1、第九章、習題課,一、二重積分的計算,1. 在直角坐標系中，,2. 在極坐標系中,二、三重積分的計算,1. 在直角坐標系中，,2. 在柱坐標系中,3. 在球坐標系中,三、重積分的應用,幾何應用：曲面的面積,物理應用：質心、轉動慣量、,對質點的引力,四、利用對稱性計算重積分,1. 二重積分,若 D 關于 x 軸對稱，,為“對稱的一半”,（1）若在 D 中，f ( x, y ) 關于 y 為奇函數(shù)，即,（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關于 y 為偶函數(shù)，即,四、利用對稱性計算重積分,1. 二重積分,若 D 關于 y 軸對稱，,為“對稱的一半”,（1）若在 D 中，f ( x, y ) 關于

2、 x 為奇函數(shù)，即,（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關于 x 為偶函數(shù)，即,四、利用對稱性計算重積分,1. 二重積分,若 D 關于 原點軸對稱，,為“對稱的一半”,（1）若在 D 中，f ( x, y ) 關于 x , y 為奇 函數(shù)，即,（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關于 x, y 為 偶函數(shù)，即,四、利用對稱性計算重積分,1. 二重積分,若 D 關于直線 y = x 對稱，即,即被積函數(shù)中，x 和 y 對換， 二重積分值不變。,該對稱性又稱坐標輪換法。,四、利用對稱性計算重積分,2. 三重積分,若 關于 xoy 面對稱，即,（1）若在 中，f ( x, y, z )

3、關于 z 為奇函數(shù)，即,（2）若在 中，f ( x, y, z ) 關于 z 為偶函數(shù)，即,為“對稱的一半”,同理有 關于 xoz, yoz 面對稱的結論,四、利用對稱性計算重積分,2. 三重積分,若 關于 z 軸對稱，即,（1）若在 中，f ( x, y, z ) 關于 x, y 為奇函數(shù)，即,（2）若在 中，f ( x, y, z ) 關于 x, y 為偶函數(shù)，即,為“對稱的一半”,同理有 關于 x或 y 軸對稱的結論,四、利用對稱性計算重積分,2. 三重積分,若 關于原點對稱，即,（1）若在 中，f ( x, y, z ) 關于 x, y, z 為奇函數(shù)，即,（2）若在 中，f ( x,

4、 y, z ) 關于 x, y, z 為偶函數(shù)，即,為“對稱的一半”,五、重點內(nèi)容,（1）二重積分中二次積分的交換次序；,（2）利用極坐標計算二重積分；,（3）利用對稱性計算二、三重積分；,（4）三重積分在直角坐標系中“先二后一” 的計算方法；,（5）曲面面積、質心及轉動慣量的計算（元素法）,例1：設,則有,同時關于 yoz , xoz 面對稱,例2：設,則有,例3：計算,其中 D 由直線 y = x , y = 1 , 及x = 1 所圍平面區(qū)域,解,例4：計算,解,因為 D 關于直線 y = x 對稱，所以,例4：計算,解,因為 D 關于直線 y = x 對稱，所以,例5：,解1。,例5：,解1。,由對稱性可得,例5：,解2。,由對稱性,所以,例5：,解2。,所以,解得,例5：,解2。,例6：,解1：采用柱面坐標系,例6：,解2：采用“先二后一”法,例6：,解2：采用“先二后一”法,例7：,解：畫圖。,薄片關于