案、措施、政策等相對(duì)于總目標(biāo)的重要性權(quán)值(因素之間的相對(duì)重要性)，從而為有關(guān)決策提供依據(jù)。,一個(gè)復(fù)雜的無(wú)結(jié)構(gòu)問(wèn)題可分解為它的若干組成部分或因素。例如，目標(biāo)、約束、準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則、方案等,按照屬性的不同把這些因素分組形成互不相交的層次，上一層次的因素對(duì)相鄰的下一層次的全部或某些因素起著支配作用，形成按層次自上而下的逐層支配

7、關(guān)系,具有這種性質(zhì)的層次稱為遞階層次。分析建立一個(gè)有效的合理的遞階層次結(jié)構(gòu)對(duì)于能否解決問(wèn)題具有決定性意義。,（二）遞階層次結(jié)構(gòu)原理,例: 某人擬從相同配置的金長(zhǎng)城電腦、聯(lián)想電腦和托普電腦中購(gòu)買一臺(tái)，其決策的層次結(jié)構(gòu)模型如下圖所示。,（三）兩兩比較的標(biāo)度與判斷原理,而言，,為,層的因素，,則有判斷矩陣如表4-1所示。其中,表示對(duì),相對(duì)重要性的數(shù)值表現(xiàn)形式。,對(duì),如，設(shè),表41 判斷矩陣,任何一個(gè)遞階層次結(jié)構(gòu)，均可以建立若干個(gè)判斷矩陣，判斷矩陣數(shù)目是該遞階層次結(jié)構(gòu)圖中，除最低一層以外的所有各層次的因素之和。 對(duì)于兩兩比較的比率采用什么標(biāo)度，也即判斷比率問(wèn)題。層次分析法采用的標(biāo)度是1-9標(biāo)度法，如表

8、4-2 所示。,表42 標(biāo)度方法,AHP從決策角度提出社會(huì)經(jīng)濟(jì)因素的測(cè)度方式。在其測(cè)度過(guò)程中存在兩種標(biāo)度： 一種是規(guī)定性標(biāo)度，它用于在某一準(zhǔn)則下兩個(gè)元素相對(duì)重要性或優(yōu)劣的測(cè)度，屬于比例標(biāo)度，標(biāo)度值為19之間的整數(shù)及其倒數(shù)，測(cè)量方法是兩兩比較判斷并賦值，其結(jié)果表現(xiàn)為正的互反矩陣。 另一種標(biāo)度是導(dǎo)出標(biāo)度，用于被比較元素相對(duì)重要性程度的測(cè)量，標(biāo)度值為0，1區(qū)間的實(shí)數(shù)，通過(guò)計(jì)算判斷矩陣的特征向量導(dǎo)出測(cè)度結(jié)果，它涉及AHP的排序理論(后面的內(nèi)容將詳細(xì)敘述)。,(1)AHP測(cè)度是通過(guò)兩兩比較判斷給出的，在進(jìn)行這種判斷的時(shí)候，被比較的對(duì)象在它們所具有的某種屬性特征上應(yīng)該是比較接近的，否則定性分析將沒(méi)有什么意

9、義，而且測(cè)量也缺乏必要的精度。在估計(jì)事物的區(qū)別時(shí)，可以用五種判斷很好表示其特征的重要程度(或強(qiáng)弱程度)，即同等重要、較重要、重要、很重要、極其重要(或相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng))。當(dāng)需要更高精度時(shí)，還可以在相鄰判斷之間做出比較，這樣就有九個(gè)數(shù)值，它們有連貫性，因此在實(shí)踐中可以應(yīng)用。同時(shí)，當(dāng)一個(gè)客體比另一客體的強(qiáng)弱判斷用19中的某個(gè)整數(shù)表達(dá)時(shí)，后者與前者相比，其判斷當(dāng)然可以用這些整數(shù)的倒數(shù)來(lái)表達(dá)，這是比例標(biāo)度用19的整數(shù)及其倒數(shù)的理由之一。,采用19比例標(biāo)度方法的依據(jù),(2)人們對(duì)事物某種屬性同時(shí)做出判斷比較，并且使判斷基本保持一致性時(shí)，所能感知的最小差異是多少？這個(gè)問(wèn)題屬于心里學(xué)范疇。顯然，

10、這個(gè)最小差異與被比較事物所涉及的屬性有關(guān)。很多心里學(xué)家在此方面做過(guò)實(shí)驗(yàn)。心里學(xué)家G.A.Miller的實(shí)驗(yàn)表明在某種屬性上對(duì)若干個(gè)不同物體進(jìn)行辨別時(shí)，普通人能正確辨別的物體數(shù)目在59個(gè)之間。Miller認(rèn)為， 9個(gè)項(xiàng)目為心理學(xué)上的測(cè)量極限。這表明用19足以表述人在同時(shí)比較某種屬性差異的檔次判斷，這是比例標(biāo)度采取19標(biāo)度的第二個(gè)理由。,(3)19標(biāo)度是一種比例標(biāo)度，以此為元素組成的判斷矩陣，一般不具有一致性。這里的一致性包括基本一致性與次序一致性。 基本一致性是指：如果要素甲比要素乙重要兩倍，要素乙比要素丙重要四倍，則要素甲比要素丙重要八倍。在介紹判斷矩陣時(shí)所給公式 bij bjk = bik就

