1、第 2章,邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎(chǔ),電子技術(shù)基礎(chǔ)（數(shù)字部分）,2.1 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則 2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式 2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法 2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2 .邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎(chǔ),熟悉邏輯代數(shù)常用基本定律、恒等式和規(guī)則。 掌握邏輯代數(shù)的變換和卡諾圖化簡法。,本章學習學習重點,2 .邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎(chǔ),2.1 邏輯代數(shù),邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是分析和設(shè)計現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，用于對邏輯表達式進行處理，以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設(shè)計。,1、基本公式,2.1.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等

2、式,2.1 邏輯代數(shù),吸收律,1、基本公式,2.1.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,2.1 邏輯代數(shù),2、基本公式的證明,列出等式左邊、右邊的函數(shù)值的真值表,(真值表證明法),2.1.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,2.1 邏輯代數(shù),證:,A+1=1,常用的恒等式可以用其它的基本定律證明,2、基本公式的證明,2.1.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,2.1 邏輯代數(shù),常用的恒等式可以用其它的基本定律證明,2、基本公式的證明,2.1.1 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式,2.1 邏輯代數(shù),：在包含變量A的邏輯等式中，如果用另一個函數(shù)式代入式中所有A的位置，等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。,2.1.2

3、 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,代入規(guī)則,例：B (A +C) = BA+BC，,用A + D代替A，得,B (A +D ) +C = B (A +D ) + BC = BA + BD + BC,代入規(guī)則可以擴展所有基本公式或定律的應用范圍,2.1 邏輯代數(shù),對于任意一個邏輯表達式L，若將其中所有的與（ ）換成或（+），或（+）換成與（）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結(jié)果就是原函數(shù)的反函數(shù)。,2. 反演規(guī)則：,解：按照反演規(guī)則，得,2.1.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,2.1 邏輯代數(shù),（1）保持原來的運算優(yōu)先級，即先進行與運算，后進行或運算，并注意優(yōu)先考慮括號內(nèi)的運算。

4、,解：按照反演規(guī)則，得,（2） 對于反變量以外的非號應保留不變。,運用反演規(guī)則時，必須注意以下兩個原則：,2. 反演規(guī)則：,2.1.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,2.1 邏輯代數(shù),對于任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（ ）換成或（+），或（+）換成與（）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數(shù)式就是L的對偶式，記作,例: 邏輯函數(shù) 的對偶式為,3. 對偶規(guī)則：,當某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式的對偶式也成立。 這就是對偶規(guī)則。利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的 運算公式。,2.1.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,2.1 邏輯代數(shù),2.2.1 邏輯函數(shù)表達式的基本形式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,1

5、. 與-或表達式,與-或表達式是指由若干與項進行或邏輯運算構(gòu)成的表達式。,2. 或-與表達式,或-與表達式是指由若干或項進行與邏輯運算構(gòu)成的表達式。,“與非-與非”表達式,“或非或非” 表達式,2.2.2 最小項與最小項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,1. 最小項的定義與性質(zhì),對于含有n個變量X1, X2, , Xn的邏輯函數(shù)，若有一個乘積項包含了全部的n個變量，每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，這個乘積項就被稱為該邏輯函數(shù)的最小項。,一般n個變量的邏輯函數(shù)其最小項應有2n個。,對于變量的任一組取值，全體最小項之和為1。,對于任意一個最小項，只有一組變量取

6、值使得它的值為1；,對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0；,2.2.2 最小項與最小項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,1. 最小項的定義與性質(zhì),2.2.2 最小項與最小項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,1. 最小項的定義與性質(zhì),最小項的表示,也可以用mi表示，m 表示最小項,下標i為最小項的編號，用十進制數(shù)表示（最小項中的原變量用1表示，非變量用0表示，即可得到最小項編號的十進制數(shù)值。）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,2.2.2 最小項與最小項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,2. 邏輯函數(shù)的最小項表達式,是由若干最小項相或構(gòu)成的邏輯表達式，也稱為標

