1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué),”,第四節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征,一、數(shù)學(xué)期望,二、方差,三、大數(shù)定理和中心極限定理,一、數(shù)學(xué)期望,實際問題中，往往需要能夠概括地表達(dá)隨機變量種種平均性質(zhì)的量，即隨機變量的數(shù)字特征，其中最基本的就是數(shù)學(xué)期望和方差，前者刻畫了隨機變量取值的相對集中位置或平均水平，后者刻畫了隨機變量取值圍繞平均水平的離散程度.,1. 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,例 6-36 某種疾病可以用A, B兩種方法進(jìn)行治療，根據(jù)治療效果給出評分標(biāo)準(zhǔn)，效果越好評分越高: 痊愈100分,輕度并發(fā)癥70分, 嚴(yán)重并發(fā)癥50分, 死亡0分. 某醫(yī)院用方法A治療了50例，用方法B治療了40例，其效果及對應(yīng)例數(shù)見表6-8.

2、試問，哪一種治療方法更好?,表 6-8 兩種治療方案的比較,解 兩種方法治療的病人總數(shù)不一樣，每種效果的人數(shù)也不一樣，因而不能個別地比較.兩種方法的平均評分分別是:,=(10021+7013+5010+06)/50,=(10016+7014+508+02)/40,定義6.15 設(shè)離散型隨機變量,的分布列為,如果,存在，則稱,為隨機變量,的數(shù)學(xué)期望,（mathematical expectation）或均值(mean value)，記為E,即,根據(jù)定義, 二項分布,和泊松分布,的期望,分別是,和,例 6-37 為了評估一種大腸桿菌的毒效大小，動物實驗中把大腸桿菌注入家兔腹腔以造成感染性休克，評分

3、標(biāo),準(zhǔn)及概率如表6-9所示 試通過實驗結(jié)果評價這種桿菌的毒效大小.,表6-9 造成兔感染性休克的效果評價,解 設(shè)毒效評分為,，其分布列如上表所示，則,的平,均值為：,=,由此可見這種桿菌的致毒能力是很高的.,例6-38 設(shè)某大學(xué)每年新生1萬人. 其中80%愿意參加體檢. 體檢需進(jìn)行抽血化驗，化驗的方式有兩種：分別對每人單獨檢驗，共需化驗,=8000次；將,個人分為,一組，同組的,個人的血樣混合后化驗，如果混合血樣呈,陰性反應(yīng)，表明這,個人的血液都為陰性，不再每人單獨,檢驗，這樣,個人平均每人只需化驗1/,次；如果混合血樣,呈陽性，就需對這,個人再逐一進(jìn)行化驗，此時,個人平均,每人需化驗1+1/

4、,. 假定化驗呈陽性反應(yīng)的概率是p，而且,不同人之間的反應(yīng)是獨立的. 試說明方法能減少化驗的次,數(shù).,解 記q=1p，則,個人的混合血樣呈陽性反應(yīng)的概率,為1 ，設(shè),表示每個人的血需化驗的次數(shù)，則按方法,驗血時，,的分布列為,P,則,的數(shù)學(xué)期望為,因此，,個人平均需化驗的次數(shù)為,. 若,就能減少驗血次數(shù). 當(dāng)p已知時，適當(dāng)?shù)剡x擇,，使,達(dá)到,最小，就可找到最佳的分組人數(shù). 例如,如果p=0.1，取,=4，則, 此,時，工作量平均能減少40%, 總工作量大約為0.59398000,=4792次.,根據(jù)期望的定義容易證明數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)：,（1）E(c)=c, c為常數(shù)；,（2）E(c )=c

5、, c為常數(shù)；,（3）,（4）設(shè),相互獨立，則,性質(zhì)1,2,3統(tǒng)稱為期望的線性性質(zhì)，有助于簡化期望的推算和數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化過程.,例 6-39 求兩點分布、二項分布B(, p)和泊松分布,()的數(shù)學(xué)期望.,解 設(shè),服從參數(shù)為p的兩點分布，則E,= 1p+0q = p.,若,則是,個同分布的兩點分布之和:, =,對于,都有,. 由性質(zhì)(3)立刻得:,即二項分布,的數(shù)學(xué)期望為,泊松分布()是二項分布的極限分布，則二項分布的數(shù)學(xué)期望的極限就是泊松分布的數(shù)學(xué)期望，由定理6-6的推知: 若, 則有,也就是若,()則E,=.,例 6-40 實驗大樓共11層(底樓和第1, 2, ,10樓.) 在底樓有15個同學(xué)