11、是基本一致性的數(shù)學(xué)表達(dá)式； 所謂次序一致性是說(shuō)：如果要素甲比要素乙重要，乙又比丙重要，則要素甲比要素丙重要。,利用AHP的比例標(biāo)度進(jìn)行判斷賦值，允許違反上述兩類一致性。即便是在判斷不一致甚至相互矛盾的情況下對(duì)被比較要素進(jìn)行標(biāo)度，所求得的導(dǎo)出標(biāo)度仍然趨近于實(shí)際情況。況且這種標(biāo)度方法不要求對(duì)被比較的事物有專門的知識(shí)，普通非專業(yè)人員也可使用。因此19標(biāo)度在眾多可采用的標(biāo)度中，堪稱一種最佳標(biāo)度，這是選擇19標(biāo)度的第三個(gè)理由。,(4)如果需要用比標(biāo)度19更大的數(shù)，可用聚類分析方法將因素進(jìn)一步分解聚類，在比較這些因素之前，先比較這些類，這樣就可使所比較的因素間的差別落在19標(biāo)度范圍內(nèi)。,（四）層次排序原理

12、,層次排序原理包括：層次單排序、層次總排序和一致性檢驗(yàn)理論。,1、層次單排序原理：確定各層次中因素對(duì)相鄰上一層次的各因素的優(yōu)先次序稱為層次單排序。,層次單排序可歸結(jié)為計(jì)算判斷矩陣的特征根和特征向量問(wèn)題，即對(duì)判斷矩陣,應(yīng)因素單排序的權(quán)值。最常見的求特征向量的計(jì)算方法有和積法(求和法)、方根法、正規(guī)化求和法及特征向量法。 前三種方法是近似方法，使得人們可以在使用小型計(jì)算器并保證足夠精確度的條件下應(yīng)用層次分析法；而最后一種方法則是嚴(yán)格計(jì)算特征向量的方法。,（1）求和法,計(jì)算步驟是： 把判斷矩陣的元素依行相加，即,（2）正規(guī)化求和法,具體步驟如下： 將判斷矩陣每一列進(jìn)行正規(guī)化,正規(guī)化后，每列各元素之和

13、為1；,每一列經(jīng)過(guò)正規(guī)化后的判斷矩陣按行相加,（3） 方根法,計(jì)算步驟如下：,計(jì)算判斷矩陣每一行元素的乘積,（4）特征向量法,計(jì)算,取一個(gè)與判斷矩陣同階的初值向量,以上計(jì)算可以在計(jì)算機(jī)上很容易地完成。但由于這種計(jì)算并不要求太高的精確度，判斷矩陣元素的給出也不是太精確，因此用前述的第二、三種方法已經(jīng)足夠了。,（四）層次排序原理(續(xù)),2、一致性檢驗(yàn)原理：在計(jì)算出層次單排序結(jié)果之后，對(duì)于計(jì)算所依據(jù)的判斷矩陣還要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。按照各因素重要程度、優(yōu)先次序?qū)Ρ鹊膬?nèi)在規(guī)律，判斷矩陣應(yīng)該滿足以下三個(gè)條件（稱為“完全一致性條件”）。 (1) 對(duì)角線元素為1,(2) 右上三角和左下三角對(duì)應(yīng)元素互為倒數(shù),(3

14、) 因素優(yōu)先次序的傳遞關(guān)系,如果給出的判斷矩陣完全滿足這三個(gè)條件，說(shuō)明評(píng)分與決策準(zhǔn)則沒(méi)有矛盾。但由于客觀事物的復(fù)雜性，人們?cè)诜治鰡?wèn)題時(shí)，認(rèn)識(shí)具有片面性，要達(dá)到完全一致性是非常困難的。例如甲、乙兩個(gè)因素相比較，當(dāng)問(wèn)甲比乙的重要等級(jí)時(shí)，回答是較重要，甲得5分，而問(wèn)乙比甲的重要等級(jí)時(shí),可能回答是乙比甲稍次要，乙得0.25分，這里51/0.25分,破壞了一致性條件，判斷出現(xiàn)矛盾,正確的應(yīng)是乙得1/5分。,而一致性檢驗(yàn)是根據(jù)矩陣?yán)碚搧?lái)進(jìn)行的，,可以看出CI為零，具有完全一致性，CI越大，一致性越差。對(duì)復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行判斷時(shí)，做到完全一致性比較困難，但是必須要有滿意一致性。何為滿意一致性呢？為此，將CI與平均

