1、應(yīng)用MATLAB建模的一個(gè)例子數(shù)學(xué)也是一門(mén)技術(shù) 王天順 整理,數(shù)學(xué)是一門(mén)技術(shù) 一個(gè)例子足球比賽中的吊門(mén)問(wèn)題 談?wù)剶?shù)學(xué)建模競(jìng)賽及培訓(xùn),數(shù)學(xué)是一門(mén)技術(shù),技術(shù)的定義 辭海：泛指根據(jù)生產(chǎn)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和自然科學(xué)原理而發(fā)展成的各種工藝操作方法與技能；除操作技能外， 廣義的還包括相應(yīng)的生產(chǎn)工具和其他物質(zhì)設(shè)備，以及生產(chǎn)的工藝過(guò)程或作業(yè)程序、方法。 科學(xué)學(xué)辭典和科技辭典：是為社會(huì)生產(chǎn)和人類(lèi)物質(zhì)文化生活需要服務(wù)的，供人類(lèi)利用和改造自然的物質(zhì)手段、智能手段和信息手段的總和。,數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的特征 是一種智能形態(tài)的技術(shù) 在數(shù)學(xué)軟件的平臺(tái)上，又表現(xiàn)為一般的物化形態(tài),數(shù)學(xué)建模技術(shù) 指數(shù)學(xué)及其應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程 多樣性

2、、合理性、具體問(wèn)題具體分析 藝術(shù)性,足球比賽中的吊門(mén)問(wèn)題,考慮如下的因素：球與球門(mén)的距離為a，守門(mén)員與球門(mén)的距離為b，球門(mén)高h(yuǎn)，守門(mén)員最大摸高H，球出腳的初速度為v，與水平方向的夾角為alpha（稱為初射角）給定，h=2.44m，H=3.20m，v=30m/s，重力加速度g=10m/s2，針對(duì)下列幾組數(shù)據(jù)分別給出能吊門(mén)成功的相應(yīng)初射角范圍，要求精度在小數(shù)點(diǎn)后第3位。 a=6m，b=1m； a=10m，b=3m； a=20m，b=5m。,問(wèn)題分析,先考慮最簡(jiǎn)單情形，即不考慮空氣阻力等，此時(shí)，球的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，如果守門(mén)員不動(dòng)，總有合適的角度使吊門(mén)成功。 這不是求一個(gè)角度值，而是求一個(gè)范圍！通常

3、的思路是把問(wèn)題整理成兩個(gè)方程求根問(wèn)題：一個(gè)方程是求吊門(mén)成功的最小角度，一個(gè)方程是求吊門(mén)成功的最大角度。 有可能落地彈入球門(mén)，要考慮反彈入門(mén)的情況。,直觀分析,最簡(jiǎn)單情形，拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線方程如下 借助于使用方便的數(shù)學(xué)軟件，可直觀地看到各種初射角對(duì)應(yīng)的拋射體運(yùn)動(dòng)的軌跡圖形。,最簡(jiǎn)情形程序1-1,v=30;g=10; h=2.44;H=3.2; a=6;b=1; l=a-b;L=a*1.1; x=0:0.01:L; for alpha=1.5368:0.00001:1.538 y,tfinal=paosheti1(x,alpha,v,g); tH=l/(v*cos(alpha); plot

4、(l,H,r+,a,h,r+),hold on, plot(x,y),grid, hold off title(足球比賽中的吊門(mén) ,初射角=,num2str(alpha,6) ,. 守門(mén)員的移動(dòng)時(shí)間=,num2str(tH),pause endC:WINDOWSDesktop程序MATLAB 6.5.lnk,程序1-1之拋射體軌跡函數(shù),function y,t=paosheti1(x,alpha,v,g) y=x*tan(alpha)-x.2*g/(2*v2*(cos(alpha)2); t=2*v*sin(alpha)/g; xmax=v*cos(alpha)*t; n=length(x);

5、 for i=1:n if y(i)0 xx=x(i)-xmax; y(i)=xx*tan(alpha)-xx.2*g/(2*v2*(cos(alpha)2); end end,初步結(jié)果,對(duì)于第一組數(shù)據(jù)，吊門(mén)成功的最小角度1.53697（為弧度，下同），對(duì)應(yīng)的時(shí)間大約在4.9281秒，最大角度1.53787，對(duì)應(yīng)的時(shí)間是5.0627秒； 對(duì)于第二組數(shù)據(jù)，吊門(mén)成功的最小角度1.51437，對(duì)應(yīng)的時(shí)間大約在4.1374秒，最大角度1.51587，對(duì)應(yīng)的時(shí)間大約在4.2503秒； 對(duì)于第三組數(shù)據(jù)，吊門(mén)成功的最小角度1.45718，對(duì)應(yīng)的時(shí)間大約在4.4103秒，最大角度1.46022，對(duì)應(yīng)的時(shí)間大約

