1、3.1.2 空間向量的數(shù)乘運算,加法交換律,加法:三角形法則或 平行四邊形法則,減法:三角形法則,加法結(jié)合律,注:兩個空間向量的加、減法與兩個平面向量的加、減法實質(zhì)是一樣的.,上一節(jié)課,我們把平面向量的有關(guān)概念及加減運算擴展 到了空間.,我們知道平面向量還有數(shù)乘運算. 類似地,同樣可以定義空間向量的數(shù)乘運算,其 運算律是否也與平面向量完全相同呢?,1.空間向量的數(shù)乘運算.(重點) 2.共線向量及共面向量的應(yīng)用.(重點、難點) 3.向量的共面、共線與直線的位置關(guān)系,提示:,顯然,空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律,如果表示空間向量的有向線段所在直線互相 平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行

2、向量.,探究1：定理中為什么要規(guī)定 ？,提示：若 ，當(dāng) 時我們知道，零向量與任何向量都是共線向量，此時找不到惟一實數(shù)，使 .,若P為A,B中點, 則,和都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點及直線的方向向量惟一決定. 由此可判斷空間任意三點是否共線.,l,A,B,P,O,【探究總結(jié)】共線(平行)向量的充要條件 (1)三點P，A，B共線的充要條件有： 存在實數(shù)t使得 ，即 存在實數(shù)t，使得 存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得 (其中x+y =1).,(2)判斷向量a，b所在直線平行，還需a(或b)上有一點不在b(或a)上. (3)常見結(jié)論： 零向量與任何空間向量都是平行向量； 若直線l過

3、點A且與向量a平行， 則點P在直線l上,下列說法正確的是（ ） A.在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線 B.在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線 C.在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線 D.在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線,【即時訓(xùn)練】,探究點2 共面向量,共面向量:平行于同一個平面的向量,叫做共面向量.,提示：空間任意兩個向量是共面的。,探究1：根據(jù)共面向量的定義，探究下面幾個問題. (1)向量a與向量b分別為異面直線l，m的方向向量， 則向量a與向量b不是共面向量，正確嗎？ 提示：不正確.由共面向量的定義：平行于同一平面 的向量叫共面向量，則任意兩個向量都是共面向量.,(2)共面向量是否一定

4、在同一個平面內(nèi)？ 提示：共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可 以平移到同一平面內(nèi).幾個向量共面是指它們平 行于同一個平面或在同一個平面內(nèi)，并不是指它 們一定在同一平面內(nèi).,探究2：根據(jù)共面向量的充要條件，探究下面幾個 問題. (1)空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉 例說明. 提示：不一定.對于空間任意兩個向量，它們 總是共面的，但空間任意三個向量就不一定 共面了.例如：對于空間四邊形ABCD， 這三個向量就不是共面向量.,由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么 對于這一平面內(nèi)的任意向量 ，有且 只有一對實數(shù) ， 使,（2）那么什么情況下三個向量共面呢？,空間一

5、點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y)使,C,或?qū)臻g任一點O,有,C,式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意 平面由空間一點及兩個不共線向量惟一確定.,O,P與A,B,C共面,C,【即時訓(xùn)練】,例1.若對任一點O和不共線的三點A，B，C，有,則x+y+z=1 是四點P，A，B，C共面的 （ ）,A.必要不充分條件,C.充要條件,B.充分不必要條件,D.既不充分也不必要條件,C,【變式練習(xí)】,已知A，B，C三點共線，則空間任一點O，存在三個 不為零的實數(shù)，m，n使 ，那 么+m+n的值為_.,【解析】因為A，B，C三點共線，所以存在唯一實數(shù)k，使 ，即 所以 又 令=k-1，m=1，n=-k，則+m+n=0. 答案：0,O,B,A,H,G,F,E,C,D,證明,【變式練習(xí)】,C,【規(guī)律總結(jié)】應(yīng)用空間向量共面定理的三個策略 (1)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，將 式子轉(zhuǎn)化為共面向量定理的形式，可快速找到解題思 路. (2)列方程(組)：證明四點共面時，可先轉(zhuǎn)化為證明 向量共面，再利用共面向量定理，列出系數(shù)x，y的方 程(組)，求出x，y，問題得證.,1下列命題中正確的個數(shù)是() 若 與 共線， 與 共線，則 與 共線；