15、隨機(jī)一致性指標(biāo)RI進(jìn)行比較(RI是通過(guò)多次隨機(jī)試驗(yàn)，通過(guò)改變判斷矩陣的數(shù)值引起CI的變化，再將不同的CI平均起來(lái)而求得的。)，各階RI值如表4-3所示。,表4-3 各階RI的值,在這里，對(duì)于1，2階判斷矩陣，RI只是形式上的，因?yàn)?，2階判斷矩陣總具有完全一致性，當(dāng)階數(shù)大于2時(shí)，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱為隨機(jī)一致性比率，記為CR。當(dāng)CR0.10時(shí)，判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需要對(duì)判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整。,（四）層次排序原理(續(xù)),3、層次總排序及其一致性檢驗(yàn)：計(jì)算同一層次上不同因素對(duì)總目標(biāo)的優(yōu)先次序稱為層次總排序。這一過(guò)程是由最高層次到最底層次逐層進(jìn)行的。,此

16、時(shí)B層次總排序權(quán)值由表4-4給出。,其層次總排序權(quán)值分別為,下一層次B包含n個(gè)因素,它們對(duì)于因素,的層次單排序權(quán)值分別為,(當(dāng)Bk,與,無(wú)聯(lián)系時(shí)，,),若上層次A,包括m個(gè)因素,為了評(píng)價(jià)層次總排序的一致性，需要進(jìn)行與單排序類似的檢驗(yàn)，稱為層次總排序的一致性檢驗(yàn)。這一步驟也是從高到低逐層進(jìn)行的。,類似地，當(dāng)CR0.10時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。,第二節(jié) 層次分析法的基本步驟和分析計(jì)算過(guò)程,一、AHP的基本步驟 層次分析方法通常用于解決一組方案或客體的優(yōu)先排序問(wèn)題。其基本過(guò)程，大體可以分為如下五個(gè)基本步驟：,（一）明確問(wèn)題，建立層次結(jié)構(gòu),AHP在用

17、于決策分析時(shí)，首選要弄清決策問(wèn)題的范圍及要求，所包含的有關(guān)因素，各因素之間的關(guān)系等，以便盡量掌握充分的信息。在充分定性分析的基礎(chǔ)上建立遞階層次結(jié)構(gòu)，形成一個(gè)多層次的塔式結(jié)構(gòu)。 這種層次結(jié)構(gòu)常用結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示(見圖4-1)，圖中要標(biāo)明上下層元素之間的關(guān)系。如果某一個(gè)元素與下一層的所有元素均有聯(lián)系，則稱這個(gè)元素與下一層次存在有完全層次關(guān)系；如果某一個(gè)元素只與下一層的部分元素有聯(lián)系，則稱這個(gè)元素與下一層次存在有不完全層次關(guān)系。層次之間可以建立子層次，子層次從屬于主層次中的某一個(gè)元素，它的元素與下一層的元素有聯(lián)系，但不形成獨(dú)立層次。,1、建立層次結(jié)構(gòu)模型應(yīng)遵循的要領(lǐng),(1)模型應(yīng)形成目標(biāo)層、若干中間層和

18、底層的自上而下的塔式結(jié)構(gòu)（完全層次聯(lián)系與不完全層次聯(lián)系）。 目標(biāo)層表示解決問(wèn)題的目的，即AHP欲達(dá)到的總目標(biāo)。 在前述例42中總目標(biāo)是從候選的電腦中排出綜合性能的優(yōu)劣順序，從而選出性能最優(yōu)的微機(jī)。又如在圖43所示的層次結(jié)構(gòu)模型中，總目標(biāo)是從諸候選人中排出各人綜合素質(zhì)的優(yōu)劣順序，繼而選出綜合素質(zhì)最高者擔(dān)任廠長(zhǎng)。 總之 目標(biāo)層無(wú)異于評(píng)價(jià)候選方案或?qū)ο蟮木C合指標(biāo)，因此，作為目標(biāo)層的要素只能有一個(gè)。,中間層：表示采取某種措施、政策、方案等來(lái)實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，一般可分為策略層、約束層、準(zhǔn)則層等。中間各層要素已經(jīng)是其下一層要素的聚集組合，因此各層要素的基本單位是逐層減小的。為了AHP法其它程序的

19、順利進(jìn)行，中間各層的受到上層要素支配的要素不得超過(guò)九個(gè)。 最底層：表示要選用的解決問(wèn)題的各種措施、政策、方案、人等。這一層的受上層支配的要素一般也不得超過(guò)九個(gè)。,(2) 在層次模型中，采用作用線標(biāo)明相鄰兩層次要素之間的聯(lián)系（主層次與子層次）。 如果某個(gè)要素與下一層次中所有要素皆有聯(lián)系，則稱這個(gè)要素與下一層次存在著完全層次聯(lián)系。如在例4-1(圖4-2所示模型)中準(zhǔn)則層中各要素都與方案層具有完全層次聯(lián)系；而經(jīng)?？梢姷氖遣煌耆膶哟侮P(guān)系，即某個(gè)要素僅與下一層次的部分要素有聯(lián)系。如在上述圖4-3所示的層次結(jié)構(gòu)模型、下述圖4-4所示的層次結(jié)構(gòu)模型中準(zhǔn)則層各要素與指標(biāo)層之間就是不完全的層次關(guān)系。,層次之間

