1、現(xiàn)代控制理論,第一章 狀態(tài)空間法,一.問題的引出 1 -古典控制理論的局限性 1、僅適用于SISO的線性定常系統(tǒng)(外部描述，時(shí)不變系統(tǒng)) 2、古典控制理論本質(zhì)上是復(fù)頻域的方法.(理論) 3、設(shè)計(jì)是建立在試探的基礎(chǔ)上的.(應(yīng)用) 4、系統(tǒng)在初始條件為零,或初始松馳條件下,才能采用傳遞函數(shù).,控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,而實(shí)際上大多數(shù)系統(tǒng)表現(xiàn)為: 1、多輸入，多輸出.（抽象定義，系統(tǒng)具有合格性） 2、時(shí)變.（總是可找到一些參數(shù)是隨時(shí)間變化的） 3、非線性.（泛指運(yùn)動(dòng)本身的非線性特征） 4、復(fù)雜性，復(fù)雜任務(wù)和高精度.,因此古典控制理論解決問題受到限制,需要尋找新的解決方法.這種方法或理論應(yīng)要求: 1、描

2、述多輸入/輸出復(fù)雜系統(tǒng)的方法和理論基礎(chǔ). 2、具有可計(jì)算的形式. 3、解析式設(shè)計(jì) 4、能描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和終端行為(內(nèi)部描述). 5、系統(tǒng)t=0松馳狀態(tài),非松馳狀態(tài),或非線性時(shí)變等情況下的適用性.,結(jié)論 -對(duì)研究內(nèi)容的界定和限制 所以對(duì)于一個(gè)多輸入/輸出系統(tǒng)來說: 1、采用在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行建模，且由于是對(duì)實(shí)際物理系統(tǒng)進(jìn)行模型描述，因而模型中的所有變量和函數(shù)均假定為實(shí)數(shù) 。,2、數(shù)學(xué)描述的主要手段是微分方程，并應(yīng)充 分利用系統(tǒng)的內(nèi)部描述法來建立微分方程，以充分表述系統(tǒng)的內(nèi)部特性. 3、適用于非初始松馳或非零初始條件的系統(tǒng)狀態(tài). 4、主要研究線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng).,二.問題的引出 2 -狀態(tài)空間分析方法

3、 通過一個(gè)實(shí)例引出狀態(tài)空間分析方法的基本概念. 例:設(shè)有如圖所示網(wǎng)絡(luò),顯然,若流經(jīng)電感的初始電流及電容兩端的初始電壓已知,則在任何電壓驅(qū)動(dòng)下,網(wǎng)絡(luò)的行為能唯一地確定。 從u到y(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)求得為: (1) 故該網(wǎng)絡(luò)的脈沖響應(yīng)為: (1),現(xiàn)將輸入電壓u ,)施加于網(wǎng)絡(luò),且網(wǎng)絡(luò)設(shè)定為時(shí)不變的. (1)若在 時(shí)刻系統(tǒng)是松馳的,則其輸出為: (2) (2)若在 時(shí)刻非松馳（ 前有輸入，系統(tǒng)有能量儲(chǔ)存），則系統(tǒng)輸出為: (3),顯然在 以前施加于系統(tǒng)的輸入能通過電容和電感的能量存儲(chǔ)對(duì) 之后的輸出產(chǎn)生影響. 現(xiàn)在我們考慮由未知輸入u(-, 對(duì) y ,)的影響,即: （4）,其中: 注意到 和 與t無關(guān)

