1、最新 料推薦向量的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法。重心：ABC 中、每條邊上所對應(yīng)的中線的交點；垂心：ABC 中、每條邊上所對應(yīng)的垂線上的交點；內(nèi)心：ABC 中、每個角的角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）；外心：ABC 中、每條邊上所對應(yīng)的中垂線的交點（外接圓的圓心）。一、重心1、 O 是 ABC 的重心OA OBOC0若 O 是 ABC 的重心，則BOCAOCAOB1ABC 故 OAOBOC0 ,1 (PA3PGPBPC)G 為 ABC 的重心 .3、 P 是 ABC所在平面內(nèi)任一點.G是 ABC的重心1(PA).2PGPB PC3證明：

2、PGPAAGPBBGPCCG3PG ( AGBG CG)(PAPBPC) G是 ABC的重心 GAGBGC0AGBGCG0 ，即 3PGPAPBPC由此可得 PG1 ( PA PB PC) . （反之亦然（證略）33、已知 O 是平面上一定點，A，B，C 是平面上不共線的三個點，動點P 滿足OPOA( ABAC) ，(0，) ，則 P 的軌跡一定通過 ABC 的重心 .例 1 若 O為ABC 內(nèi)一點， OAOBOC0 ，則 O 是ABC 的（）A內(nèi)心B 外心C 垂心D 重心1最新 料推薦二、垂心1、 O 是 ABC 的垂心OA OB OB OCOA OC若 O 是 ABC ( 非直角三角形 )

3、 的垂心，則故 tan AOAtan BOBtan C OC02、H是面內(nèi)任一點，HA HBHB HCHCHA點 H 是 ABC的垂心 .由 HA HBHB HCHB ( HC HA) 0HB AC0HB AC ,同理 HCAB ， HABC . 故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（證略）3、 P 是 ABC 所在平面上一點，若 PA PBPB PCPC PA ，則 P 是 ABC 的垂心由 PA PBPB PC ，得 PB (PAPC ) 0，即 PB CA0，所以 PB CA 同理可證 PC AB ， PA BC P 是 ABC 的垂心如圖1.ACCBPEMHPAFB圖 1O圖4、

4、已知 O 是平面上一定點，A，B，C 是平面上不共線的三個點，動點P 滿足ABAC，(0，) ，則動點 P 的軌跡一定通過OP OAAB cos BAC cos C ABC 的垂心例 2 P 是 ABC所在平面上一點，若 PA PB PB PCPC PA ，則 P 是 ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心2最新 料推薦三、內(nèi)心1、 O 是ABC 的內(nèi)心的充要條件是ABACOBBABCCACB0OAOCABACBABCCACBe1Ae2B引進單位向量，使條件變得更簡潔。P如果記 AB, BC, CA 的單位向量為 e1,e2 , e3，則剛才 O 是 ABC的內(nèi)心的充要條件可以寫成OA e1e3

5、OB e1e2OC e2 e302、 O 是 ABC 的內(nèi)心的充要條件也可以是aOAb OBcOC 0。3、若 O 是 ABC 的內(nèi)心，則 S BOC : S AOC : S AOBa : b : c故aOAb OBc OC 0 或者 sin AOAsin BOBsin COC0 ;4、已知 I為 ABC 所在平面上的一點，且ABc ， ACb ， BC a 若aIA bIBcIC 0 ，則 I 是 ABC 的內(nèi)心 IBIAAB ， ICIAAC ，則由題意得 (abc) IAbAB cAC0， bABcACACABABAC ACABABAC，BABACca AIbcABACIab cABAC

6、Ab AB 與 AC 分別為 AB 和 AC 方向上的單位向量，ABAC AI 與 BAC 平分線共線，即 AI 平分BAC 同理可證： BI 平分ABC ， CI 平分 ACB 從而 I 是 ABC 的內(nèi)心，如圖。5、已知 O 是平面上一定點，A，B，C 是平面上不共線的三個點，動點P 滿足CC3最新 料推薦OPOAABAC，(0，) ，則動點 P 的軌跡一定通過 ABC 的內(nèi)ABACC心O由題意得 APABAC，PABACAB當(dāng)(0，) 時， AP 表示P 的BAC 的平分線所在直線方向的向量，故動點軌跡一定通過 ABC 的內(nèi)心，如圖。例 3O 平面上的一定點，A,B,C 是平面上不共線的