6、一起擠進(jìn)了電梯. 假定: 每個人去1至10樓的可能性都一樣, 每個人去哪一樓是相互獨立的. 電梯從底樓啟動后到所有人都出梯, 一個升程中平均要停幾次?,解 設(shè),=電梯在第,樓經(jīng)停的次數(shù)，,顯然, 只要有同學(xué)去第,樓, 電梯在第,樓需要停1次;,如果15個同學(xué)都不去第,樓, 電梯在第,樓就勿需停止. 所,以, 對所有,都有,并且有:,和,記,=電梯在一個升程中經(jīng)停的總次數(shù)，則,于是由性質(zhì)(3),=0.794110=7.9418.,2. 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,對于連續(xù)型隨機變量,，設(shè)其概率密度函數(shù)為,設(shè),是很小的一段區(qū)間長度, 則,落在,中的,概率近似為,.因此,與某個以概率,取值,的離散型隨

7、機變量近似，從而,的數(shù)學(xué)期望與的數(shù)學(xué)期,望近似. 按定義E =, 和式對所有可能的,求. 令,且,則,定義6.16 設(shè)連續(xù)型隨機變量,的概率密度函數(shù)為,若積分,收斂，則稱積分,為,的數(shù)學(xué),期望，記為E,，即,例6-41 設(shè)隨機變量,在區(qū)間,上均勻分布，試求,解: 已知,根據(jù)數(shù)學(xué)期望定義，有,可見，在某一區(qū)間上均勻分布的隨機變量,，其數(shù)學(xué),期望恰在該區(qū)間的中點. 如果是電話超整分鐘的秒數(shù)，則,=1是每個電話多計分?jǐn)?shù)，,U(0,1), E,=0.5 (分).,例6-42 若隨機變量,服從正態(tài)分布,，求E,解: 正態(tài)變量,的概率密度函數(shù)是,其數(shù)學(xué)期望為,令,，則,，故有,上式第一項中被積函數(shù)是奇函數(shù)

8、，易知積分為零，又由密度函數(shù)性質(zhì)，,所以,= 0 + 1= ,可見，正態(tài)分布,中的參數(shù)就是該分布的數(shù)學(xué),期望值.,二、方差,有的隨機變量在其數(shù)學(xué)期望周圍取值比較密集，有的則比較分散. 隨機變量,的取值偏離其期望值,的幅度，,即,， 也是隨機的，其平方,的平均值即數(shù)學(xué),期望,應(yīng)該反映了隨機變量,離散程度的大小，,于是引入下面定義.,定義6.17 設(shè)隨機變量,的數(shù)學(xué)期望為,，若,存在，則稱它為,的方差(variance)，記為,，即,顯然，隨機變量的方差,，它的算術(shù)平方根,稱為標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation).,方差的定義6.17對于離散型和連續(xù)型隨機變量都是統(tǒng)一的. 但其展開式有所

9、不同:,若,是離散型隨機變量，其概率分布為：P(,則,若,是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為,，則,另一方面, 兩者都成立,因此計算方差時, 既可采用定義, 也可采用公式,例6-43 設(shè),(). 則E,=. 利用泊松分布的分布列,和數(shù)學(xué)期望, 得,由公式, 泊松分布的方差等于,即: 泊松分布的方差和數(shù)學(xué)期望相等, 都等于參數(shù).,例6-44 如果4個人的工作服掛在一起，上班時他們隨意取一件穿上，記,表示4個人中取到了自己衣服的人數(shù)，,則,的分布列如下表，試求,的方差.,一個取非負(fù)整值的離散型隨機變量, 它的方差和數(shù)學(xué),期望相等,就有可能服從泊松分布. 醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)里一個有,關(guān)泊松分布的假設(shè)檢驗利用

10、了這一性質(zhì).,=21=1.,=(8+24+16)/24=2,=(8+12+4)/24=1, E,解 E,這是一大類有共性的問題的簡單提法. 常見的一些例子如下:,(1) 夜間緊急集合時，,個士兵摸黑從槍架上取一支槍，,記,=取到自己的槍支的士兵人數(shù)；,(2),對夫婦參加游戲，被隨機地分成,組，每組一男,一女. 記,組中是夫婦的組數(shù)；,(3),對染色體在水溶液中加溫至104C時,雙鏈離解,為單鏈. 當(dāng)溶液降溫至90C時, 這些單鏈隨機地兩兩重新聚合為雙鏈. 記,對重聚染色體中, 原本就是一對的個數(shù).,這一類問題都?xì)w于配對問題. 對于配對問題, 這些,服從什么分布? 上面三個隨機變量都有: E,.

