1、第三章 線性空間與線性變換,3.1 線性空間的定義與性質(zhì),0,數(shù)軸,平面,三維空間,常見的幾何空間：,幾何空間R3的運算,運算規(guī)律,加法：,數(shù)乘：,對幾何空間進行推廣，通過抽象出幾何空間線性運算的本質(zhì)； 在任意研究對象的集合上定義具有線性運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。,線性空間,若對于任一數(shù) 與任一元素 ，總有唯 一的一個元素 與之對應(yīng)，稱為 與 的積， 記作,定義 設(shè) 是一個非空集合， 為一個數(shù)域如果 對于任意兩個元素 ，總有唯一的一個元 素 與之對應(yīng)，稱為 與 的和，記作,如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律:,那么 就稱為數(shù)域 上的線性空間,2 判別線性空間的方法：一個集合，對于定 義的加法和數(shù)乘運

2、算不封閉，或者運算不滿足八條 性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間,注,1 凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運算，稱為線性運算,特別地，當集合中定義的加法和乘數(shù)運算是通常 的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性,例1 實數(shù)域上的全體 矩陣，對矩陣的加法 和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作 ,注,加法：,數(shù)乘:,例3 全體正實數(shù)R+,定義加法和數(shù)量乘法如下：,解：,零元為常數(shù)1,故在該加法和數(shù)乘運算下，對應(yīng)集合構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間。,負元為1/a,注：線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等.,線性空間的簡單性質(zhì)： 零元素是唯一的； 負元素是

3、唯一的； 0=0;k0=0;(-1)=- ； 如果k=0,那么k=0或=0。,01=01+02=02,-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2),=(-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2,3.4 線性子空間,對三維幾何空間：,任何過原點的平面是R3的子集,在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成一個二維的線性空間。,線性子空間,定義：設(shè)W是數(shù)域F上線性空間V的非空子集合.如果 W中的向量對V中所定義的向量加法和數(shù)乘運算也構(gòu)成 F上的線性空間，則稱W為V的線性子空間,簡稱子空間.,定理: W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要 條件是,V的子空間,注,V和零子空間是V的平凡子空間

4、；,其它子空間稱為V的真子空間.,生成子空間,3.2 向量的線性相關(guān)性,如果線性空間V以通常的向量作為元素，即V中含有無窮多個向量。如何用有限個向量刻劃空間中的所有向量？需要討論向量間的關(guān)系.,如三維幾何空間：,線性組合與線性表示,設(shè)V是數(shù)域F上的一個線性空間， 是V 中的一組向量， 是數(shù)域F 中的數(shù)，那么向量,稱為向量 的一個線性組合，有時也稱向量 可以由 線性表示。,例1:,線性相關(guān)與線性無關(guān),設(shè)V是數(shù)域F上的一個線性空間，且 如果在數(shù)域F中存在s 個不全為零的數(shù) ,使得,則稱向量組 線性相關(guān).,否則稱向量組 線性無關(guān)，即若,則必有,進一步來理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān),考慮等式,注：(

5、1)給定向量組 ，該向量組要么線性相關(guān)，要么線性無關(guān)。,(2)含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。,(3)向量組只包含一個向量 時：,若 ,則說 線性相關(guān)；,若 ,則說 線性無關(guān)。,解：令,即,故,解：令,即,系數(shù)矩陣為方陣,故方程組Ax=0存在非零解. 即 線性相關(guān).,即r(A)=23，故Ax=0存在非零解.,另解：,同理，對 ,令,即,故 線性無關(guān).,注：向量組只包含兩個非零向量 時，則,定理1 n維列向量組 線性相關(guān)的充要條件是r(A) s，其中,線性相關(guān)性的判定,推論 n個 n維列向量組 線性相關(guān)的充要條件是|A|=0，其中,注：若給定的是行向量組，需要將其轉(zhuǎn)化成列向量組。,例5 設(shè),判斷

