1、最新資料推薦一、函數(shù)、極限、連續(xù)重要概念公式定理（一）數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列極限的定義：給定數(shù)列xn如果存在常數(shù)A對任給0,存在正整數(shù) N ,使當nN時恒有,xn A,則稱 A 是數(shù)列xn的當 n 趨于無窮時的極限,或稱數(shù)列xn收斂于 A ,記為 lim xnA . 若nxn 的極限不存在 ,則稱數(shù)列xn發(fā)散 .收斂數(shù)列的性質(zhì)：(1)唯一性： 若數(shù)列xn收斂 ,即 lim xnA ,則極限是唯一的n(2)有界性： 若 lim xnA,則數(shù)列xn有界 即存在M0 ,使得對n 均有 xnM.n,(3)局部保號性：設(shè)lim xnA 且A0或A 0,則存在正整數(shù)當n N時有 n0或n0 .

2、n,N ,xx(4)若數(shù)列收斂于A ,則它的任何子列也收斂于極限A .（二）函數(shù)極限的定義名稱表達式任給存在當 時恒有當 xx0 時 ,fx 以lim fxA000xx0fxAA 為極限xx0當 x時 ,fx以lim fxA0X0xXfxAA 為極限x當 xx 0 時 ,fxlim fxAx x0000x0xx0fxA以 A 為右極限def fx00當 xx 0 時 ,fxlim fxAx x0000x0xx0fxA以 A 為左極限def fx00當 x時 ,fxlim fxAx0X0xXfxA以 A 為極限def f當 x時,fx 以lim fxAx0X0xXfxAA 為極限def f（三）

3、函數(shù)極限存在判別法( 了解記憶 )1海涅定理：limfxA對任意一串nx0n01,2, 都有l(wèi) i mf xnAxxx ,nnxx02.充要條件： (1)limf (x)Alim fxlim fxA ;x x 0xx0xx0(2) lim f (x)Alimf (x)limf (x)A .xxx1最新資料推薦3.柯西準則： lim fxA對任意給定的0 ,存在0,當xx00x1x0, 0x2x0時 ,有 f x1f x2.4.夾逼準則： 若存在0,當 0xx0時, 有 （x)f (x)(x) , 且 lim( x)lim(x) A, 則x x0x x0limf (x)A .x x05.單調(diào)有界

4、準則： 若對于任意兩個充分大的x1 , x2 , x1x2 ,有 fx1f x2(或 fx1fx2 ),且存在常數(shù) M ,使 fxM (或 f xM ),則 limfx存在 .x（四）無窮小量的比較(重點記憶 )1.無窮小量階的定義 ,設(shè) lim(x)0,lim( x)0 .(1)若 lim(x)0 ,則稱( x) 是比 （x) 高階的無窮小量 .(x)(2)若 lim( x),則 (x)是比（ x)低階的無窮小量 .( x)(3) 若 lim( x)c( c0), 則稱 (x)與（ x) 是同階無窮小量 .( x)(4)若 lim(x)1,則稱 ( x)與（ x)是等價的無窮小量 ,記為(

5、x)( x) .( x)(5)若 lim( x)c(c 0),k0,則稱 (x)是（ x)的k階無窮小量k(x)2.常用的等價無窮小量( 命題重點 ,歷年必考 )當 x0 時,sin xarcsin x1tan x1c oxs2 x,xarctanx2( 1 x)1 x是實常數(shù)ln(1x)ex1（五）重要定理(必記內(nèi)容 ,理解掌握 )定理 1limf (x)Af(x0 )f (x0 )A .xx0定理 2limf (x)Af ( x)Aa( x), 其中 lim a( x)0 .xx0x x0定理 3(保號定理 ) ： 設(shè) limf ( x)A,又A0(或A0),則 一個0, 當xx0x (

6、x0, x0), 且xx0時， f ( x)0(或f ( x) 0) .定理 4單調(diào)有界準則： 單調(diào)增加有上界數(shù)列必有極限;單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限 .定理 5(夾逼定理 ) ：設(shè)在 x0的領(lǐng)域內(nèi) ,恒有 （x) f ( x)( x) ,且lim(x)lim(x)A, 則 limf ( x)A x x0x x 0xx02最新資料推薦定理 6無窮小量的性質(zhì)：(1)有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量;(2)有限個無窮小量的乘積為無窮小量;(3)無窮小量乘以有界變量為無窮小量定理 7在同一變化趨勢下,無窮大量的倒數(shù)為無窮小量;非零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量定理 8極限的運算法則：設(shè) lim f x