20、可以建立子層次，子層次從屬于主層次中某個(gè)要素，它的要素與下一層次的要素有聯(lián)系，但不形成獨(dú)立層次。如在圖4-4中經(jīng)濟(jì)價(jià)值與社會(huì)價(jià)值兩要素便形成了從屬于“實(shí)用價(jià)值”的子層次。對(duì)于完全與不完全層次關(guān)系以及子層次三種概念的釋義很有必要，因?yàn)樗鼱砍兜揭韵鲁绦蛑懈鲗优判驒?quán)值的計(jì)算方法問(wèn)題。,將AHP用于決策分析的層次結(jié)構(gòu)模型與通常的決策分析方法對(duì)比，我們不難發(fā)現(xiàn)層次結(jié)構(gòu)得以建立的思維過(guò)程。其中的目標(biāo)層相當(dāng)于一般決策的綜合指標(biāo)，底層是需要抉擇評(píng)選的方案，次底層是影響各方案綜合指標(biāo)值的最基本的要素，或者說(shuō)是與綜合指標(biāo)有關(guān)的要素指標(biāo)，再往上的各層是對(duì)其下層要素的歸并、聚集，照此向上直至歸并為一個(gè)總目標(biāo)。這種層次

21、上的各要素類似于分類指標(biāo)、結(jié)構(gòu)因子的意義。,2、建立層次結(jié)構(gòu)的方法,在建立了遞階層次結(jié)構(gòu)模型后，就可以依據(jù)兩兩比較的標(biāo)度與判斷原理逐層逐次對(duì)各層要素進(jìn)行兩兩對(duì)比，利用評(píng)分法將比較判斷的結(jié)果定量化。判斷矩陣表示了針對(duì)上一層次中的某元素而言，評(píng)定該層次中各有關(guān)元素相對(duì)重要性的狀況。參照?qǐng)D4-2所示模型，,（二）構(gòu)造判斷矩陣,最終形成一個(gè)m階判斷矩陣；接下來(lái)對(duì)方案層建立二元對(duì)比判斷矩陣時(shí)，則應(yīng)相對(duì)于準(zhǔn)則層的每一個(gè)準(zhǔn)則分別建立方案之間的二元比較判斷矩陣，即反復(fù)回答相對(duì)于準(zhǔn)則層Ak來(lái)說(shuō)方案i與方案j孰優(yōu)孰劣的問(wèn)題，這里有n個(gè)方案，故需進(jìn)行n2次的對(duì)比后最終形成一個(gè)n階判斷矩陣，但這樣的判斷矩陣總共有m個(gè)

22、。一般地說(shuō)，假定模型有K層(頂層稱第一層，底層為第K層)，每層有mL(L=1,2,k)個(gè)要素，則從第二層起，第L層要素二元對(duì)比建立的判斷矩陣應(yīng)該有mL-1(L=1,2,k)個(gè)，矩陣的階為mL 。還應(yīng)該注意到，第二至第K-1層與第K層的要素進(jìn)行,二元對(duì)比時(shí)提法不同。嚴(yán)格地講，前者要回答的是要素i與要素j對(duì)于某些要素來(lái)說(shuō)誰(shuí)重要誰(shuí)不重要的問(wèn)題，而后者則要回答的是相對(duì)于第K-1層的某一要素，方案i與方案j孰優(yōu)孰劣的問(wèn)題。在一個(gè)完整的層次結(jié)構(gòu)模型中，前K-1層與第K層要素間有各自獨(dú)立的意義。前K-1層（從第二層起）要素是對(duì)總目標(biāo)的不同分解形式，要素單位在逐層縮小，我們欲求解的各層要素的權(quán)系數(shù)實(shí)際上反映了

23、各要素對(duì)總目標(biāo)的影響程度或重要程度， 因此在,中間層的二元對(duì)比時(shí)宜用要素誰(shuí)輕誰(shuí)重的提法。而層次模型的第K層要素通常表現(xiàn)為一個(gè)方案集，由于在AHP中難以通過(guò)絕對(duì)標(biāo)度測(cè)量方案的優(yōu)劣，故只能采取AHP提供的相對(duì)標(biāo)度的測(cè)量技術(shù)，最終求出各方案的相對(duì)優(yōu)劣排序，因此在進(jìn)行第K層二元相對(duì)比較時(shí)宜使用方案間誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣的提法。,衡量判斷矩陣質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)是矩陣中的判斷結(jié)果是否具有一致性。如果判斷矩陣中的數(shù)據(jù)存在關(guān)系,則稱判斷矩陣具有完全一致性。但是，因客觀事物的復(fù)雜性和人們認(rèn)識(shí)上的多樣性，可能會(huì),產(chǎn)生片面性，加之我們對(duì)判斷結(jié)果只能標(biāo)以19以及1/9，1/7，1/5，1/3等這樣一些數(shù)值，這本身就是對(duì)實(shí)際目標(biāo)值的極粗略