7、三個點，動點P 滿足OPOA( ABAC ) ，0,則 P 點的軌跡一定通過ABC 的（）ABAC（ A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（ D）垂心四、外心1、 O 是 ABC 的外心OAOBOC , 若 O是 ABC 的外心則S BOC : S AOC : S AOBsinBOC : sinAOC : sinAOBsin 2A : sin 2B : sin 2C故 sinAOAsin BOBsin C OC0 。2、 已知 O 是 ABC 所在平面上一點， 若 OA2OB 2OC 2 ，則 O 是 ABC 的外心222222OB OC，則 O 是 ABC若 OA OBOC，則 OAOBOC， OA

8、的外心，如圖 1。CBBM PA圖 1圖 2OOAC4最新 料推薦3、已知 O 是平面上的一定點，A，B，C 是平面上不共線的三個點，動點P 滿足OB OCABAC，(0，) ，則動點 P 的軌跡一定通OPAB cos BAC cosC2過 ABC 的外心，如圖 2。例 4 若 O 為ABC 內(nèi)一點， OA OBOC ，則 O 是 ABC 的（）A 內(nèi) 心B 外 心C 垂心D 重心關(guān)于“歐拉定理”的一些問題：著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點，即重

9、心到垂心的距離是重心到外心距離的 2 倍。例 5 在 ABC中，已知 Q、G、H 分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： Q、G、H三點共線，且 QG:GH=1:2。證明：以 A 為原點， AB所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè) A(0,0) 、B（ x1,0 ）、C(x2,y 2) ， D、 E、 F 分別為 AB、 BC、AC的中點，則有：D（ x1,0)、x 1x 2y 2、x 2,y 2)由題設(shè)可設(shè)Q（x 1, y3 )、 H (x 2, y 4 ) ,2E (2,) F (2222G ( x 1x 2 , y 2 )AH(x 2 , y 4 )，QF ( x 2x 1

10、 , y 2y 3)33222BC(x 2x1 , y 2 )yC(x 2,y2)AHBCAH BC x 2 (x 2x 1 ) y 2 y 40y 4x 2 (x 2x1 )FHy 2EGQxADB(x1,0)5最新 料推薦QFACQF ACx 2( x 2x 1 )y2 ( y 2y 3 ) 0222y 3x 2 (x 2x1 )y 22 y 22QH(x 2x 1 , y4y 3 ) （ 2x 2x 1 , 3x 2 ( x 2x 1 )y 2 )222y22QG ( x 2x 1x 1 , y 2y 3 ) （ 2x 2x 1 , y 2x 2 (x 2x 1) y 2 )323632

11、y 22( 2x 2x 1 ,3x 2 ( x 2x 1)y 2 )1 ( 2x 22x 1 ,3x 2 (x 2x 1)y 2 )66y2632y 22= 1 QH3即 QH =3QG ，故 Q、G、H三點共線，且 QG : GH 1：2例6 若O、 H 分 別 是 ABC 的 外 心 和 垂 心 . 求 證OHOAOBOC .證明若 ABC的垂心為 H，外心為 O，如圖 .連BO并延長交外接圓于D，連結(jié) AD，CD，. 又垂心為.ADABH， AHCD BCBC ，CHAB ，AH CD，CHAD，四邊形 AHCD為平行四邊形， AH DC DO OC ，故 OH OA AH OA OB

12、OC .“歐拉定理”簡化：例 7 設(shè) O、G、H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心 . 求證OG1 OH3證明按重心定理G是 ABC的重心OG1 (OA OB OC)3按垂心定理OHOAOBOC由此可得OG1 OH .36最新 料推薦補充練習(xí)一：、C是平面上不共線的三點，O 是 ABC的重心，動點 P 滿足1已知 ABOP =1 (1 OA + 1 OB +2OC ), 則點 P 一定為ABC（ ）322A. AB邊中線的中點B.AB邊中線的三等分點（非重心）C. 重心D.AB邊的中點2在 同一個平 面 上 有ABC及一點 滿 足 關(guān) 系 式 ：OA2BC 2OB 2AC 2OC 2AB 2

