1、高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法一、相鄰問(wèn)題捆綁法題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組(當(dāng)作一個(gè)元素)參與排列例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。二、相離問(wèn)題插空法元素相離(即不相鄰)問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端例2：七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 。 三、定序問(wèn)題縮倍法在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法例3：A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有 。四、標(biāo)號(hào)排

2、位問(wèn)題分步法把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成例4：將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有 。五、有序分配問(wèn)題逐分法有序分配問(wèn)題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5：有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有 。六、多元問(wèn)題分類(lèi)法元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類(lèi)情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。例6：由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其

3、中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個(gè)。例7：從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？例8：從1，2，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種？七、交叉問(wèn)題集合法某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式。例 9：從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？八、定位問(wèn)題優(yōu)先法某個(gè)(或幾個(gè))元素要排在指定位置，可先排這個(gè)(幾個(gè))元素，再排其他元素。例10：1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有

4、_ _種。九、多排問(wèn)題單排法把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例11：6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是 。例12：8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某 1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？十、“至少”問(wèn)題間接法關(guān)于“至少”類(lèi)型組合問(wèn)題，用間接法較方便。例13：從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有 種。十一、選排問(wèn)題先取后排法從幾類(lèi)元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例14：四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒

5、的放法共有_ _種例15：9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？十二、部分合條件問(wèn)題排除法在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。例16：以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。例17：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 種。十三、復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法例18：馬路上有編號(hào)為1，2，39九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？十四、利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法例19：圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)

6、？高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法一、相鄰問(wèn)題捆綁法題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組(當(dāng)作一個(gè)元素)參與排列例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種。二、相離問(wèn)題插空法元素相離(即不相鄰)問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端例2：七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 。 分析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個(gè)空位有種，不同的排法種數(shù)是種。三、定序問(wèn)題縮倍法在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)

7、元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法例3：A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有 。分析：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即種。 四、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成例4：將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有 。分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余

8、下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有331=9種填法。五、有序分配問(wèn)題逐分法有序分配問(wèn)題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5：有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有 。分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有種。六、多元問(wèn)題分類(lèi)法元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類(lèi)情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。例6：由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個(gè)。分析：按題意，個(gè)位數(shù)

9、字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個(gè)，個(gè)，合并總計(jì)300個(gè)。例7：從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？分析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個(gè)元素；由此可知，從中任取2個(gè)元素的取法有，從中任取一個(gè)，又從中任取一個(gè)共有，兩種情形共符合要求的取法有種。例8：從1，2，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種？分析：將分成四個(gè)不相交的子集

10、，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見(jiàn)這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種。七、交叉問(wèn)題集合法某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式。例 9：從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？分析：設(shè)全集6人中任取4人參賽的排列，A甲第一棒的排列，B乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：八、定位問(wèn)題優(yōu)先法某個(gè)(或幾個(gè))元素要排在指定位置，可先

11、排這個(gè)(幾個(gè))元素，再排其他元素。例10：1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_ _種。分析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有種方法；所以共有種。九、多排問(wèn)題單排法把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例11：6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是 。分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種。例12：8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某 1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？分析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有種

12、，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有種，故共有種排法。十、“至少”問(wèn)題間接法關(guān)于“至少”類(lèi)型組合問(wèn)題，用間接法較方便。例13：從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有 種。分析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有種。分析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有種。十一、選排問(wèn)題先取后排法從幾類(lèi)元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例14：四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3

13、，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_ _種分析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有種，故共有種。例15：9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？分析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有中排法，故共有種。十二、部分合條件問(wèn)題排除法在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。例16：以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。分析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有個(gè)。例17：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 種。分析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為，四個(gè)面共有個(gè)；過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè)；所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是種。十三、復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法例18：馬路上有編號(hào)為1，2，39九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？分析：把