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1、,6.7 多元函數(shù)的微分中值定理與泰勒公式,一、二元函數(shù)的微分中值定理,二、二元函數(shù)的泰勒公式,二元函數(shù)的泰勒公式,拉格朗日余項,匹亞諾余項,問題的提出,一元函數(shù)的泰勒公式：,能否用多個變量的多項式來近似表達(dá)一個給定的多 元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小.,問題：,一、 二元函數(shù)的微分中值定理,定理1 (二元函數(shù)的拉格朗日中值公式),或?qū)懗?記 則上式又可寫成為,證 考慮點,由定理假定可知，,在區(qū)域D內(nèi)可微，記,由連鎖法則，,則,由一元函數(shù)的拉格朗日中值定理，有（0,1)，使得,即,證畢.,推論,證 在區(qū)域D內(nèi)任意取定一點P0,對 D內(nèi)任意點P,若連線P0 P0 P都在D內(nèi)，則 由拉格朗日中

2、值定理，有,P0,P1,P2,Pn,P,0.,于是,于是，由上面的討論，我們有,由于P為D內(nèi)任意點,命題證畢.,記號,二、 二元函數(shù)的泰勒公式,一般地, 在一點 的 階微分 為:,定理2,其中,- 拉格朗日余項, 稱為 f 在點(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式,證:,則,利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:,令,證明的思路是歸結(jié)到一元函數(shù)的泰勒展開式.,一般地,由,的麥克勞林公式,再將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.證畢,其中,則,定理2在多元函數(shù)的計算上有重要價值.其中拉格朗日余項,可用偏導(dǎo)數(shù)來估計.,令,所以,我們得到二元函數(shù)的帶皮亞諾型余項的泰勒公式,由高階微分的定義,不難看出,其系數(shù)為 f 在點(x0, y0)的偏導(dǎo)數(shù).,這個多項式稱為泰勒多項式.,例1 求函數(shù) 在點(1,1) 的二階泰勒多項式,及帶匹亞諾余項的泰勒公式.,解 先求各階導(dǎo)數(shù),因此,若令,也即,例2. 求函數(shù),解:,的三階泰,勒公式.,因此,其中,多元函數(shù)的泰勒多項式的唯一性定理,因此,求一個函數(shù)的泰勒展開式,可以用其它途徑,而不一定非,計算各階導(dǎo)數(shù).,例3 在點(0,0)的鄰域內(nèi),將函數(shù) 按匹亞諾,余項的泰勒公式展開至二次項.,解 由常用的一元函數(shù)的泰勒展

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