4、,因此如果 和 已知,則由未知的輸入u(-, 引起的在t 之后的輸出就完全可以確定。,由式（3）得到 并利用式（4）的結(jié)果，得 （5）,對(duì)式(3)取關(guān)于t的導(dǎo)數(shù),并利用,得到: 連同g(0)=0,就意味著有 (6) 聯(lián)立式(5)和式(6),得到,從而若網(wǎng)絡(luò)在 時(shí)刻非松馳則輸出由下式給出: 結(jié)論:若 和 已知( 時(shí)刻系統(tǒng)的一種狀態(tài)),即使網(wǎng)絡(luò)在 時(shí)刻非松馳,它在t u ,) 之后的輸出也能唯一的被確定.顯然是由 和 ，u ,)共同唯一地確定.,因此 和 可以作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài),同樣也可用 和 作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài),而這兩組數(shù)的原函數(shù)是微分方程的變量. 從例子中也可以看出來,在無限區(qū)間(-, 上的輸入,其作

5、用效果已綜合在 , 和 , 兩個(gè)數(shù)中,因此狀態(tài)概念非常有意義和有效.,從上述例子可得到如下結(jié)論: 1、系統(tǒng)狀態(tài)不是唯一的. 2、狀態(tài)的選擇與物理量有關(guān),一般應(yīng)該是相互 獨(dú)立的儲(chǔ)能元件的物理量. 3、每一瞬時(shí)的狀態(tài)可以是僅由有限個(gè)數(shù)的集合組成.,定義1.狀態(tài) 系統(tǒng)在時(shí)刻 的狀態(tài)乃是時(shí)刻 的一種信息量,它與輸入u ,)唯一地確定系統(tǒng)t 時(shí)的行為。 注：系統(tǒng)行為指包括狀態(tài)在內(nèi)的系統(tǒng)的所有響應(yīng)。 狀態(tài)即指某一時(shí)刻的,可以表征系統(tǒng)特征或行為的數(shù)。而該數(shù)的原函數(shù)則可稱為狀態(tài)變量,而這種函數(shù)不但可以描述某一時(shí)刻的行為，并可在 ,)內(nèi)描述行為,為此定義狀態(tài)變量是:,定義2.狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是確定系統(tǒng)狀態(tài)的最

6、小一組變量,如果以最少的n個(gè)變量 可以完全描述系統(tǒng)的行為 (即當(dāng)t 時(shí)輸入和 在t= 初始狀態(tài)給定后,系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以確定),那么 是一組狀態(tài)變量.,定義3.狀態(tài)向量（有限個(gè)數(shù)的狀態(tài)變量的集合） 如果將狀態(tài)變量 作為向量x(t)的各個(gè)分量,則稱x(t)為狀態(tài)向量,一旦給定 時(shí)刻的狀態(tài)向量, 則它與輸入u ,)唯一地確定系統(tǒng)在 時(shí)的狀態(tài)x(t)。,定義4.狀態(tài)空間 若狀態(tài)向量x(t),可唯一地由 空間中一組規(guī)范正交基底(單位坐標(biāo)向量)線性組合表示,則狀態(tài)向量x(t)是n維狀態(tài)空間( ,n)中的一個(gè)向量,所有狀態(tài)向量x(t)集合組成n維的狀態(tài)空間( ,n) 或定義為: 通常狀態(tài)變量均為有實(shí)際意義

7、的實(shí)數(shù)值,因此狀態(tài)向量的取值空間是有限維實(shí)向量空間,稱為狀態(tài)空間。,總結(jié): (1)根據(jù)狀態(tài)變量的定義,狀態(tài)變量應(yīng)選取系統(tǒng)中相互獨(dú)立儲(chǔ)能元件的物理量,獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)即為狀態(tài)變量個(gè)數(shù). (2)狀態(tài)變量選取不唯一,有時(shí)選取狀態(tài)變量僅為數(shù)學(xué)描述所需,而非明確的物理意義。,(3)狀態(tài)變量是系統(tǒng)的內(nèi)部變量,一般情況下輸出是狀態(tài)的函數(shù),但輸出總是希望可量測(cè)的。 (4)僅討論有限個(gè)狀態(tài)變量的系統(tǒng)。 (5)有限個(gè)數(shù)的狀態(tài)變量的集合,稱為狀態(tài)向量。 (6)狀態(tài)向量的取值空間稱為狀態(tài)空間。,例2,設(shè)下圖的RLC網(wǎng)絡(luò),如果電流 ,電容電壓 的初始值和 時(shí)的輸入電壓均已知,則 時(shí)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)完全由 , 確定.因此可將

