1、理 論 力 學(xué)（運(yùn)動(dòng)學(xué)）,教 材:理論力學(xué) 陳國(guó)平 羅高作 主編 武漢理工大學(xué)出版社 參考書(shū): 建筑力學(xué) 鐘光珞 張為民 編著 中國(guó)建材工業(yè)出版社 建筑力學(xué) 周?chē)?guó)瑾等 編著 同濟(jì)大學(xué)出版社 理論力學(xué) 范欽珊 主編 清華大學(xué)出版社,10 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué),第10章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程,10-1 動(dòng)力學(xué)的基本定律, 第一定律（慣性定律）, 第二定律（力與加速度之間的關(guān)系的定律）, 第三定律（作用與反作用定律）,將動(dòng)力學(xué)基本方程 表示為微分形式的方程，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,1.矢量形式,2.直角坐標(biāo)形式,X=max Y=may,3.自然形式,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程還可有極坐標(biāo)形式, 柱坐標(biāo)形式等等。 應(yīng)用

2、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可以求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題。,1.第一類(lèi)：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問(wèn)題）,10-3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題,解題步驟和要點(diǎn)： 正確選擇研究對(duì)象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。 正確進(jìn)行受力分析,畫(huà)出受力圖(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。 正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。 選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程（建立坐標(biāo)系）。 求解未知量。,橋式起重機(jī)跑車(chē)吊掛一重為G的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 ，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為L(zhǎng)。突然剎車(chē)，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動(dòng)，求鋼絲繩的最大拉力。,解：選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象 受力分析如圖所示,運(yùn)動(dòng)分析

3、，沿以O(shè)為圓心, L為半徑的圓弧擺動(dòng)。,例1,例題1. 曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示.曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng),OA = AB = r.滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程為x = 2rcos .如滑塊B的質(zhì)量為m,摩擦及連桿AB的質(zhì)量不計(jì).求當(dāng) = t = 0 時(shí)連桿 AB所受的力.,B,解:取滑塊B為研究對(duì)象.,由于桿的質(zhì)量不計(jì)，AB為二力桿?；瑝K受力 如圖。,N,mg,F,x = 2rcos, = t,ax = - 2r2cos,max = - Fcos,F = - 2 mr2,例：質(zhì)量為 m 長(zhǎng)為 l 的擺在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)。初始時(shí)小球的速度為u , = 0。分析小球的運(yùn)動(dòng)。,解：1、取研究對(duì)象畫(huà)受力圖、 確定坐標(biāo)系

4、2、建立微分方程 3、求解并分析小球運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)微分方程,分析小球的運(yùn)動(dòng),（微幅擺動(dòng)）,列出自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微方程,求解未知量,注減小繩子拉力途徑：減小跑車(chē)速度或者增加繩子長(zhǎng)度。 拉力Tmax由兩部分組成, 一部分等于物體重量,稱(chēng)為靜拉力 一部分由加速度引起，稱(chēng)為附加動(dòng)拉力。全部拉力稱(chēng)為動(dòng)拉力。,已知：P， 。求 fmin。,解: （1） 取物塊為研究對(duì)象， 畫(huà)受力圖,（2） 研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)分析,（3） 列方程求解求知量,例題2,11-1 動(dòng)量與沖量,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)速度的乘積,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是矢量，而且是定位矢量，它的方向與質(zhì)點(diǎn)速度的方向一致。其單位為 kgm/s 或 Ns,1 動(dòng) 量

5、,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，又稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系 動(dòng)量的主矢。,11 動(dòng)量定理,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢公式,2 沖 量,力在作用時(shí)間上的累積效應(yīng)力的沖量,a. 常力,b. 變力,沖量為矢量，其單位與動(dòng)量單位相同為 Ns,11-2 動(dòng)量定理,1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量。,2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理,其中：,或：,微分形式,積分形式,1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩,12.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩,12 動(dòng)量矩定理,2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩,質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩。,令：,Jz剛體對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

6、剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。,3. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩,2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于 剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。,三、剛體動(dòng)量矩計(jì)算,1.平移剛體,平移剛體可視為質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)來(lái)計(jì)算對(duì)點(diǎn)（或軸）的動(dòng)量矩。,對(duì)轉(zhuǎn)軸 的動(dòng)量矩,3.平面運(yùn)動(dòng)剛體,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩,平面運(yùn)動(dòng)剛體,平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面的某軸的動(dòng)量矩， 等于剛體隨同質(zhì)心作平移時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩 與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。,對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩用絕對(duì)速度 和用相對(duì)速度計(jì)算是相等的。,動(dòng)量矩,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩

7、,平動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩,剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量矩,解：,例1 滑輪A：m1，R1，J1 滑輪B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物體C：m3 求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。,解: v =r,。,例2,求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。,例題3. 重150N的均質(zhì)圓盤(pán)B與重60N,長(zhǎng)24 cm的均質(zhì)直桿AB在 B處用鉸鏈連接如圖. 求系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩。,圓盤(pán)B平動(dòng),桿AB作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).,=,+,w,lv,g,W,J,B,B,A,w,1) 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理, 質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn) 的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的力矩。,4. 動(dòng)量矩定理,3. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理,其中：, 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn) 的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，

8、等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力 對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和。,解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象,均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。,求：重物下落的加速度,v,例題 1, 質(zhì)剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。,12.2 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,解：取擺為研究對(duì)象,求： 微小擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,已知：m，a，JO。,例題 2,12.3 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,:物體對(duì)平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,d,:物體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,m,:物體的質(zhì)量,:質(zhì)心軸與平行軸間的距離,1. 平行軸定理,5. 回轉(zhuǎn)半徑,已知： m ，R 。

9、,解：取圓輪為研究對(duì)象,解得：,例題 3,求：角加速度a,12.4 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程,剛體平面運(yùn)動(dòng) = 剛體隨質(zhì)心平動(dòng) + 剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng),剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程,已知： m ，R, f ， 。,就下列各種情況分析圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)和受力。,(a) 斜面光滑,解：取圓輪為研究對(duì)象,圓盤(pán)作平動(dòng),例題 4,(b) 斜面足夠粗糙,解: 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象， 受力分析如圖示。 運(yùn)動(dòng)分析： v =r,由動(dòng)量矩定理：,已知:,。,求,;,e,滑輪重P；半徑為r；,例5,13 動(dòng)能定理,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,動(dòng)能和動(dòng)量都是表征機(jī)械運(yùn)動(dòng)的量，前者與質(zhì)點(diǎn) 速度的平方成正比，是一個(gè)標(biāo)量；后者與質(zhì)點(diǎn)速度的一次方成

10、正比，是一個(gè)矢量，它們是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的兩種度量。動(dòng)能與功的量綱相同，也為 J 。,13.1質(zhì)點(diǎn)系和剛體的動(dòng)能,剛體的動(dòng)能,a. 平動(dòng)剛體的動(dòng)能,b. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,c. 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能,例1,解：,P,P 為AB桿的瞬心,均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，上端B靠在光滑的墻上，下端A用鉸與質(zhì)量為M半徑為R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為v，桿與水平線的夾角=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。,例2,a. 常力的功,b. 變力的功,功是代數(shù)量，其國(guó)際單位制為 J（焦耳）。,13.2 力的功,c.,（1）重力的功,x,重力作功僅與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)始末位置的高度差有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)軌跡形

11、狀無(wú)關(guān)。,質(zhì)點(diǎn)系：,幾種常見(jiàn)力的功,（2）彈性力的功,彈性力的功只與彈簧的起 始變形和終了變形有關(guān)， 與力作用點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。,當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角j與弧長(zhǎng)s的關(guān)系為,力F在剛體從角j1轉(zhuǎn)到j(luò)2所作的功為,作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功,作用面垂直轉(zhuǎn)軸的常力 偶M， 則力偶作的功為,（3）,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功,（4）,平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功,平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功等于力系向質(zhì)心 簡(jiǎn)化所得的力和力偶做功之和。,（5）,只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變，內(nèi)力的元功和就等于零。 剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等 于零。但變形體內(nèi)力功之和不為零。,質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功,剛體的內(nèi)力功之和等

12、于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零。,約束力元功為零或元功之和為零的約束稱(chēng)為理想約束。,3.剛體沿固定面作純滾動(dòng) 4.聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）,2.固定鉸支座、活動(dòng)鉸支座和向心軸承,1.光滑固定面約束,理想約束力的功,（6）,法向力 ，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移,(b) 圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力的功,(a) 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功,FN=常量時(shí), W= fFN S, 與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。,圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)， 摩擦力是靜摩擦力，不作功!,(7) 摩擦力的功,如圖所示滑塊重P9.8 N，彈簧剛度系數(shù)k0.5 N/cm，滑塊在A位置時(shí)彈簧對(duì)滑塊的拉力為2.5 N，滑塊在20

13、 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B，求作用于滑塊上所有力的功的和。,解：滑塊在任一瞬時(shí)受力如圖。由于P與N始終垂直于滑塊位移，因此，它們所作的功為零。所以只需計(jì)算T 與F的功。先計(jì)算T 的功：,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，T 的大小不變，但方向在變，因此T 的元功為,因此T在整個(gè)過(guò)程中所作的功為,例1,再計(jì)算F的功：,由題意：,因此F在整個(gè)過(guò)程中所作的功為,因此所有力的功為,另 外,一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：,動(dòng)能定理的積分形式,13.3動(dòng)能定理,動(dòng)能定理的積分形式,兩邊點(diǎn)乘以 ，有,牛頓定律,均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量

