1、.,二、可分離變量的微分方程,則稱方程（1）為可分離變量的微分方程.,解法,一階微分方程的一般形式：,若方程（1）可以寫(xiě)成如下形式：,變量分離,兩端積分,.,可以驗(yàn)證: (1.4)式為微分方程 (1) 的(隱式)通解.,注: 若題目只需求通解，則不必討論,.,例1,求微分方程,解,分離變量,兩端積分,C,.,例2,求微分方程,解,分離變量,兩端積分,C,注意到:當(dāng)C=0時(shí)即y=0也是方程的解,.,應(yīng)用: 衰變問(wèn)題: 放射性元素鈾不斷地放射出微粒子而變成其它元素,鈾的含量不斷減少,由物理學(xué)知識(shí),鈾的衰變速度與未衰變的原子的含量M成正比,已知t=0時(shí),鈾的含量為M0,求衰變過(guò)程中鈾含量M(t)隨t

2、的變化規(guī)律,解,變量分離,兩端積分,即,又,故,故,衰變規(guī)律為,.,練習(xí) 12.1第3題,增加一個(gè)條件:曲線過(guò)(2,3)點(diǎn),求曲線方程,變量分離,兩端積分,即,又,.,練習(xí):12.2第3題,兩邊求導(dǎo)得:,變量分離,注意:這里隱藏一個(gè)初始條件,.,利用變量代換求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解為,例6,變量代換是解方程的一種常用的手段,.,.,二、齊次方程,.,解法：,將其代入原式，得：,，即,這是一個(gè)關(guān)于變量u與x的可分離變量的方程；,然后，利用分離變量法求得,.,故,代入得：,.,進(jìn)行分離變量整理，并兩邊積分，,故所求通解為：,這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程，,得：,書(shū)上還有一

3、個(gè)例子，自己可以練習(xí)練習(xí),.,求微分方程,，滿足初始條件 的特解,解： 方程可化為：,它是齊次方程。令,代入整理后，有,分離變量，則有,兩邊積分，得,即,代入上式，于是所求方程的通解為,把初始條件,代入上式，求出,，故所求方程的特解為,.,解：這是一個(gè)齊次方程。先將方程變形為,.,代入得：,這是關(guān)于變量u與x的可分離變量方程，,分離變量 ，并兩邊積分，得：,故,所以，原方程通解為 ：,.,五、小結(jié),本節(jié)主要內(nèi)容是：,1齊次方程,或,.,判下列微分方程是否為一階線性微分方程：,一、一階線性微分方程及其解法,例1,在微分方程中，若未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱其為一階線性微分方程。,1.

4、 一階線性微分方程的定義,（是）,（是）,.,2. 一階線性微分方程的一般式,3. 一階線性微分方程的分類,當(dāng) 時(shí)，方程（1）稱為一階線性齊次微 分方程。,當(dāng) 時(shí)，方程（1）稱為一階線性非齊次 微分方程。,或,.,齊次線性方程的通解為：,1 齊次線性方程：,求解法:,分離變量：,1. 常數(shù)變易法,.,2 非齊次線性方程：,作變換,可分離變量方程,.,積分得,一階非齊次線性微分方程(2.1)的通解為:,2. 常數(shù)變易公式,.,（2）一階線性非齊次微分方程,常數(shù)變易法,1）一般式,2）解法,3）通解公式,齊次的通解,非齊次的特解,.,關(guān)于通解公式要注意：,只表示某一個(gè)函數(shù),若 時(shí)，絕對(duì)值符號(hào)可不寫(xiě)