24、的測(cè)度，因此在確定時(shí)要求每一個(gè)判斷矩陣都有完全的一致性顯然是不可能的，特別是因素多、規(guī)模大的問(wèn)題更是如此，只要注意沒(méi)有太大的矛盾就行了。因?yàn)闉榱丝疾鞂哟畏治龇ǖ玫降慕Y(jié)果是否基本合理，我們最后還要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。,（三）層次單排序,上一步定義的判斷矩陣，只是針對(duì)上一層要素而言兩兩相比的評(píng)分?jǐn)?shù)值矩陣，現(xiàn)在要把第二層起各層要素相對(duì)于其上一層的某個(gè)要素排出優(yōu)劣順序來(lái)。因此，層次單排序的目的就是根據(jù)層次單排序原理，對(duì)于上層次中的某元素而言，確定本層次與之有聯(lián)系的元素重要性次序的權(quán)重值。它是本層次所有元素對(duì)上一層次而言的重要性排序的基礎(chǔ)。,如前所述，層次單排序的任務(wù)可以歸結(jié)為計(jì)算判斷矩陣的特征根和特征向量

25、問(wèn)題，,為了檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，需要計(jì)算它的一致性指標(biāo)CI；為了檢驗(yàn)判斷矩陣是否具有令人滿意的一致性，則需要將CI與平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI（見表4-3）進(jìn)行比較，確定隨機(jī)一致性比率CR，即,并根據(jù)CR的值決定是否需要調(diào)整判斷矩陣，直到滿意的結(jié)果為止。,表4-3 各階RI的值,在AHP進(jìn)行第三步后，我們可以發(fā)現(xiàn)除第二層要素間對(duì)比是求解一個(gè)判斷矩陣的特征向量以外，其它層要素對(duì)比均要求解mL-1 (表示第L層其上一層的要素個(gè)數(shù))個(gè)判斷矩陣的特征向量。因此只有第二層一次就完成了相對(duì)于總目標(biāo)的要素優(yōu)先排序，而其它層還沒(méi)有完成層次總排序的任務(wù)。所以在完成了層次單排序之后，還要轉(zhuǎn)入AHP的第四個(gè)程序。,（

26、四）層次總排序,利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可以計(jì)算針對(duì)上一層次而言的本層次所有元素的重要性權(quán)重值，這就稱為層次總排序。層次總排序需要從上到下逐層順序進(jìn)行。對(duì)于最高層，其層次單排序就是其總排序。某一層的層次單排序結(jié)果可表示為以上層要素為目標(biāo)(列)，該層要素為對(duì)象(行)的單目標(biāo)評(píng)價(jià)矩陣。藉此我們可用已求得的上一層的排序結(jié)果作為權(quán)系數(shù)，經(jīng)加權(quán)組合求得該層要素相對(duì)于總目標(biāo)的優(yōu)劣排序。,這種排序方法可用前述的表4-4加以說(shuō)明。,表45 層次總排序表,顯然,即得出的層次總排序結(jié)果為歸一化的正規(guī)向量。,前面我們?cè)?jīng)提到層次間存在著完全的或不完全的層次關(guān)系，存在著主層次與子層次的從屬關(guān)系。那么在決

27、定這樣的要素單排序或總排序時(shí)，方法上有什么不同，應(yīng)遵循什么要領(lǐng)呢？ 關(guān)于完全的層次關(guān)系只要按照前述步驟即可。,不完全的層次關(guān)系的處理方法,以前述圖43(選聘廠長(zhǎng))和圖44(選擇合適的科研項(xiàng)目)為例。令準(zhǔn)則層為C，指標(biāo)層為D，兩例中C與D間都存在著不完全的層次關(guān)系。但兩例仍有區(qū)別，圖43中C層各要素所支配的D層要素沒(méi)有交叉，也即D層各要素只受著C層某一要素的支配；而圖44中C層各要素所支配的D層要素有交叉，也即D層要素中有的受著C層不止一個(gè)要素的支配；這種區(qū)別導(dǎo)致了層要素總排序的方法有所不同。,對(duì)于圖43所示情況，在建立D層要素對(duì)于C層某一要素的二元對(duì)比陣時(shí)，我們無(wú)需考慮D層的全部要素，而只考慮

