1、最新 料推薦兩角和差正余弦公式的證明兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進行探討。由角,的三角函數(shù)值表示的正弦或余弦值, 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。換言之, 要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式, 就是希望能得到一個等式或方程,將或與,的三角函數(shù)聯(lián)系起來。根據(jù)誘導(dǎo)公式, 由角的三角函數(shù)可以得到的三角函數(shù)。因此, 由和角公式容易 得 到 對 應(yīng) 的 差 角 公 式,也 可 以 由 差 角 公 式 得 到 對 應(yīng) 的 和 角 公 式 。又 因 為, 即原角的余弦等于其余角的正弦, 據(jù)此, 可以實現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導(dǎo)。因此, 只要解決這組公式中的一個,

2、 其余的公式將很容易得到。( 一 )在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角余弦公式注意到單位圓比較容易表示,和, 而且角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)可以用三角函數(shù)值表示, 因此, 我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系與,的三角函數(shù)值的等式。1. 和角余弦公式(方法1) 如圖所示 , 在直角坐標(biāo)系中作單位圓, 并作角,和, 使角的始邊為, 交于點A , 終邊交于點B ；角始邊為, 終邊交1最新 料推薦于點C；角始邊為, 終邊交于點。從而點A , B, C 和 D 的坐標(biāo)分別為,。由兩點間距離公式得；。注意到, 因此。注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架, 利用平面內(nèi)兩點間距離公式表達兩條相等線段, 從而得到

3、我們所要的等式。注意, 公式中的和為任意角。2. 差角余弦公式仍然在單位圓的框架下, 用平面內(nèi)兩點間距離公式和余弦定理表達同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是(方法 2) 如圖所示 , 在坐標(biāo)系中作單位圓, 并作角和, 使角和的始邊均為, 交于點C , 角終邊交于點A ,角終邊交于點。從而點 A , B 的坐標(biāo)為,。由兩點間距離公式得2最新 料推薦。由余弦定理得。從而有。注記：方法2 中用到了余弦定理, 它依賴于是三角形的內(nèi)角。因此 , 還需要補充討論角和的終邊共線 , 以及大于的情形。容易驗證, 公式在以上情形中依然成立。在上邊的證明中, 用余弦定理計算的過程也可以用勾股定理來進

4、行。也可以用向量法來證明。3最新 料推薦( 二 )在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式, 還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。1. 和角正弦公式 (一 )(方法 3) 如圖所示 ,為的邊上的高,為邊上的高。設(shè), 則。從而有,。因此,。注意到,從而有：,整理可得：。注記：在方法3 中 , 用和與底角,相關(guān)的三角函數(shù), 從兩個角度來表示4最新 料推薦邊上高, 從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 , 對基于直角或銳角三角形的情形, 證明過程類似。利用方法3 中的圖形, 我們用類似于恒等變形的方式, 可以得到下面的(方

5、法4) 如圖所示 ,為的邊上的高,為邊上的高。設(shè), 則。注意到, 則有,即。從而有。利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個非常簡潔的證法。 注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。(方法5) 如圖所示,為的邊上的高。設(shè),5最新 料推薦, 則有,。 由正弦定理可得,其中d 為的外接圓直徑。由得,從而有。2. 和角正弦公式 ( 二 )方法3,4 和 5 利用的圖形框架是將角,放在三角形的兩個底角上。如果將這兩個角的和作為三角形的一個內(nèi)角, 將會有下面的幾種證法( 方法611)。(方法6) 如圖所示, 作于 D, 交外接圓于E, 連和。 設(shè), 則,。設(shè)的外接圓直徑為d, 則

6、有 ,。6最新 料推薦所以有。注意到, 從而。(方法7) 如圖所示,為的邊上的高,為邊上的高。設(shè), 則。 設(shè), 則,。又從而。整理可得。7最新 料推薦(方法8) 如圖所示, 作于 D, 過 D 作于 F,于 G。設(shè), 則,設(shè), 從而,。所以。注意到, 則有。注記：我們用兩種不同的方法計算, 得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方法來計算, 則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得,從而有。注意到,從而可得。方法6,7 和 8 都是用角,的三角函數(shù)從兩個角度表示圖形中的同一線段, 從而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。8最新 料推薦(方法9 ) 如圖所示, 設(shè)為的邊上的高。設(shè), 從而有9最新 料推薦方法9

7、 利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個證法的思路則有所不同。(方法10) 如圖所示, 設(shè)為的外接圓直徑d, 長度為 d。 設(shè), 則, 從而10最新 料推薦注記：這一證明用到了托勒密定理：若和是圓內(nèi)接四邊形的對角線, 則有。(方法11) 如圖所示,為的邊上的高。設(shè), 則。 設(shè), 則11最新 料推薦方法10 和 11 將某一線段作為基本量, 利用與角,相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段, 再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理( 托勒密定理或正弦定理), 構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。3. 差角正弦公式仍然還是在三角形中, 我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。(方法12

8、) 如圖所示,。 設(shè), 記, 作12最新 料推薦于 E , 則, 從而有(方法13) 如圖所示,為的外接圓直徑, 長度為d。設(shè), 則,。 從而13最新 料推薦方法12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計算同一線段, 借此來構(gòu)造等式關(guān)系。很顯然, 在這十二種證法中, 方法1 和 2 更具普遍性。換言之, 這兩種方法中出現(xiàn)的角,是任意角。而其余方法中, 角和則有一定的限制, 它們都是三角形的內(nèi)角( 甚至都是銳角)。因此, 對于方法313, 我們需要將我們的結(jié)果推廣到角和是任意角的情形。具體而言, 我們要證明：如果公式對任意成立, 則對任意角也成立。容易驗證, 角和中至少有一個是軸上角( 即終邊在坐標(biāo)軸上的角), 我們的公式是成立的。下面證明, 角和都是象限角( 即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角 ) 時 , 我們的公式也成立。不妨設(shè)為第二象限角,為第三象限角, 從而有14最新 料推薦從而同理可證 , 公式對于象限角和的其它組合方式都成立。因此, 我們可以將方法313 推導(dǎo)的公式推廣到角,是任意角的情形。兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。其推導(dǎo)證明對指導(dǎo)學(xué)生進行探究性學(xué)習(xí)很有幫助。從上文中可以看到, 這一探究過程可分為四個步驟：(1) 明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系和三角函數(shù)與或的等式或方程；(2) 簡化課題：四