6、是4.531秒。,初步結(jié)果分析問(wèn)題的再分析,遵循由簡(jiǎn)單到一般的建模原則，先考慮簡(jiǎn)單情形，得到初步結(jié)果，以此為基礎(chǔ)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題，找到求解思路，并逐步將問(wèn)題一般化，甚至可以發(fā)現(xiàn)逐步一般化的順序（還是由簡(jiǎn)到繁，先將哪些方面使之更一般化，如空氣阻力、守門(mén)員可移動(dòng)較易）； 結(jié)果有一定的合理性； 從近似計(jì)算角度分析，在允許的精度范圍內(nèi)，如上的“作圖觀察調(diào)整”不失為一種求解方法； 相比球與守門(mén)員及與球門(mén)的距離，注意守門(mén)員移動(dòng)的時(shí)間，顯然守門(mén)員有足夠的時(shí)間移動(dòng)，因此調(diào)門(mén)是不會(huì)成功的！ 原因在于將問(wèn)題假設(shè)得過(guò)于簡(jiǎn)單化、理想化了！修改假設(shè)應(yīng)是下一步必須考慮的。,小結(jié)：最簡(jiǎn)情形之假設(shè),不考慮空氣阻力； 不考

7、慮守門(mén)員在球運(yùn)行過(guò)程中的移動(dòng)； 球落地是完全彈性的，只考慮僅有一次觸地反彈形成的吊門(mén)情況； 只考慮越過(guò)守門(mén)員頭頂?shù)牡蹰T(mén)，即出球點(diǎn)與守門(mén)員連成一線延伸到球門(mén)這樣一個(gè)直線方向，不考慮從守門(mén)員側(cè)面吊門(mén)的情況； 將球看作是數(shù)學(xué)上的一個(gè)點(diǎn)； 不考慮球的旋轉(zhuǎn)，實(shí)際比賽時(shí)，旋轉(zhuǎn)是很重要的！ 球的質(zhì)量為一個(gè)單位。,有空氣阻力的情形之一僅x方向考慮空氣阻力,假設(shè)只考慮x方向受空氣阻力的影響； 假設(shè)空氣阻力與速度成正比，比例系數(shù)為k=0.4。 此時(shí)，x(t)滿足如下的微分方程初值問(wèn)題,問(wèn)題的解,空氣阻力的情形之一程序2-1-1,v=30;k=0.4;g=10;h=2.44;H=3.2; a=20;b=5;l=a-

8、b;L=a*1.1; for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)/k; T=Th*1.2; t=0:0.01:T; x,y=paosheti2(t,alpha,v,k,g); TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)/k; plot(l,H,r+,a,h,r+),hold on, plot(x,y),grid, hold off title(足球比賽中的吊門(mén) ,初射角=,num2str(alpha,6) ,. 守門(mén)員的移動(dòng)時(shí)間=,num2str(TH),pause end,空氣阻力的情形

9、之一程序2-1-2,function x,y=paosheti2(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t)/k; y=v*sin(alpha)*t-g*t.2/2; n=length(t); t0=2*v*sin(alpha)/g;%the time when the ball down to ground xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=v*sin(alpha); vt0=sqrt(vxt02+vyt02); for i=1:n if t(i)

10、t0 tt=t(i)-t0; x(i)=xt0+vt0*cos(alpha)*(1-exp(-k*tt)/k; y(i)=vt0*sin(alpha)*tt-g*tt2/2; end end,空氣阻力的情形之一的結(jié)果及分析改進(jìn)（一）,前面結(jié)果有問(wèn)題，反彈后的角度不應(yīng)該是alpha了，應(yīng)該以落地時(shí)的情況計(jì)算出新反射角。 修改拋射體函數(shù)：將paosheti2(t,alpha,v,k,g)，換成paosheti22(t,alpha,v,k,g)。,程序2-1-2修改如下,function x,y=paosheti22(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t

11、)/k; y=v*sin(alpha)*t-g*t.2/2; n=length(t); t0=2*v*sin(alpha)/g;%the time when the ball down to the ground xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=v*sin(alpha); vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(vyt0/vxt0); for i=1:n if t(i)t0 tt=t(i)-t0; x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp

12、(-k*tt)/k; y(i)=vt0*sin(alpha1)*tt-g*tt2/2; end end,空氣阻力的情形之一的結(jié)果及分析改進(jìn)（二）,針對(duì)第三組數(shù)據(jù)，計(jì)算的最小角度為1.268，守門(mén)員移動(dòng)時(shí)間為2.7771秒，最大角度是1.27，時(shí)間是2.8101秒； 結(jié)果仍有問(wèn)題：反彈前后的兩波高度一樣； 解決的辦法是再考慮y方向也有空氣阻力。,有空氣阻力的情形之二x、y方向均考慮空氣阻力,假設(shè)x，y兩個(gè)方向均受空氣阻力的影響 ； 假設(shè)空氣阻力與速度成正比，比例系數(shù)為k=0.4。 此時(shí)，x(t)仍滿足同上的常微分方程初值問(wèn)題,y(t)滿足如下的常微分方程初值問(wèn)題,問(wèn)題的解,有空氣阻力的情形之二程