28、受到C層要素支配的那些要素，因此對(duì)于C層四個(gè)要素，我們將建立四個(gè)階數(shù)不同的判斷矩陣，其階數(shù)分別為2，3，2，2，求解這四個(gè)判斷矩陣的特征根及特征向量，得到的單排序結(jié)果只是個(gè)別要素的優(yōu)劣系數(shù)，而沒(méi)有納入的要素其優(yōu)劣系數(shù)以0看待，于是總排序時(shí)實(shí)際是將C層各權(quán)系數(shù)按照其特征向量分量確定的比例分?jǐn)傞_，比如準(zhǔn)則 1 的權(quán)系數(shù)為c1 ，D 層頭兩個(gè)要素相對(duì)于,準(zhǔn)則1的排序權(quán)系數(shù)為d11，d12，則這兩個(gè)要素的總排序結(jié)果應(yīng)為W1=c1d11，W2=c1d12，即W1+ W2 = c1 (d11 +d12 ) = c1 ；照此可求出D層其它要素的總排序權(quán)值。 在圖4-4所示情況中，我們對(duì)于C層的三個(gè)要素分別建

29、立兩個(gè)三階和一個(gè)四階的判斷矩陣，從而求出三個(gè)特征向量來(lái)，假設(shè)對(duì)準(zhǔn)則1的特征向量為(d11,d12,d13)；對(duì)準(zhǔn)則2的特征向量為(d21,d22,d23)；對(duì)準(zhǔn)則3 的特征向量,為(d31,d32,d33 ,d34)。則可以將全部要素的單排序向量記作(d11,d12,d13 ,0,0,0)；(d21,d22,d23 ,0,0, 0)；(0,0,d31,d32,d33 ,d34) ；以C層各系數(shù)為權(quán)，將其加權(quán)組合即可得D層要素相對(duì)于總目標(biāo)的總排序。,圖44所示情況中子層次處理，假設(shè)D層六要素的總排序結(jié)果為Wi(i=1,2,6),對(duì)于D層的要素一，我們需建立一個(gè)二階判斷矩陣，求出子層次兩個(gè)要素對(duì)于

30、要素一的權(quán)系數(shù)，以此,為比例系數(shù)將W1分解為W11和W12兩部分，于是子層次的兩個(gè)要素與D層后五個(gè)要素配合成新形成的D層要素，這與原來(lái)的D層要素是等價(jià)的，只是在進(jìn)行下一步程序時(shí)，我們應(yīng)以新形成的D層各要素的準(zhǔn)則進(jìn)行課題間的二元對(duì)比。因此D層要素成為七個(gè)，故下一步的判斷矩陣也應(yīng)該有七個(gè)。 AHP在進(jìn)行了全部各層總排序之后，還必須實(shí)施下一個(gè)步驟。,（五）一致性檢驗(yàn),為了評(píng)價(jià)層次總排序的計(jì)算結(jié)果的一致性，類似于層次單排序，也需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。為此，需要按照前述的檢驗(yàn)方法進(jìn)行。即分別計(jì)算下列指標(biāo)：,在上述各式中，CI為層次總排序的一致性指標(biāo)，CIj為與aj對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的一致性指標(biāo)；RI為層

31、次總排序的隨機(jī)一致性指標(biāo)，RIj為與aj對(duì)應(yīng)的B層次中判斷矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)；CR為層次總排序的隨機(jī)一致性比率。 同樣，當(dāng)CR0.10時(shí)，則認(rèn)為層次總排序的計(jì)算結(jié)果具有令人滿意的一致性；否則，就需要對(duì)本層次的各判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整，從而使層次總排序具有令人滿意的一致性。,二、AHP方法的分析計(jì)算過(guò)程,為了將AHP方法的基本步驟與方法連貫地實(shí)施一遍，下面我們以購(gòu)置電腦為例說(shuō)明層次分析法的分析計(jì)算過(guò)程。 1、建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型(如圖4-2所示) 2、構(gòu)造判斷矩陣 準(zhǔn)則層的功能強(qiáng)、價(jià)格低、易維護(hù)三條準(zhǔn)則對(duì)于總目標(biāo)來(lái)說(shuō)，優(yōu)先次序應(yīng)根據(jù)某人購(gòu)置電腦的具體要求而定。假定在電腦的使用上首先要功能強(qiáng)，其次要求

32、易維護(hù)，再次才是價(jià)格低，則判斷矩陣為：,在方案層，如果三種備選電腦中，金長(zhǎng)城的性能較好，價(jià)格一般，維護(hù)一般；聯(lián)想的性能最好，價(jià)格較貴，維護(hù)也是一般水平；托普的性能差，但價(jià)格便宜，容易維護(hù)，則根據(jù)討論得各判斷矩陣如下:,對(duì)準(zhǔn)則C1 （功能強(qiáng)）來(lái)說(shuō)，判斷矩陣為：,對(duì)準(zhǔn)則C2（價(jià)格低）來(lái)說(shuō)，判斷矩陣為：,對(duì)準(zhǔn)則C3（易維護(hù)）來(lái)說(shuō)，判斷矩陣為：,3、層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 用正規(guī)化求和法計(jì)算判斷矩陣AC最大特征根及其單排序權(quán)值的過(guò)程如下：,各列經(jīng)過(guò)正規(guī)化，再求各行之和，并進(jìn)行正規(guī)化，便得單排序權(quán)值（見下表）。,計(jì)算判斷矩陣AC的最大特征根：,判斷矩陣AC的一致性檢驗(yàn)：,查表得,可見判斷矩陣AC具有滿