14、為W。,求：重物下落的加速度,解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象,主動(dòng)力的功：,由動(dòng)能定理得：,將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意,例題 1,解得：,已知： m ，R, f ， 。,求： 純滾時(shí)盤(pán)心的加速度。,解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象,解得：,例題 2,例題 3,圖示系統(tǒng)中,重物A質(zhì)量為m1 ,系在繩子上，繩子跨過(guò)不計(jì)質(zhì)量的固定滑輪D并繞在鼓輪B上，由于重物下降，帶動(dòng)了輪C，使它沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。設(shè)鼓輪半徑為r，輪C的半徑為R，兩者固連在一起，總，質(zhì)量為m2，對(duì)于其水平軸O 的回轉(zhuǎn)半徑為。求重物A下落距離h時(shí)的加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止),解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象,解得：,已知：輪 O 質(zhì)量為 m，

15、P，f 。,求： 輪 O 移動(dòng)距離 S 時(shí) 輪的角速度、角加速度。,解：取輪 O 為研究對(duì)象,例題 4,解得：,卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖，鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程 的速度。,解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力所作的功為,系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為,a,FS,O,C,例5,其中,于是,由,得,解之得,作業(yè),求物塊A由靜止下降至任意位置(x)時(shí)的加速度?,人用手推車(chē),力 是由于小車(chē)具有慣性，力圖保持原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀

16、態(tài)，對(duì)于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱(chēng)為小車(chē)的慣性力。,一、慣性力的概念,注 質(zhì)點(diǎn)慣性力不是作用在質(zhì)點(diǎn)上的真實(shí)力，它是質(zhì)點(diǎn)對(duì)施 力體反作用力的合力。,14 動(dòng)靜法,14.1.1 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理,14.1 達(dá)朗伯原理,二、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理,質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理,即：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí), 作用于質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和假想加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。,14.1.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理,列車(chē)在水平軌道上行駛，車(chē)廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車(chē)廂向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺左偏角度 ，相對(duì)于車(chē)廂靜止。求車(chē)廂的加速度 。,例題 1,角隨著加速度 的變化而變化，當(dāng) 不變時(shí)， 角 也不

17、變。只要測(cè)出 角，就能知道列車(chē)的加速度 。擺式 加速計(jì)的原理。,由動(dòng)靜法, 有,解得,離心調(diào)速器,解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重錘C 為研究對(duì)象，分析所受的主動(dòng)力和約束力,2、分析運(yùn)動(dòng)：施加慣性力。,球繞O1y1軸作等速圓周 運(yùn)動(dòng)，慣性力方向與法向 加速度方向相反，其值為,Gm1l 2sin,重錘靜止，無(wú)慣性力。,例題 2,3、應(yīng)用動(dòng)靜法：,對(duì)于重錘 C,對(duì)于球 B,14.2 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化,一、平動(dòng)剛體的慣性力,作用在質(zhì)心上,二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力,作用在定點(diǎn),三、平面運(yùn)動(dòng)剛體的慣性力,作用在質(zhì)心上,習(xí)題1,O,C,a,C,a,a,重P、半徑為r的均質(zhì)圓輪沿傾角為q 的斜面向

18、下滾動(dòng)。求輪心C 的 加速度。,解：以圓輪為研究對(duì)象, 受力如圖, 建立如圖坐標(biāo)。,圓輪作平面運(yùn)動(dòng), 輪心作直線運(yùn)動(dòng), 則,將慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化, 慣性力和慣性力偶矩的大小為,q,C,r,則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理,例3,解之得,均質(zhì)桿長(zhǎng)l ,質(zhì)量m, 與水平面鉸接, 桿由與平面成0角位置，由靜止落下。求剛開(kāi)始落下時(shí)桿AB的角加速度及A支座的約束力。,解： 選桿AB為研究對(duì)象， 虛加慣性力系：,根據(jù)動(dòng)靜法，有,例4,單個(gè)物體的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，用動(dòng)靜法或 動(dòng)力學(xué)普遍方程求解區(qū)別不大。但是物體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，用動(dòng)靜法求解比用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解簡(jiǎn)單得多。,解方程得：,特別注意：在畫(huà)虛加的慣性力系的主矢和主矩時(shí)，必須按照和質(zhì)心加速度的方向相反以及與角加速度轉(zhuǎn)向相反(考慮負(fù)號(hào))的原則畫(huà)出。在方程中只需按其數(shù)值的大小代入，不能再帶負(fù)號(hào)！,質(zhì)量為m1和m