1、目 錄,引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量,Appendix A,引 言,廣義相對(duì)論（1915）、理論物理 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)） 現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻(xiàn)都采用張量表示,Appendix A,主要參考書: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972 黃克智等，張量分析，清華大學(xué)出版社，2003.,張量基本概念,標(biāo) 量（零階張量） 例如：質(zhì)量，溫度 質(zhì)量密度 應(yīng)變能密度，等 其值與

2、坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)。,Appendix A.1,矢量（一階張量） 位移，速度， 加速度，力， 法向矢量，等,Appendix A.1,張量基本概念,矢 量 矢量u在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為,Appendix A.1,其中u1, u2, u3 是u的三個(gè)分量，e1, e2, e3是單位基矢量。,張量基本概念,矢 量,Appendix A.1,既有大小又有方向性的物理量; 其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系； 遵從相應(yīng)的矢量運(yùn)算規(guī)則,張量基本概念,矢量(可推廣至張量)的三種記法： 實(shí)體記法： u 分解式記法： 分量記法：,Appendix A.1,張量基本概念,Appendix A.1,指標(biāo)符號(hào)用法

3、 三維空間中任意點(diǎn)P的坐標(biāo)（x, y, z）可縮寫成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 兩個(gè)矢量a和b的分量的點(diǎn)積(或稱數(shù)量積)為：,張量基本概念,愛因斯坦求和約定 如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱啞標(biāo)。,Appendix A.1,張量基本概念,Appendix A.1,由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換： 由于啞標(biāo) i 僅表示要遍歷求和，故可成對(duì)地任意交換。例如：,只要指標(biāo) j 或 m 在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和 i 相同。,張量基本概念,約定： 如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁

4、指標(biāo)i, j, k, 表示三維指標(biāo)，取值1, 2, 3; 希臘指標(biāo), , , 均為二維指標(biāo)，取值1, 2。,張量基本概念,張量基本概念,拉丁指標(biāo),希臘指標(biāo),張量基本概念,二階張量 應(yīng)變 ，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。 三階張量 壓電張量，等。 四階張量 彈性張量，等。,Appendix A.1,二階（或高階）張量的來(lái)源 描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量 低階張量的梯度 低階張量的并積 更高階張量的縮并，等。,Appendix A.1,張量基本概念,張量基本概念,應(yīng)力張量,Appendix A.1,張量的三種記法： 實(shí)體記法： 分解式記法： 分量記法：,Appendix A.1,張量

5、基本概念,愛因斯坦求和約定,Appendix A.1,張量基本概念,Appendix A.1,采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為,利用愛因斯坦求和約定，寫成：,其中 j 是啞指標(biāo)，i 是自由指標(biāo)。,張量基本概念,例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來(lái)表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為 (或 )。 矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為一階張量，標(biāo)量為零階張量。,Appendix A.1,張量基本概念,Appendix A.1,在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標(biāo)。例：,若i為自由指標(biāo),張量基本概念,Appendix A.1,自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)

6、范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。 例如：表達(dá)式 在自由指標(biāo) i 取1，2，3時(shí)該式始終成立，即有,張量基本概念,同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。 自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個(gè)新名字。,Appendix A.1,i換成k,張量基本概念,Appendix A.1,指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度 ds 和其分量 dxi 之間的關(guān)系,可簡(jiǎn)寫成：,場(chǎng)函數(shù) f(x1, x2, x3) 的全微分：,張量基本概念,Appendix A.1,可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)(或幾對(duì))不同啞指標(biāo)的方法來(lái)表示多重求和。 例如：,若

7、要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號(hào)。如：,張量基本概念,Appendix A.1,但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立,張量基本概念,Appendix A.1,小結(jié),通過啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)又把許多方程縮寫成一個(gè)方程。 一般說(shuō)，在一個(gè)用指標(biāo)符號(hào)寫出的方程中，若有k個(gè)獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取值范圍是1n，則這個(gè)方程代表了nk 個(gè)分量方程。在方程的某項(xiàng)中若同時(shí)出現(xiàn)m對(duì)取值范圍為1n的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)含相互迭加的nm個(gè)項(xiàng)。,張量基本概念,張量分析初步,矢量和張量的記法，求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，

8、張量方程 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量,Appendix A,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,ij符號(hào) (Kronecker delta) 定義(笛卡爾坐標(biāo)系),Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,2. ij 的分量集合對(duì)應(yīng)于單位矩陣。例如在三維空間,3. 換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：,即：如果符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)中，有一個(gè)和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)換成的另一個(gè)指標(biāo)，而自動(dòng)消失。,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,類似地有,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,erst符號(hào)(排列符號(hào)或置換符號(hào)) 定義(笛卡爾