8、 和 作為這個(gè)系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量.,(注意:這個(gè)系統(tǒng),也可將 (t)和R*i(t)選為一組狀態(tài)變量) 設(shè)i(t)和 (t)作為一組狀態(tài)向量,則描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:,用向量矩陣形式表示,則上述方程可表示為: (1) 若設(shè) ,則上式可簡化為:, 當(dāng)輸出選定后,則可以量測(cè)的輸出,總是可以通過狀態(tài)變量和輸入的線性組合得到. y=Cx+Du (2) 此例中 D=0, , 即,由此，我們可以得出，現(xiàn)代控制理論或狀態(tài)空間分析方法是建立在系統(tǒng)采用有限個(gè)一階微分方程描述的基礎(chǔ)上，而有限個(gè)一階微分方程組成了向量矩陣方程，因而從本質(zhì)上來說，現(xiàn)代控制理論的分析方法是時(shí)域分析方法.,控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述-線性系統(tǒng)的

9、狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型,它包括狀態(tài)方程和輸出方程,狀態(tài)方程由有限個(gè)一階微分方程組成,而輸出方程則是狀態(tài)向量和輸入的函數(shù). 1.狀態(tài)方程 x(t)是n1維向量, A(t)是nn維向量, B(t)是nr維向量, u(t)是r1維向量,(1)如果是線性定常系統(tǒng),則 是常系數(shù)矩陣,則狀態(tài)方程可寫為: (2)如果是單輸入系統(tǒng),則 狀態(tài)方程描述了 時(shí)刻的狀態(tài) 和輸入 所決定的系統(tǒng)在 的行為.,2.輸出方程 輸出方程是在指定輸出變量情況下,(輸出變量往往是選取可以量測(cè)的物理量)其輸出變量與狀態(tài)變量以及輸入變量之間的關(guān)系. 用 其中: 是m1維向量, , 是mn維向量, , 是

10、mr維向量, ,3.狀態(tài)空間表達(dá)式 1)線性時(shí)變系統(tǒng): 2)線性時(shí)不變系統(tǒng): 在通常情況下，大多數(shù)還是研究線性時(shí)不變 系統(tǒng)，即線性定常系統(tǒng)，因此本課程的主要研究對(duì)象是線性定常系統(tǒng)。,4.狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)圖(或稱狀態(tài)變量圖) 例:根據(jù)上例畫出結(jié)構(gòu)圖. 解:先將例子寫成下述形式,則結(jié)構(gòu)圖為:,畫法: 1)根據(jù)狀態(tài)方程從方程右邊開始畫起. 2)通過積分環(huán)節(jié)得到狀態(tài). 3)通過狀態(tài)反饋的組合得到狀態(tài)的微分 4)通過狀態(tài)的組合得到輸出.,5.輸入/輸出描述和狀態(tài)變量描述的比較 (1)系統(tǒng)的輸入/輸出描述僅揭示系統(tǒng)在初始松馳的假定下輸入輸出間的關(guān)系.因此對(duì)非松馳系統(tǒng)不能采用這種描述.尤為重要的問題,此描

11、述不能揭示非初始松馳時(shí)系統(tǒng)將發(fā)生的行為,也不能揭示系統(tǒng)的內(nèi)部行為. (2)對(duì)于甚為復(fù)雜的線性系統(tǒng),求其動(dòng)態(tài)方程描述是很繁的,在此情況下,借助于直接測(cè)量求取輸入/輸出描述可能稍容易一些.,(3)狀態(tài)變量法中的各種結(jié)果均能以傳遞函數(shù)法得到. (4)狀態(tài)空間表達(dá)式能夠推廣到時(shí)變情形,且這種狀態(tài)空間描述方程可適用于多種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法. (5)在非線性系統(tǒng)的研究中,可以根據(jù)不同的方法,而采用上述兩種描述方法中的一種. (6)采用狀態(tài)空間描述的形式,可方便地進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真.,三.狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理,直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式,如例2. 方法:依據(jù)有關(guān)物理定律,或直接建立所選擇狀態(tài)變量的一階