33、意的一致性。,表4-3 各階RI的值,同理可計(jì)算得到：,判斷矩陣C1P單排序權(quán)值及其一致性檢驗(yàn)結(jié)果如下：,判斷矩陣C2P單排序權(quán)值及其一致性檢驗(yàn)結(jié)果如下：,判斷矩陣C3P單排序權(quán)值及其一致性檢驗(yàn)結(jié)果如下：,4、層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 層次總排序權(quán)值見下表：,總排序權(quán)值一致性檢驗(yàn)如下：,從上述計(jì)算來(lái)看，聯(lián)想電腦在綜合分析中占優(yōu)勢(shì)，其次是托普，最后才是金長(zhǎng)城。,又例：某工廠在超額完成任務(wù)后，有一筆留成利潤(rùn)要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用，以調(diào)動(dòng)職工積極性，促進(jìn)生產(chǎn)和技術(shù)發(fā)展。可供選擇的方案有“發(fā)獎(jiǎng)金”等五種方式，衡量這些方案涉及到“是否調(diào)動(dòng)了職工生產(chǎn)積極性”等三個(gè)方面?，F(xiàn)在要對(duì)五種方案排出優(yōu)劣順序，以便選定

34、一個(gè)執(zhí)行方案。 解：用AHP解決這一問(wèn)題時(shí)，首先建立如圖45所示的層次結(jié)構(gòu)。,其次，根據(jù)各要素的重要關(guān)系構(gòu)造判斷矩陣進(jìn)行計(jì)算，所得判斷矩陣及相應(yīng)計(jì)算結(jié)果如下各表所示。 (1)判斷矩陣AC計(jì)算結(jié)果見下表：,(2)判斷矩陣C1P計(jì)算結(jié)果見下表：,(3)判斷矩陣C2P計(jì)算結(jié)果見下表：,(4)判斷矩陣C3P計(jì)算結(jié)果見下表：,最后，進(jìn)行總排序的計(jì)算，其結(jié)果如下表所示。,計(jì)算結(jié)果表明，為合理使用企業(yè)留成利潤(rùn)，對(duì)該企業(yè)來(lái)說(shuō)，所提出的五種措施的優(yōu)先次序?yàn)镻3，P5，P2，P1，P4。領(lǐng)導(dǎo)者可根據(jù)上述排序結(jié)果進(jìn)行決策，使企業(yè)留成利潤(rùn)得到合理的安排使用。,第三節(jié) 層次分析法的主要應(yīng)用,AHP是從多元決策分析的角度

35、提出的一種簡(jiǎn)便方法。它特別適宜于那些難于完全用定量技術(shù)進(jìn)行分析的復(fù)雜決策問(wèn)題。AHP無(wú)需掌握決策因素的大量有關(guān)資料，也省去了大量繁復(fù)冗長(zhǎng)的計(jì)算，它只需對(duì)決策因素相對(duì)于總目標(biāo)的優(yōu)劣或重要程度進(jìn)行兩兩比較并加以標(biāo)定，最終求得方案層要素相對(duì)于總目標(biāo)的優(yōu)劣排序。不僅是決策方案要排序，而且社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的、行為的許多現(xiàn)象都有排序問(wèn)題。因此，AHP的排序方法稍加調(diào)整就可借用于其它方面，如資源分配問(wèn)題，預(yù)測(cè)與邊際排序，投入產(chǎn)出分析等，下面將就AHP的主要應(yīng)用作一扼要的介紹。,一、AHP用于決策和評(píng)選,處理決策和評(píng)選問(wèn)題是AHP的最重要的功用。而且隨著社會(huì)物質(zhì)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)、文化教育、社會(huì)生活的日益發(fā)展變化，決

36、策與評(píng)選問(wèn)題經(jīng)常地、大量地?cái)[到了人們的面前。信息社會(huì)使人們?cè)黾恿诉x擇余地，人們?nèi)找骊P(guān)心在不同的場(chǎng)合下如何做出最佳的決策。生產(chǎn)者要面對(duì)消費(fèi)者和競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手做出最佳的經(jīng)營(yíng)決策；消費(fèi)者在琳瑯滿目的商品面前要做出最佳的購(gòu)買決策；學(xué)校要選擇有培養(yǎng)前途的學(xué)生；工廠要選擇德才兼?zhèn)溆掠诟母镩_拓的廠長(zhǎng)；研究所要合理選擇科研課題；企事業(yè)單位要評(píng)選先進(jìn)。,上述各種問(wèn)題都屬?zèng)Q策和評(píng)選之列。盡管問(wèn)題的求解目的不同，但其層次結(jié)構(gòu)模型卻大致相同，除最后一層外，其它各層皆是與判斷有關(guān)的因素排列。最后一層的要素安排視決策的目的而定，它們可以是物，可以是人，也可以是時(shí)間或地點(diǎn)構(gòu)成的集合。 比如要選購(gòu)自行車、選擇理想的交通工具、選購(gòu)錄