11、 因此可以想見, 當(dāng),充分大以后, 這些,都近似,服從泊松分布. 實際上, 當(dāng),充分大以后, 都有,(1).,方差有如下性質(zhì)：,(1) D(c)=0, c為常數(shù)；,(2),b為常數(shù)；,(3),為常數(shù)；,(4) 設(shè),相互獨立，則,例 6-45 設(shè)隨機變量,的期望E,與方差D,均存在且,不為零，在,次獨立重復(fù)試驗中所得諸,都與,同分布，以,表示它們的平均，試計算,的期望與方差.,解: 由于諸,與,同分布，故有E,，D,. 取,，由期望與方差的性質(zhì)有:,說明獨立重復(fù)試驗的平均值,與,有相同期望，但,的方,差只及,方差的,，故平均值,比總體,的分布更集中.,例6-46 求兩點分布和二項分布的方差,解

12、設(shè),服從兩點分布：P(,=1)=p, P(,=0)=q，,(p+q=1)，則,=p-p2=p(1-p)=pq.,二項分布是,個獨立的兩點分布之和，由方差性質(zhì)(4)，,若,則D,例6-47 設(shè)隨機變量,服從正態(tài)分布,，求D,解 例6- 42中已求出E,因此,令,且由分部積分公式和正態(tài)密度函數(shù)性質(zhì)得到,由此知正態(tài)分布中的參數(shù),就是服從該分布的隨機變,量的方差，而,是其標(biāo)準(zhǔn)差.,事實上，隨機變量的數(shù)字特征通常都是和它分布中的參數(shù)相聯(lián)系的.,三、大數(shù)定理和中心極限定理,（一）大數(shù)定理,1伯努利定理,獨立重復(fù)試驗中, 每次試驗都可定義一個服從兩點分布的隨機變量,. 若取,就是前,次試驗中A出現(xiàn)的,次數(shù)，

13、而,就是這,次試驗中A的頻率.,定理 6.7 (Bernoulli) 設(shè),是獨立重復(fù)試驗,中事件A的頻率，p是每次試驗中A的概率，則對任意小的正數(shù) 總有,定理的意義就是當(dāng)試驗次數(shù),充分大以后，頻率必然,要接近于概率, 這是概率的統(tǒng)計定義的依據(jù). 正是由于這個發(fā)現(xiàn)，獨立重復(fù)試驗的模型稱為伯努利概型.,2大數(shù)定理,如果獨立重復(fù)試驗中所考察的隨機變量,不一定服從,兩點分布,，則類似于定理 6-7有:,定理 6.8 設(shè),是獨立同分布的隨機變量, 且對每,個,都有，E,則對任意小的正數(shù)，總有,前邊的伯努利定理是這個定理的特例 .,（二）中心極限定理,定理 6.9 設(shè),是獨立同分布的隨機變量, 且對,每個

14、,都有，E, 則對任意實數(shù),都有,在定理6-9的條件下，不管一系列的隨機變量是服從什么分布的，當(dāng),很大時，它們的和就近似于正態(tài)分布.,因此，如果一個量(例如身高)是由很多因素決定的(每個因素對這個量的貢獻(xiàn)都是一個隨機變量)，這個量做為諸多隨機變量之和就可以認(rèn)為是服從或近似服從正態(tài)分布的. 這是一個在生命科學(xué)領(lǐng)域里普遍應(yīng)用的重要原理.,定理 6-10 設(shè)隨機變量,其中0p1，則對任意,恒有,有了這個定理，當(dāng),較大時，有關(guān)二項分布的概率計,算就轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的運算. 當(dāng)二項分布的隨機變量,取整值,，即,時，應(yīng)理解為一個相應(yīng)的,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量在一個以,為中心長度為的區(qū)間,中取值, 即是,類似地，,例 6-48 某種疾病的患病率為p0.005，現(xiàn)對10000人進(jìn)行普查，試求檢查出的患者數(shù)在45人至55人之間的概率.,解: 設(shè)患病人數(shù)為,，則,，且,由中心極限定理,當(dāng),充分大時，二項分布也近似于一個泊松分布，因而,泊松分布也就同樣能夠用正態(tài)分布來近似，注意到泊松分布的方差也等于, 即有,在本例中取,就有,例 6-49 旅客買一份旅行保險交保險費20元，如果在旅行中遇事故而身亡，保險公司向家屬賠付20萬元. 設(shè)這一類傷亡事故的發(fā)生率為