13、序2-2-1,v=30;k=0.4;g=10; h=2.44;H=3.2; a=20;b=5; l=a-b;L=a*1.1; for alpha=1.2:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)/k; T=Th*1.2; t=0:0.01:T; x,y=paosheti3(t,alpha,v,k,g); TH=-log(1-l*k/(v*cos(alpha)/k; plot(l,H,r+,a,h,r+),hold on, plot(x,y),grid, hold off title(足球比賽中的吊門(mén) ,初射角=,num2str

14、(alpha,6) ,. 守門(mén)員的移動(dòng)時(shí)間=,num2str(TH),pause end,有空氣阻力的情形之二程序2-2-2,function x,y=paosheti3(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t)/k; y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t)/k-g*t/k; n=length(t); t00=2.; tt0(1)=t00; tb=1; ii=1; while(abs(tb)1e-5) tt0(ii+1)=tt0(ii)-paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(t

15、t0(ii),alpha,v,k,g); tb=tt0(ii+1)-tt0(ii); ii=ii+1; if(ii20)error(numb. of iter. is 30 times); end end,t0=tt0(ii); y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0)/k-g*t0/k; xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k; vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(

16、abs(vyt0/vxt0); for i=1:n if t(i)t0% tt=t(i)-t0; x(i)=xt0+vt0*cos(alpha1)*(1-exp(-k*tt)/k; y(i)=(vt0*sin(alpha1)+g/k)*(1-exp(-k*tt)/k-g*tt/k; end end,空氣阻力情形之二的結(jié)果分析及改進(jìn),針對(duì)第三組數(shù)據(jù)，計(jì)算的最小角度為1.239，守門(mén)員移動(dòng)時(shí)間為2.3797秒，最大角度是1.248，時(shí)間是2.4889秒； 有必要考慮守門(mén)員可以移動(dòng)的情形。,守門(mén)員可以移動(dòng)的情形,假設(shè)守門(mén)員只沿球運(yùn)行的方向移動(dòng)； 球一出腳守門(mén)員即判斷好并移動(dòng)； 守門(mén)員的移動(dòng)速度記為u

17、，其大小是吊門(mén)能否成功的另一關(guān)鍵因素。,問(wèn)題分析,球的運(yùn)動(dòng)軌跡與上一種情況完全一致，程序2-2-2不必改。 單獨(dú)加上守門(mén)員的移動(dòng)顯示，二者疊加，可得守門(mén)員可移動(dòng)情形下吊門(mén)成功與否的直觀顯示。,守門(mén)員可以移動(dòng)的情形之程序3-1-1,v=30;k=0.4;g=10; h=2.44;H=3.2; a=20;b0=5;u0=2; l0=a-b0;L=a*1.1; for alpha=1.25:0.001:1.3 %1.5425%pi/2-eps Th=-log(1-a*k/(v*cos(alpha)/k; T=Th*1.2; t=0:0.1:T; x,y=paosheti4(t,alpha,v,k,g

18、); nn=length(t); for j=1:nn xx=x(1:j); yy=y(1:j); ll0=l0+u0*t(j); if ll0a l(j)=a; else l(j)=ll0; end TH=-log(1-l(j)*k/(v*cos(alpha)/k; plot(xx,yy,bo,l(j),H,r+,a,h,ro),grid,pause end %hold off title(足球比賽中的吊門(mén) ,初射角=,num2str(alpha,6) ,. 球運(yùn)行的時(shí)間=,num2str(TH),pause end,守門(mén)員可以移動(dòng)的情形之程序3-1-2,function x,y=paosh

19、eti4(t,alpha,v,k,g) x=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t)/k; y=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t)/k-g*t/k; n=length(t); t00=2.; tt0(1)=t00; tb=1; ii=1; while(abs(tb)1e-5) tt0(ii+1)=tt0(ii)-paoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g)/dpaoshetiy(tt0(ii),alpha,v,k,g); tb=tt0(ii+1)-tt0(ii); ii=ii+1; if(ii20)error(numb. of iter. is 30 times); end end,t0=tt0(ii); y0=(v*sin(alpha)+g/k)*(1-exp(-k*t0)/k-g*t0/k; xt0=v*cos(alpha)*(1-exp(-k*t0)/k; vxt0=v*cos(alpha)*exp(-k*t0); vyt0=(v*sin(alpha)+g/k)*exp(-k*t0)-g/k; vt0=sqrt(vxt02+vyt02); alpha1=atan(abs(vyt0/vxt0); for i=1:n if t(i)t0 tt=t(i)-t0; x(i)=xt0+vt0*cos(alph