9、坐標(biāo)系),(1,2,3)及其輪流換位得到的(2,3,1)和(3,1,2)稱為正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的(2,1,3)和(1,3,2)稱為逆序排列。,或,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,特性 共有27個(gè)元素，其中三個(gè)元素為1，三個(gè)元素 為-1，其余的元素都是0 對(duì)其任何兩個(gè)指標(biāo)都是反對(duì)稱的，即 當(dāng)三個(gè)指標(biāo)輪流換位時(shí)(相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對(duì)換兩次)，erst的值不變,常用實(shí)例 三個(gè)相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。它具有如下重要性質(zhì)： 每個(gè)基矢量的模為1，即eiej1 (當(dāng)ij時(shí)) 不同基矢量互相正交，即eiej0 (當(dāng)ij時(shí)) 上述兩個(gè)性質(zhì)可以用ij 表示統(tǒng)一形式：

10、eiej ij,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,當(dāng)三個(gè)基矢量ei, ej, ek構(gòu)成右手系時(shí)，有,而對(duì)于左手系，有：,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,2. 矢量的點(diǎn)積： 3. 矢量的叉積(或稱矢量積) ：,如果沒有特殊說(shuō)明，我們一般默認(rèn)為右手系。,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的法線方向。,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,三個(gè)矢量a, b, c的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其定義為： 若交換混合積中相鄰兩個(gè)矢量的順序

11、，混合積的值反號(hào)。當(dāng)a, b, c構(gòu)成右手系時(shí)，混合積表示這三個(gè)矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負(fù)值。,符號(hào)ij與erst,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,由此可見符號(hào)ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉積有關(guān)。,利用(A.24)和(A.23a)式有,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,三階行列式的值,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,三階行列式的值,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,三階行列式的值,Appendix A.2,符號(hào)ij與erst,e-恒等式，其一般形式為： 即 退化形式為：,附錄A 張量分析引論,矢量和張量

12、的記法，求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量,Appendix A,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系),坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系) 坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,任意坐標(biāo)系 坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,概念 坐標(biāo)線 當(dāng)一個(gè)坐標(biāo)任意變化而另兩個(gè)坐標(biāo)保持不變時(shí)，空間點(diǎn)的軌跡，過每個(gè)空間點(diǎn)有三根坐標(biāo)線。 基矢量 矢徑對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個(gè)基矢量gi,坐標(biāo)

13、與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,參考架 空間每點(diǎn)處有三個(gè)基矢量，它們組成一個(gè)參考架或稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對(duì)其相應(yīng)作用點(diǎn)處的參考架分解。 對(duì)笛卡爾坐標(biāo)系：,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,三個(gè)相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,歐氏空間中的一般坐標(biāo)系 現(xiàn)在的坐標(biāo)線可能不再正交； 不同點(diǎn)處的坐標(biāo)線可能不再平行； 基矢量的大小和方向都可能隨點(diǎn)而異； 各點(diǎn)處的參考架不再是正交標(biāo)準(zhǔn)化基。,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,將新基 對(duì)老基 分解： 轉(zhuǎn)換系數(shù)： 反之：

14、,向新坐標(biāo)軸 投影，即用 點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊： 右邊：,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式 經(jīng)過類似推導(dǎo)可得老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合),坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義 設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個(gè)新、老坐標(biāo)系， 和 是同一空間點(diǎn)P的新、老坐標(biāo)值，則方程組 定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換 其逆變換為 對(duì)(A.53)式微分,(A.53),處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過來(lái)用 唯

15、一確定,坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,其系數(shù)行列式(雅克比行列式),坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,Appendix A.3,容許轉(zhuǎn)換 由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 正常轉(zhuǎn)換 J 處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系 反常轉(zhuǎn)換 J 處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系,張量分析引論,矢量和張量的記法，求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量,Appendix A,分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,Appendix A.4,張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量，都不會(huì)因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切

16、相關(guān) 所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)滿足一定的規(guī)律，以保證其坐標(biāo)不變性,Appendix A.4,標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 設(shè)一個(gè)標(biāo)量在新、老坐標(biāo)系中的值為 和 t，則 矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,Appendix A.4,張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 以三維空間的二階張量為例，其分解式是： 其中，Tij 為張量分量，eiej稱為基矢量，就是把兩個(gè)基矢量并寫在一起，不作任何運(yùn)算，成為構(gòu)成矢量的基。,分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,Appendix A.4,張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 即：,分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,Appendix A.4,高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律,分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,Appendix A.4,注： 在一個(gè)表示全部張量分量集合的指標(biāo)