7、準的與或表達式。,= m7m6m3m1,例2.2.2 將,化成最小項表達式,a.去掉非號,b.去括號,2.2.2 最小項與最小項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,c.配項,2.2.3 最大項與最大項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,1. 最大項的定義與性質(zhì),對于含有n個變量X1 , X2 , , Xn的邏輯函數(shù)，若有一個或項包含了全部的n個變量，每個變量都以它的原變量或非變量的形式在或項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則稱該或項是邏輯函數(shù)的最大項。,一般n個變量的邏輯函數(shù)其最大項應有2n個。,也可以用Mi表示，M 表示最大項,下標i為最大項的編號，用十進制數(shù)表示（最大項中的原變量取0，非變量取1

8、表示，即可得到最大項編號的十進制數(shù)值。）,2.2.3 最大項與最大項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,最大項的性質(zhì),2.2.3 最大項與最大項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,1. 最大項的定義與性質(zhì),對于變量的任一組取值，全體最大項之積為0。,對于任意一個最大項，只有一組變量取值使得它的值為0，而在變量取其它各組值時，這個最大項的值都是1；,對于變量的任一組取值，任意兩個不同的最大項之和1；,相同變量構(gòu)成的最小項和最大項之間存在互補關(guān)系，即：,2.2.3 最大項與最大項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,2. 最小項和最大項的關(guān)系,例2.2.2 將,化成最大項之積的形式,2.2.3

9、 最大項與最大項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,2. 最小項和最大項的關(guān)系,例2.2.2 將,化成最大項之積的形式,2.2.3 最大項與最大項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,2. 最小項和最大項的關(guān)系,例2.2.4 一個邏輯電路有三個輸入邏輯變量A、B、C，它的真值表如下表所示 ，試寫出該邏輯函數(shù)的最小項表達式和最大項表達式。,2.2.3 最大項與最大項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,2. 最小項和最大項的關(guān)系,步驟：,1）寫出使函數(shù)值為1的各行所對應的最小項,2）將這些最小項相加，即得到最小項表達式。,例2.2.4 一個邏輯電路有三個輸入邏輯變量A、B、C，它的真值表如下表

10、所示 ，試寫出該邏輯函數(shù)的最小項表達式和最大項表達式。,2.2.3 最大項與最大項表達式,2.2 邏輯函數(shù)表達式的形式,2. 最小項和最大項的關(guān)系,步驟：,1）寫出使函數(shù)值為0的各行所對應的最大項,2）將這些最大項相乘，即得到最大項表達式。,根據(jù)邏輯函數(shù)表達式，可以畫出相應的邏輯圖。然而，直接根據(jù)某種邏輯要求寫出來的邏輯函數(shù)表達式往往不是最簡的形式，這就需要對邏輯函數(shù)表達式進行化簡。利用化簡后的邏輯函數(shù)表達式構(gòu)成邏輯電路圖時，可以節(jié)省器件，降低成本，提高數(shù)字系統(tǒng)的可靠性。,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,“或-與”表達式,“與非-與非”表達式,“與-或-非”表達式,“或非或非” 表達式,“與-或

11、” 表達式,在若干個邏輯關(guān)系相同的與-或表達式中，若其中包含的與項（乘積項）數(shù)最少，且每個與項中變量數(shù)最少，這樣的表達式稱為最簡與-或表達式。,2.3.1 邏輯函數(shù)的最簡形式,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,1、邏輯函數(shù)的化簡,化簡的主要方法： () 公式法（代數(shù)法） () 圖解法（卡諾圖法）,代數(shù)化簡法： 運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡的方法。,并項法:,(),2.3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,(2) 吸收法：,A + AB = A,(3)消去法：,2.3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,1、邏輯函數(shù)的化簡,(4)配項法：,2.3.