6、 是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？,解,故r(A)=35,28,證,定理2 向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量可以由其他向量線性表示.,定理3,線性相關(guān),線性相關(guān),定理4,線性無關(guān),線性相關(guān),部分相關(guān), 則整體相關(guān);,整體無關(guān), 則部分無關(guān).,向量組的等價,性質(zhì),定理1 下列命題等價,(1),(2) C的行向量組可由B的行向量組線性表示,(3) C的列向量組可由A的列向量組線性表示,推論1 矩陣A經(jīng)過初等行(列)變換化為B, 則,A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價。,定理2 若向量組 線性無關(guān)，且可由 線性表示，則,推論2 等價的線性無關(guān)向量組必含有相同個數(shù)的向量.,3.4 線性子空

7、間,對三維幾何空間：,任何過原點的平面是R3的子集,在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成一個二維的線性空間。,線性子空間,定義：設(shè)W是數(shù)域F上線性空間V的非空子集合.如果 W中的向量對V中所定義的向量加法和數(shù)乘運算也構(gòu)成 F上的線性空間，則稱W為V的線性子空間,簡稱子空間.,定理: W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要 條件是,V的子空間,注,V和零子空間是V的平凡子空間；,其它子空間稱為V的真子空間.,生成子空間,如果線性空間中含有無窮多個向量。如何找出有限個向量刻劃空間中的所有向量？,如三維幾何空間：,3.4 線性子空間,基、維數(shù)和坐標,注: (1)規(guī)定V= 為零維空間.

8、 (2)有限維線性空間V的基不唯一.,向量組的秩,(一) ：若以 的部分組為基,尋基求秩 的過程,明確向量組線性 關(guān)系的過程,(找最大線性無關(guān)組的過程),43,解,繼續(xù)行變換,(行最簡形),總結(jié)：求列向量組最大線性無關(guān)組或生成子空間,的基：,(1)將向量按列寫成矩陣：,(2)用初等行變換將矩陣化為行階梯形；,(3)行階梯形非零行的行數(shù)r即為空間的維數(shù)；,(4)如果行階梯形每個非零行的首非零元對應(yīng)列指標為 ，則,(5)若要明確其他向量和最大無關(guān)組的線性關(guān)系，需繼 續(xù)進行行變換將矩陣化為行最簡形.,注：若生成向量組為行向量組，則可以轉(zhuǎn)置為列向量組，選取部分組為對應(yīng)子空間的基.,轉(zhuǎn)置不改變行向量組的

9、線性關(guān)系。,(二) ：若不以 的部分組為基,則需要找與 等價的線性無關(guān)向量組,(二) ：若不以 的部分組為基,Recall 推論 矩陣A經(jīng)過初等行(列)變換化為B, 則,A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價。,初等行變換,(行階梯形),解：,行變換,故,是所求空間的一組基.,矩陣的行秩與列秩,給定矩陣A，,稱矩陣A的行向量組生成的子空間R(A), 對應(yīng)空間的維數(shù)為矩陣的行秩；,稱矩陣A的列向量組生成的子空間C(A)， 對應(yīng)空間的維數(shù)為矩陣的列秩.,回顧：求列向量組生成子空間的維數(shù)：,(1)將向量按列寫成矩陣：,(2)用初等行變換將矩陣化為行階梯形；,(3)行階梯形非零行的行數(shù)即為空間的維數(shù)。,初等行變換,行向量組：,(行秩=矩陣的秩),(列秩=矩陣的秩),3.6 歐氏空間,對三維幾何空間：,定義了向量長度，向量夾角,線性空間中對向量如何度量？,向量的內(nèi)積,向量的長度與夾角,歐氏空間的標準正交基,59,得,即,解：,施密特正交化,61,例2. 用施密特正交化方法, 將向量組,化成標準正交向量組.,先正交化：,取,解：,62,再單位化：,得規(guī)范正交向量組如下,63,證明