12、微分方程組.或?qū)⒌玫降奈⒎址匠袒癁樗x狀態(tài)變量的一階微分方程組.,討論: (1)這種方法要求系統(tǒng)是完全可數(shù)學(xué)描述的,即結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須是確定的物理系統(tǒng). (2)系統(tǒng)是能描述的簡單物理系統(tǒng).在一般情況下,只有簡單的物理系統(tǒng)才能直接建立按所選擇狀態(tài)變量的一階微分方程. (3)復(fù)雜物理系統(tǒng),在這種情況下,對(duì)系統(tǒng)的描述可能是n階的線性微分方程,故而需將高階微分方程轉(zhuǎn)成一階微分方程形式.,根據(jù)系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式. 1.輸入項(xiàng)中不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性系統(tǒng)空間狀態(tài)表達(dá)式 系統(tǒng)描述為: (1),討論:狀態(tài)如何選擇 對(duì)方程(1),若已知 和 則可完全確定系統(tǒng)在 的行為,故而可選取 n個(gè)狀態(tài)作為狀態(tài)變量.

13、 注意到,從數(shù)學(xué)上講,這種方法是方便的,但在實(shí)際情況下,輸出中可能存在噪聲效應(yīng),因而高階微分是不準(zhǔn)確的,這是需要注意的.,解:設(shè) 則方程(1)可寫成: (2),或?qū)懗删仃囆问? 其中 輸出方程:,顯然這種結(jié)果很容易地推廣到r個(gè)輸入(但不含輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng))的情形中,以一個(gè)例子說明. 例: 設(shè) 為系統(tǒng)的微分方程 其中y為輸出, 為輸入,試求狀態(tài)空間表達(dá)式.,解:設(shè) 則 及,即: 其中,2.輸入中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的n階線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式. 系統(tǒng)微分方程: (3),討論: 1)選擇狀態(tài)變量 顯然 以及 和 就可唯一確定 時(shí)的行為. 2)不能單純將輸入,輸出作為狀態(tài)變量,必須用輸入/輸出的線性組合作為狀態(tài)

14、變量,且為了得到狀態(tài)空間的簡約形式,狀態(tài)變量的選擇必須能消去狀態(tài)方程中輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng).,用兩個(gè)方法來解決問題: (1)將方程(3)寫成微分算子的形式,即令 為微分算子,則原方程可寫成 （4） y(t)亦可表示為: （5）,設(shè)一新變量v(t),并令 (6) 將上式寫成微分形式,則為: (7),取狀態(tài)變量 則上式又可寫成狀態(tài)方程 (8),將式(6)代入式(5)得到輸出方程 即 或 (9) 式(8)和式(9)組成狀態(tài)空間表達(dá)式 顯然,上述結(jié)果亦可方便地推廣到多輸入,多輸出的情形.,(2)選取合適的狀態(tài)變量以消去輸入項(xiàng)中的導(dǎo)數(shù)形式.設(shè)狀態(tài)變量為: 式中,這樣微分方程式(3)可以寫成下述狀態(tài)空間表達(dá)式.