12、2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,1、邏輯函數(shù)的化簡,2.3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,1、邏輯函數(shù)的化簡,化簡邏輯函數(shù),要求:（1）求最簡的與-或邏輯函數(shù)表達式。 （2）畫出僅用與非門實現(xiàn)的最簡的邏輯圖。 解：,例2.3.6 已知邏輯函數(shù)表達式為,2.3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2、邏輯函數(shù)形式的變換,要求:（1）求最簡的與-或邏輯函數(shù)表達式。 （2）畫出僅用與非門實現(xiàn)的最簡的邏輯圖。 解：,例2.3.6 已知邏輯函數(shù)表達式為,2.3.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2、邏輯函數(shù)形式的

13、變換,將與或表達式變換成與非與非表達式時，首先對與或表達式取兩次非，然后按照摩根定理分開下面的非號即可。,解：,2.3.1 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法,2、邏輯函數(shù)形式的變換,將與或表達式變換成或非或非表達式時，首先對與或表達式中的每個乘積項單獨取兩次非，然后按照摩根定理分開下面的非號即可。,1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握； 2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗和靈活性； 3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。 卡諾圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。,代

14、數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：,2.1.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡,1、卡諾圖,卡諾圖：和n變量邏輯函數(shù)的全部最小項一一對應的方格陣圖，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣所得到的方格陣圖叫n變量邏輯函數(shù)的卡諾圖。,邏輯相鄰的最小項也應該幾何相鄰,2.4.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,邏輯相鄰與幾何相鄰,邏輯相鄰：兩個最小項,只有一個變量的取值不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項可以合并。,1、卡諾圖,2.4.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,幾何相鄰： 一是相鄰緊挨的； 二是相對任一行或一列的兩頭；,1,0,1,0,0,1

15、,00,01,11,10,三變量卡諾圖,兩變量卡諾圖,在卡諾圖的行和列分別標出變量及其取值狀態(tài)。,二進制數(shù)對 應的十進制 數(shù)編號,1、卡諾圖,2.4.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,四變量卡諾圖,2、卡諾圖的特點:各小方格對應于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)只有一個因子有差別，這個重要特點成為卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的主要依據(jù)。,1、卡諾圖,2.4.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,3. 已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖,當邏輯函數(shù)為最小項表達式時，在卡諾圖中找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余的小方格填上0（有時也可用空格表示），就

16、可以得到該邏輯函數(shù)相應的卡諾圖。任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為1的方格所對應的最小項之和。,2.4.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,3. 已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖,2.4.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,例2.4.2 畫出下面邏輯函數(shù)式的卡諾圖,(2). 填寫卡諾圖,3. 已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖,2.4.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,(2) 填寫卡諾圖,3. 已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖,2.4.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2.4.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),1、化簡的依據(jù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化

17、簡法,2、化簡的步驟,步驟如下：,(4) 將所有包圍圈對應的乘積項相加。,(1) 將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式,(2) 按最小項表達式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應方格填1，其余方格填0。,(3) 合并最小項，將相鄰為1的方格圈成一組(包圍圈)，每一組含2n個方格，對應每個包圍圈寫成一個乘積項。本書中包圍圈用虛線框表示。,2.4.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,（1）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個。,（2）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。,（3）同一方格可以被不同的包圍圈重復包圍多次，但新增 的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。,（4）一

18、個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多,包圍圈的數(shù)目要可能少。,畫包圍圈 時應遵循 的原則,2.4.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,例2.4.3 :用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù),（2）畫包圍圈合并最小項，得最簡與-或表達式,解：(1) 由L 畫出卡諾圖,(0，2，5，7，8，10，13，15),2.4.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2、化簡的步驟,例2.4.4 :用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù),解：(1) 將邏輯表達式變換，得到與或表達式,2.4.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2、化簡的步驟,(2) 由表達式得到卡諾圖,2.4.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2、化簡的步驟,(2) 由表達式得到卡諾圖,2.4.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,2、化簡的步驟,(2) 由表達式得到卡諾圖,(3) 畫包圍圈，合并最小項。,例2.4.5: 用卡諾圖化簡,圈0,圈1,2.4.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),2.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,3.含無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡,什么叫無關(guān)項：,在真值表內(nèi)對應于