1、1,吉林大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中心,2,第3334講,吉林大學(xué)數(shù)學(xué)中心,共計(jì)：5講 主講教師：王穎,醫(yī)用數(shù)學(xué)C,3,上 講 提 要,一、基本概念：,二、解法：,微分方程； 2. 微分方程的階； 3. 微分方程的解； 4. 微分方程的通解； 5. 微分方程的特解； 6. 微分方程的初始條件。,1可分離變量的微分方程,4,2. 可化為可分離變量的微分方程,5,二、一階線性微分方程,一階線性微分方程(linear first-order differential equation),若 Q(x) 0,稱為一階線性非齊次微分方程,稱為一階線性齊次微分方程,第二節(jié) 一階微分方程,標(biāo)準(zhǔn)形式:,其中P(x)，

2、Q(x)為已知函數(shù)， Q(x)稱為自由項(xiàng)。,(inhomogeneous linear first-order differential equation).,(homogeneous linear first-order differential equation).,1. 概念,6,(1).一階線性齊次微分方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,2. 解法,(2). 一階線性非齊次微分方程,7,齊次的通解,分析,8,對應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2. 解非齊次方程,常數(shù)變易法：,則,故原方程的通解,即,作變換,兩端積分得,9,例1. 求方程,解: 對應(yīng)齊次方程,即,兩邊積分

3、, 得,令非齊次方程的通解為：,代入非齊次方程得,解得,故原方程通解為,即,齊次方程的通解,通解,10,例2.求方程,解 原方程可寫為,積分,齊次的通解,令非齊次方程的通解：,對應(yīng)齊次方程,即,特解,11,即,解得,故原方程通解為,將,代入上式，得,則所求解為,代入非齊次方程得,12,解: 法1,令,代入方程,即,積分得,故原方程通解為,即,則,方程可視為,例3. 求方程通解,13,例3. 求方程通解,解: 法 2 方程可寫為,對應(yīng)齊次方程,積分得,齊次方程通解,令非齊次方程通解：,代入非齊次方程得,解得,故原方程通解為,即,即,14,15,貝努利 ( Bernoulli )方程,貝努利方程的

4、標(biāo)準(zhǔn)形式:,令,求出此方程通解后,換回原變量即得貝努利方程通解.,解法:,(線性非齊次方程),在1695年提出,方程兩邊同時(shí)除以 得,又名,16,例1. 求方程,的通解.,解,則方程變形為,對應(yīng)齊次方程：,即,兩邊積分, 得,齊次通解：,令非齊次方程通解：,代入非齊次方程得,令,方程可寫為,則,17,即,解得,故非齊次方程通解為,例2. 求方程,的通解.,將,代入, 得原方程通解:,解法一,方程可寫為,令,則,所以方程變形為,18,其通解為,將,代入, 得原方程通解:,解法二,方程可寫為,令,則,例2. 求方程,的通解.,19,所以方程變形為,對應(yīng)齊次方程：,即,齊次方程通解：,設(shè)非齊次方程通

5、解：,即,非齊次方程通解：,將,代入, 得原方程通解:,20,例3. 求方程,的通解.,解,則,對應(yīng)齊次方程,即,兩邊積分, 得,方程可寫為,令,所以方程變形為,齊次方程通解,21,代入非齊次方程得,即,解得,故非齊次方程通解為,將,代入, 得原方程通解:,令非齊次方程的通解：,練習(xí) 求下列微分方程的通解,22,23,可降階高階微分方程,第三節(jié),一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,24,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過 n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .,型的微分方程,25,例1.,解,例2.,解,26,例3.,解,27,答案:,28,內(nèi) 容 小 結(jié),

6、1. 一階線性方程,方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.,方法2 用通解公式,化為線性方程求解.,2. 貝努利方程,29,總之，常數(shù)變易法是解決一階線性非齊次方程,程化為一階線性非齊次方程去解。準(zhǔn)確判斷方程類,齊次方程或 Bernoulli方程，也可以看成可分離變量,基本方法；采用變量替換的方法，可將 Bernoulli方,型是至關(guān)重要的。有些方程既可以看成一階線性非,微分方程，顯然，后者計(jì)算簡單。,作業(yè)：思考與練習(xí) P137 2； P138,習(xí)題五 P147，148 3（-）；4（，）,30,再見,31,( 雅各布第一 伯努利 ),書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.,標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年,版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事,而伯努利定理則是大