13、 ，則為ABC 的（）A 外心B內(nèi)心C重心D垂心2已知 ABC的三個頂點 A、B、C及平面內(nèi)一點 P滿足： PAPB PC0，則 P 為 ABC 的()外心內(nèi)心C重心D垂心3已知 O是平面上一定點， A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P 滿足：OPOA( ABAC) ，則 P 的軌跡一定通過 ABC的（）外心內(nèi)心C重心D垂心4已知 ABC， P為三角形所在平面上的動點，且動點P 滿足：PAPCPAPBPBPC0 ，則 P 點為三角形的（）外心內(nèi)心C重心D垂心5 已 知 ABC， P 為 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 點 ， 且 點 P滿 足 ：a P AbP Bc P0C，則P點

14、為三角形的（）外心內(nèi)心C重心D垂心2CB2CP ，則 P 點軌跡一定通6在三角形 ABC中，動點 P 滿足： CA2 AB過ABC的：（）外心內(nèi)心C重心D垂心7. 已知非 零向 量 AB 與 AC 滿足ABACBC0, 且 ABAC1 ， 則ABACABAC2ABC 為A. 三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形8. ABC 的 外 接 圓 的 圓 心 為 O ， 兩 條 邊 上 的 高 的 交 點 為 H ，OHm(OAOBOC) ，則實數(shù) m =。7最新 料推薦9. 點 O 是 ABC 所在平面內(nèi)的一點，滿足 OA OB OB OCOC OA ，則點 O 是A

15、BC 的（）A 三個內(nèi)角的角平分線的交點B 三條邊的垂直平分線的點C 三條中線的交點D 三條高的交點10. 已知點 G是 ABC 的重心，過 G作直線與 AB，AC兩邊分別交于 M， N 兩點，且 AMxAB ， ANy AC ，則 113 。xy證點 G是 ABC 的重心，知 GA GBGCO，得 AG(ABAG )( ACAG )O，有 AG1 ( ABAC ) 。又 M，N，G三點共線（ A 不在直線 MN上），3于是存在 ,，使得 AGAMAN (且1) ，有 AGxAByAC = 1 ( ABAC) ，31，于是得 11得13 。xyxy38最新 料推薦補充練習(xí)二：1、已知 O是 A

16、BC內(nèi)的一點，若222，則是的OAOBOCOABCA、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心2 、 在 ABC 中 ， 有 命 題 AB ACBC ； ABBC CA0 ； 若ABACABAC0 ，則ABC為等腰三角形；若 ABAC0 ，則 ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是A、B、C、D、3、已知 ABC中，有ABACBC0 和 ABAC1 , 試判斷 ABC的形ABACABAC2狀。4、已知 ABC中， ABa ， BCb ，B 是 ABC中的最大角，若 ab0，試判斷 ABC的形狀。5、已知 O是 ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足222222OABCOBACOCAB ，則 O是 ABC的A、重心B

17、、垂心C、外心D、內(nèi)心6 、 已 知P是 ABC 所 在 平 面 內(nèi) 的 一 動 點 ， 且 點P滿 足OPOAABAC,0,，則動點 P 一定過 ABC的ABACA、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心7、已知 O 為平面內(nèi)一點，A、 B、 C 平面上不共線的三點，動點P 滿足OPOAAB1 BC,0,，則動點 P 的軌跡一定通過 ABC的2A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心8、已知 O是 ABC所在平面內(nèi)的一點，動點P 滿足OPOAABAC,0,，則動點 P 一定過 ABC的AB cosBAC cosCA、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心9、已知 O是 ABC所在平面內(nèi)的一點，動點P 滿足OPOBOCABAC,0,，則動點 P 一定過 ABC的2AB cosBAC cosC9最新 料推薦A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心10、已知點G 是的重心，過G 作直線與AB、 AC 分別相交于M、N 兩點，且AMxAB, ANyAC ，求證： 113xy補充練習(xí)三：1、已知 O是 ABC內(nèi)的一點，若 OAOB OC0，則 O是 ABC的A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心2、若 ABC的外接圓的圓心為 O，半徑為 1