15、 上述兩情況下,具有A陣形式的矩陣稱為相伴標(biāo)準(zhǔn)形矩陣或稱友陣.,四.狀態(tài)空間表達(dá)式(或動(dòng)態(tài)方程)的線性變換. 對(duì)于狀態(tài)空間表達(dá)式來說,由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性,因此所得到的動(dòng)態(tài)方程形式是不一樣的,但由于是描述的同一系統(tǒng),故而動(dòng)態(tài)方程不論形式如何,它們對(duì)系統(tǒng)行為的描述應(yīng)該提供同樣多的信息。,1.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性. 對(duì)于選定的狀態(tài)變量x,則線性定常系統(tǒng)為: (11),若存在非奇異矩陣P ,使 或 則式(11)變?yōu)?(12) 其中 , 初始條件變換,式(12)表明了狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,而其根本原因在于 ,即狀態(tài)選取的非唯一性，因?yàn)榭偸强烧业椒瞧娈惖腜,使得 討論: (1)x和 為

16、同一向量在線性空間是關(guān)于不同基底的不同表示,其中P也稱為基底變換矩陣。 (2)A也被稱為線性算子(自身映射),對(duì)于同一算子A,對(duì)于不同基底也有不同表示(如 )，但A和 是相似的,即滿足,顯而易見,同一算子關(guān)于不同基底的所有矩陣表示都是相似的. 問題: (1)既然一個(gè)線性算子有多種表示,是否有可能選一組基底以使算子A的表達(dá)最為簡潔. (2)在不同基底下,線性算子具有不同的表示,那么它們的特征值是否發(fā)生了變化.,2.系統(tǒng)特征值的不變性 (1)特征值定義,特征向量的定義 定義:設(shè)A為將 映射到自身的線性算子 若存在C 中的非零向量X 及C 中的標(biāo)量, 使得 則稱為A的特征值, 任何滿足 的非零向量X

17、稱為A的特征向量.,按定義,為了尋找關(guān)于A的特征值, 將 寫成 其中I 是 的單位陣, 對(duì)于方程 是齊次方程組，且 也是 的，該方程當(dāng)且僅當(dāng) 方程才有非零解。故當(dāng)且僅當(dāng) 是 的根時(shí),標(biāo)量 才是A的特征值,顯然A陣共有n個(gè)特征根,當(dāng)然它們未必是相異的. (2)特征值的不變性 易證明這一結(jié)論,3.化A陣為對(duì)角陣(化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形) (特征值互異的情況下) 這里,實(shí)際上是為回答上述的第一個(gè)問題-使A表示最簡潔. 首先研究在A的特征值是互異的情形下: 不加證明地給出下述結(jié)論. 若線性算子A或A陣具有互異的特征值,則在選擇特征向量作為基底的情況下,算子A或A陣的表示是一對(duì)角陣,對(duì)角線上的元素即為

18、其特征值.,具體來說: 對(duì)于狀態(tài)方程 若A的特征值互異, 互異,則存在非奇異矩陣P,進(jìn)行變換 ,變換后的狀態(tài)方程為,其中A為對(duì)角陣,即 且P由A陣的特征向量 組成 滿足 易證 組成的向量是線性無關(guān)的.,上述方法成立的一個(gè)重要基礎(chǔ)是需證明 線性無關(guān),若作為基底,則 是A關(guān)于基底的表示。 一種特殊情況,若A為友陣時(shí),則可直接給出變換陣P 稱P 為范德蒙矩陣,它能使友陣A,作相似變換后得,4.化狀態(tài)方程為約當(dāng)規(guī)范形(化A陣為約當(dāng)形矩陣) 這種情形實(shí)際是A陣特征值有重根的情形.-如果A陣有重根則只能化成約當(dāng)形矩陣 約當(dāng)規(guī)范形的推導(dǎo)比較復(fù)雜,我們這里不加證明地給出下述結(jié)論:,設(shè)A的特征值有q個(gè)重根,其余(n-q)個(gè)根為互異根,將A陣化為約當(dāng)規(guī)范形的形式為:,相應(yīng)的變換矩陣 其中 是對(duì)應(yīng)于n-q個(gè)互異單根的特征向量,求法同對(duì)角規(guī)范形。 是對(duì)應(yīng)于q個(gè)重根的各特征向