17、符號(hào) 中，自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)K，每個(gè)自由指標(biāo)的取值范圍等于張量的維數(shù)n，各指標(biāo)在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個(gè)分量，所以n維K階張量共有nK個(gè)分量。,分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,Appendix A.4,張量方程 定義 每項(xiàng)都由張量組成的方程稱為張量方程。 特性 具有與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的重要性質(zhì)，可用于 描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。,分量轉(zhuǎn)換規(guī)律,張量分析引論,矢量和張量的記法，求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量,Appendix A,張量代數(shù)&商判則,相 等 若兩個(gè)張量 和 相等 則對(duì)應(yīng)分量相等

18、 若兩個(gè)張量在某個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)分量相等，則它們?cè)谌魏纹渌鴺?biāo)系中對(duì)應(yīng)分量也相等。,Appendix A.5.1,張量代數(shù)&商判則,和、差 兩個(gè)同階張量 與 之和(或差) 是另一個(gè)同階張量 其分量關(guān)系,Appendix A.5.1,張量代數(shù)&商判則,數(shù) 積 張量A和一個(gè)數(shù) (或標(biāo)量函數(shù)) 相乘得另一同維同階張量T 其分量關(guān)系為,Appendix A.5.1,張量代數(shù)&商判則,并 積 兩個(gè)同維不同階(或同階)張量A和B的并積T是一個(gè)階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量。設(shè) 則 其分量關(guān)系為,Appendix A.5.1,注意：,張量代數(shù)&商判則,縮 并 若對(duì)基張量中的任意兩個(gè)基矢量求點(diǎn)積，在張量將縮

19、并為低二階的新張量。 其分量關(guān)系為,Appendix A.5.1,張量代數(shù)&商判則,若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若,Appendix A.5.1,張量代數(shù)&商判則,內(nèi) 積 并積加縮并運(yùn)算稱為內(nèi)積。例如 和 的一種內(nèi)積是,Appendix A.5.1,張量代數(shù)&商判則,點(diǎn) 積 前張量A的最后基矢量與后張量B的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為 ，是最常用的一種內(nèi)積。 兩個(gè)二階張量的點(diǎn)積相當(dāng)于矩陣乘法。,Appendix A.5.1,張量代數(shù)&商判則,雙點(diǎn)積 對(duì)前、后張量中兩對(duì)近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點(diǎn)積，共有兩種： 并雙點(diǎn)積 串雙點(diǎn)積,Appendix A.5.1,張量

20、代數(shù)&商判則,Appendix A.5.1,并矢 把K個(gè)獨(dú)立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個(gè)K階張量。,由于矢量的并積不服從交換律，并矢量中各個(gè)矢量的排列順序不得任意調(diào)換。,張量代數(shù)&商判則,Appendix A.5.2,商判則 和任意矢量的內(nèi)積(包括點(diǎn)積)為 K-1 階張量的量一定是個(gè) K 階張量。,一個(gè) K 階張量連續(xù)地和 n 個(gè)任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個(gè) K-n 階張量,張量分析引論,矢量和張量的記法，求和約定 符號(hào)ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量,Appendix A,特殊張量，主方向與主分量

21、,Appendix A.6.1,常用特殊張量 零 張 量 則：,特殊張量，主方向與主分量,Appendix A.6.1,單位張量 笛卡爾坐標(biāo)系中分量為ij的二階張量 I，即,單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身： I aa， I AA,特殊張量，主方向與主分量,Appendix A.6.1,球形張量 主對(duì)角分量為 ，其余分量為零的二階張量。它是數(shù) 與單位張量的數(shù)積。即,特殊張量，主方向與主分量,Appendix A.6.1,轉(zhuǎn)置張量 對(duì)于二階張量 ，由對(duì)換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得到的新張量 稱為張量 T 的轉(zhuǎn)置張量。,特殊張量，主方向與主分量,Appendix A.6.1,對(duì)稱張量

22、,對(duì)稱張量,特殊張量，主方向與主分量,Appendix A.6.1,反對(duì)稱張量 轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張量。即滿足 反對(duì)稱張量的主對(duì)角張量均為零。三維二階反對(duì)稱張量的獨(dú)立分量只有三個(gè)。n維二階對(duì)稱張量有 個(gè)獨(dú)立分量,特殊張量，主方向與主分量,Appendix A.6.1,加法分解 任意二階張量T均可分解為對(duì)稱張量 S 和反對(duì)稱張量 A 之和：,特殊張量，主方向與主分量,Appendix A.6.1,偏斜張量 任意二階對(duì)稱張量 S 均可分解為球形張量 P 和偏斜張量 D 之和：,其中,Appendix A.6.1,偏斜張量為 由式(A.90b)和(A.90c)知，偏斜張量三個(gè)對(duì)角分量之和為零：,特殊張量，主方向與主分量,特殊張量，主方向與主分量,Appendix A.6.1,置換張量 笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱排列張量,特殊張量，主方向與主分量,A