37、音機(jī)等，最后一層的要素將由同類物品組成，即不同種類的自行車，不同的交通工具，不同型號(hào)的錄音機(jī)等；,如果決策的目的是選廠長(zhǎng)、選運(yùn)動(dòng)員、評(píng)選貢獻(xiàn)大的教師，則最后一層要素應(yīng)該由候選的對(duì)象或人組成；如果要開展企業(yè)評(píng)比、高校管理水平評(píng)價(jià)，則模型的最后一層可以由若干企業(yè)或若干高校組成。如果僅對(duì)一個(gè)企業(yè)或一所高校進(jìn)行評(píng)價(jià)，最后一層可安排不同的評(píng)語(yǔ)等級(jí)或不同的發(fā)生時(shí)間；總之，決策對(duì)象的多種表現(xiàn)形式使AHP具有極其廣泛的適用范圍。,二、AHP用于預(yù)測(cè),AHP只需將方案層與目標(biāo)層作適當(dāng)調(diào)整就可用于預(yù)測(cè)問(wèn)題。用于預(yù)測(cè)的AHP模型應(yīng)在目標(biāo)層寫明欲測(cè)定的項(xiàng)目或?qū)ο?；在方案層寫明預(yù)測(cè)對(duì)象可能發(fā)生的若干數(shù)值，假定用ai (

38、 i=1, 2, , n ) 來(lái)表示這些可能的發(fā)生值，經(jīng)AHP分析求解最終得到這些可能值的優(yōu)先排序結(jié)果為wi，以此為權(quán)數(shù)求出ai的加權(quán)平均數(shù)，即,例如圖46給出了二十世紀(jì)七十年代末預(yù)測(cè)1985年石油價(jià)格的層次分析模型，借此預(yù)測(cè)1985年石油價(jià)格增加幅度及期望價(jià)格。,圖中：W1世界石油消費(fèi)增加；W2世界石油超產(chǎn)量；W3石油發(fā)現(xiàn)速率(十億桶/年)；W4政治因素；W5替代資源增加速度；P1波斯灣地區(qū)的不穩(wěn)定因素；P2阿以沖突的繼續(xù)；P3美蘇中東影響的增加；S1波斯灣地區(qū)國(guó)內(nèi)社會(huì)局勢(shì)；S2波斯灣地區(qū)國(guó)家間關(guān)系緊張程度；S3伊朗形勢(shì)的影響；H高、M中、L低；V樂(lè)觀、M中等、R有限制。 假定得到的末層排序

39、權(quán)值為(W1,W2, W3,W4,W5)，預(yù)期可能提價(jià)幅度為(a1,a2,a3, a4,a5)；則預(yù)計(jì)1985年石油提價(jià)幅度為,于是1985年石油預(yù)期價(jià)格,又如美國(guó)曾利用AHP方法預(yù)測(cè)二次大戰(zhàn)以后到70年代初期每個(gè)家庭的平均孩子數(shù)。他們建立了如下的層次模型。第一層：目標(biāo)是預(yù)測(cè)美國(guó)家庭平均孩子數(shù)；第二層：受教育年限、收入、現(xiàn)在家庭大小、宗教信仰、母親工作強(qiáng)度；第三層：第二層每一要素分為高、中、低三檔；第四層：一個(gè)家庭預(yù)期孩子個(gè)數(shù)，從1到5。假如經(jīng)過(guò)一系列判斷分析最后得到第四層的總排序數(shù)值為(0.087，0.191，0.282，0.292，0.150)，則每個(gè)家庭孩子個(gè)數(shù)的期望值為,這一估計(jì)結(jié)果與

40、統(tǒng)計(jì)學(xué)家實(shí)際調(diào)查來(lái)的平均數(shù)十分接近。,(個(gè)),三、AHP用于資源分配,社會(huì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)最重要的就是把有限的資源合理地分配給最需要的部門。用AHP可以在一定的范圍內(nèi)解決資源分配問(wèn)題。 一種簡(jiǎn)單的資源分配問(wèn)題是在幾種可能進(jìn)行的項(xiàng)目中分配資源。AHP的做法是要根據(jù)各項(xiàng)目的效用和代價(jià)分別排序，各項(xiàng)目在效用上的排序表明了每一種項(xiàng)目能夠滿足投資目標(biāo)的程度，各項(xiàng)目在代價(jià)上的排序則表明了每一種項(xiàng)目的完成要付出多少代價(jià)。,假定有n個(gè)可行的項(xiàng)目，資源總量為X，效用方面的排序結(jié)果為bi(i=1, 2,n) ，代價(jià)方面的排序結(jié)果為ci(i=1, 2,n) ，可以按以下分配原則進(jìn)行資源的分配。 (1)如果只能選定一種項(xiàng)目?jī)H僅對(duì)其配備資源和組織開工，則應(yīng)在效用