1、醫(yī)用高等數(shù)學,二、無窮小量及其性質(zhì),三、極限的四則運算,一、極限的概念,第二節(jié) 極限,四、兩個重要極限,一、極限的概念,函數(shù)極限的兩種情形:,1,時函數(shù)的極限,考察函數(shù)，,，當,時的變化趨勢,定義14,當自變量,的絕對值無限增大時，如果,函數(shù),無限趨近于一個常數(shù),，就稱當,趨于無窮大時，,函數(shù),以,為極限(或收斂于A)，記為,或,注意：,和,，當,若,時，函數(shù),不趨于某一個常數(shù)，,此時我們就稱,時，函數(shù),的極限不存在（或,稱為發(fā)散）例如函數(shù),時，它們的極限不存在（或 發(fā)散）。,單側(cè)極限,當自變量,的變化沿,軸正方向無限增大（或沿,軸負方向絕對值無限增大）時，函數(shù),無限趨近于一,個常數(shù),，則稱,

2、為函數(shù),的單側(cè)極限，記為,（或,）,例1-10 求 當 時的單側(cè)極限.,解：,2 時函數(shù)的極限,考察函數(shù),當,的變化趨勢。,鄰域,在極限定義的過程中，鄰域是常用的一個概念設,是某一定點，,是大于零的某實數(shù)，開區(qū)間（,）稱為點,的,鄰域，點,稱為鄰域的中心，,稱為鄰域的半徑,定義15設函數(shù),在點,的某鄰域內(nèi)有定義（點,可以除外），當自變量,以任意方式無限趨近于定點,時，若函數(shù),無限趨近于一個常數(shù),，就稱當,趨,近于,時，函數(shù),以,為極限(或收斂于A)，記為,或,如果當,時，,不趨近一個常數(shù)，則稱當,時，,的極限不存在（或稱為發(fā)散）例如,及,若自變量,趨近于定點,，僅限于,（或,），即從,的左側(cè)（

3、或從,的右側(cè)）趨近于,時，函數(shù),趨近于一個常數(shù),，則,就稱為函數(shù),當,時的左極限（或右極限），記為,或,（,或,）,當,時，函數(shù),的極限存在的必要充分條件,是左、右極限都存在并且相等，即,例1-11,討論函數(shù),，當,時的極限,解：,這是分段函數(shù)，,在,處的左、右極限分別為,由于左極限不等于右極限，,所以當,時，函數(shù),的極限不存在,例1-12,討論函數(shù),，當,時的極限,解：,這是分段函數(shù)，,在,處的左、右極限分別為,由于左極限與右極限相等，,所以當,時，函數(shù),的極限存在且,3數(shù)列的極限,數(shù)列是按自然數(shù)順序依次排列的一串數(shù)：,數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，其中,稱為第n項，,也稱為數(shù)列的通項數(shù)列可簡

4、記為,以下給出幾個,數(shù)列的例子：,數(shù)列實際上就是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)：,因此，考察當,無限增大時數(shù)列的變化趨勢，即數(shù)列的極,限時，可類比函數(shù),當自變量,時的情形由,此,當,無限增大時，若,無限趨近于一個常數(shù),，則稱當,趨于無窮大時，,以,為極限(或收斂于A)，記為,或,當,無限增大時，若不存在上述常數(shù),，則稱當,趨于無窮大時，數(shù)列,極限不存在(或發(fā)散)。,例如，對于上面4個數(shù)列，（1）、（2）的極限存在，,和,而（3）、（4）的極限不存在對于（3）可記為,4判別極限存在的法則,法則1（夾逼法則） 若在同一極限過程中，三個函數(shù),及,之間有如下關系：,且,則,法則2（單調(diào)有界法則） 單調(diào)有界數(shù)列

5、一定有極限,對數(shù)列,而言，若有,（遞減）或,（遞增），且對一切n，有,（有,界），則,必有極限,法則2 對函數(shù)極限也是有效的,二、無窮小量及其性質(zhì),1無窮小量與無窮大量,定義l6如果,（或,）,則稱函數(shù),是當,（或,）時的無窮小量,定義1-7 如果當,（或,）時,可無限,增大，則稱,是當,（或,）時的無窮大,量記為,（或,）,注意：無論是無窮小還是無窮大，它們都是相應于某一變化過程而言的例如，當,時，,是無窮小量；,當,時，,是無窮大量；,而當,時，,既不是無窮,小量也不是無窮大量另外，它們都是變量，任何很小的,常數(shù)（零除外）或任何很大的常數(shù)都不能稱為無窮小量或無窮大量,在自變量的同一變化過程

6、中，若,是無窮大量，則,是無窮小量；反之，若,是無窮小量且 不為0，,則,是無窮大量,例1-13 求,解：因為,，所以,2無窮小定理及性質(zhì),定理1-1,性質(zhì)1-1有限個無窮小的代數(shù)和或乘積仍是無窮小,性質(zhì)1-2 有界變量或常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,例1-14 求,解：因為,由性質(zhì)12可知,3無窮小的比較與階,在同一個變化過程中的兩個無窮小，雖然都趨于零，但它們趨于零的快慢程度卻可能有所不同比較兩個無窮小這種差異的方法，是看這兩個無窮小的比值在這一極限過程中的變化趨勢如何例如，當,時， 有,定義1-8,設,是同一變化過程中的無窮小，且,（1）如果,，則稱,是相對于,的較高階無窮,小, 記為,（

7、2）如果,，則稱,是相對于,的較低階無,窮小；,（3）如果,，則稱,與,是同階無窮小,特別地，當,時，稱,與,是等價無窮小，記為,此外，若,是一無窮小，而無窮小,與,同階，就稱,是相對于,的,階無窮小,三、極限的四則運算,定理1-2 若,，則,特別地,為常數(shù)）；,(3)當,例1-15求,解：,例1-16求,解：因為分母的極限,，故不能利用商的極,限法則，所以,例1-17 求,解：,例1-18 求,解：,特別的，當,均為正整數(shù)時，有,例1-19求,解：,四、兩個重要極限,例1-20,解,例1-21,解：,例1-22,解：,注意：,其中,是一個無理數(shù)。,例1-23 求,解,例1-24 求,解：,主要內(nèi)容,1（1）函數(shù)極