5、 即 特別注意： 而是,.,例1、求微分方程,的通解.,解法1（常數(shù)變易法） 原方程變形為 :,對(duì)應(yīng)的齊次方程為 ：,得通解為,設(shè)原方程的解為,從而,代入原方程得,.,化簡(jiǎn)得,兩邊積分，得,所以，原方程的通解,解法2（用公式法）,把它們代入公式得,.,解,例2,則通解為,.,解,練習(xí),則通解為,原方程變形為,其中,.,解,(不)例4,通解：,.,因此方程滿足初始條件的特解為,(講)求以下方程在 下的特解,原方程可化為：,原方程通解為：,或,.,求方程通解：,若化為：,則不是一階線性的,而化為：,則是一階線性的,再見(jiàn)書(shū)上習(xí)題,.,解,例9,.,(方法1),一階非齊次線性方程,.,選擇題考點(diǎn) （間

6、斷點(diǎn)，求旋轉(zhuǎn)體體積，求平面圖形面積，全微分，偏導(dǎo)數(shù)的幾意義，二重積分幾何意義，交換積分次序） 大題考點(diǎn) 1、求極限 2、隱函數(shù)求導(dǎo)（一個(gè)方程和方程組情形） 3、抽象函數(shù)求導(dǎo) 4、求極值 5、直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分 6、極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（或是化為極坐標(biāo)） 7、解齊次方程（令U=。，轉(zhuǎn)化為U和X的方程） 8、解一階線性方程（用公式或常數(shù)變易法） 9、討論函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性,.,解,兩曲線的交點(diǎn),面積元素,選 為積分變量,例,畫(huà)草圖如右,.,.,注： ，即動(dòng)點(diǎn)P以任意方式即沿任意曲線趨向定 點(diǎn)P0時(shí)，都有f(P) A,求二重極限方法類似一元函數(shù)的一些方法：等價(jià)無(wú)窮小替換；

7、重要極限公式；無(wú)窮小的性質(zhì)；（恒等變形；利用連續(xù)性；夾逼準(zhǔn)則；換元；利用公式和運(yùn)算法則）,等價(jià)無(wú)窮小替換；,.,對(duì)于多元函數(shù)的極限要求不高，只要求會(huì)求些較簡(jiǎn)單的二重極限 注意：在多元函數(shù)中，洛必達(dá)法則不再適用，但如果通過(guò)換元后的一元函數(shù)照樣可用,或用重要公式 原式,.,無(wú)窮小的性質(zhì),.,設(shè),確定,兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：,再對(duì)上式對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：（按商的求導(dǎo)公式）,對(duì)于一階偏導(dǎo)數(shù)，還可用公式法,.,.,例1,討論,(1) 連續(xù)；(2) 偏導(dǎo)數(shù)存在；(3) 可微.,解,(1),= 0 = f (0,0),.,(2),.,(3),？,則,.,.,例2,.,證,令,則,同理,故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 處連續(xù)

8、 ;,.,下面證明：,可微 .,令,則,注 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.,而非必要條件.,.,例1.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點(diǎn).,得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,在點(diǎn)(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,在點(diǎn)(3,0) 處,不是極值;,在點(diǎn)(3,2) 處,為極大值.,在點(diǎn)(1,2) 處,不是極值;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,.,重復(fù)是學(xué)習(xí)之母弗萊格,世界上最快而又最慢，最長(zhǎng)而又最短，最平凡而又最珍貴，最容易被人忽視，而又最令人后悔的就是時(shí)間高爾基,謝謝大家對(duì)我的支持！ ！ 祝大家考試取得好成績(jī)！,.,因此方程滿足初始條件的特解為,二、一階線性微分方程的應(yīng)用,1. 分析問(wèn)題,設(shè)出所求未知函數(shù),確定初始條件。 2. 建立微分方程。 3. 確定方程類型,求其通解. 4. 代入初始條件求特解.,應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟:,.,例5,解,設(shè)所求曲線方程為,從而,即,其中,則通解為,.,因此所求曲線方程為,.,設(shè)跳傘員開(kāi)始跳傘后所受的空氣阻力于他下落的速度成正比(比例系數(shù) ，起跳時(shí)的速度為0，求下