7、A,lim g xB ,則(1)lim( f ( x)g( x) AB(2)lim f (x)g(x)A B(3)limf ( x)A(B 0)Bg (x)定理 9數(shù)列的極限存在 ,則其子序列的極限一定存在且就等于該數(shù)列的極限定理 10初等函數(shù)在其定義域的區(qū)間內(nèi)連續(xù)定理 11設(shè) fx連續(xù) ,則 fx也連續(xù)（六）重要公式(重點記憶內(nèi)容 ,應(yīng)考必備 )(1)sin x1limxx 011(2)lim(1 x) xe,lim(1) ne .( 通 過 變 量 替 換 , 這 兩 個 公 式 可 寫 成 更 加 一 般 的 形 式 ： 設(shè)x 0nnlim fx0 ,且 fxsin fx, lim1 f

8、 x0 則有 lim1f x0,nm(3)lima0 xna1xn 1an 1 x ana0, nm b0 xmb1xm 1bm 1x bmb0x,nm1f xe )(4)函數(shù)fx 在 xx0 處連續(xù)f x0f x0f x0 .(5)當 x時, 以下各函數(shù)趨于的速度ln x, xaa 0 , a x (a 1),xx速度由慢到快ln n, naa0,a n (a1),n!, n n速度由慢到快(6)幾個常用極限lim na a0 1,lim n n 1,lim arctan xnnx2limarctan x2lim arccot x0,limarccot xxxxlim ex0,lim ex,

9、lim xx1 .xxx0（七）連續(xù)函數(shù)的概念1.f x在 xx0 處連續(xù) ,需滿足三個條件：3最新資料推薦 fx 在點 x0 的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義 fx當 xx0 時的極限存在 lim fxf x0limylim fx0 xfx00 .xx0x 0x x02.fx在 x0 左連續(xù)： fx在 x0,x0 內(nèi)有定義 ,且 limfxfx0 .x x03.fx在 x0 右連續(xù)： fx在 x0, x0內(nèi)有定義 ,且 limfxfx0 .x x04.fx在 a, b 內(nèi)連續(xù)： 如果 fx在 a,b內(nèi)點點連續(xù)5.fx在 a, b 內(nèi)連續(xù)： 如果 fx在 a,b內(nèi)連續(xù) ,且左端點 xa 處右連續(xù) ,右端點

10、xb 處左連續(xù)（八）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)(重點記憶內(nèi)容 )1 有界性定理：設(shè)函數(shù)fx在a,b上連續(xù) , 則 fx在a,b上有界 ,即常數(shù) M0 , 對任意的xa,b ,恒有fxM 2最大最小值定理： 設(shè)函數(shù) fx在 a,b 上連續(xù) ,則在a, b 上 fx至少取得最大值與最小值各一次,即,使得：fmaxfx ,a,b;fm i nfx,a , ba x bax b.3介值定理： 若函數(shù) fx在 a, b 上連續(xù) ,是介于 fa與 fb(或最大值 M 與最小值 m )之間的任一實數(shù) ,則在 a,b上至少一個,使得f.ab4 零點定理：設(shè)函數(shù)fx在 a, b上連續(xù) , 且 fafb0 ,則在a

11、, b 內(nèi)至少一個, 使得f0ab .（九）連續(xù)函數(shù)有關(guān)定理1連續(xù)函數(shù)的四則運算：連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商( 分母在連續(xù)點處的數(shù)值不為零 ) 仍為連續(xù)函數(shù)2反函數(shù)的連續(xù)性： 單值、單調(diào)增加 (減少 )的連續(xù)函數(shù) , 其反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上也單值、單調(diào)增加( 減少) 且連續(xù)3復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：ux 在點 x0 連續(xù) ,x0u0 ,而函數(shù) yfu 在點 u0 連續(xù) ,則復(fù)合函數(shù)yfx在點 x0 連續(xù)4初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)4最新資料推薦（十）間斷點的定義及分類1定義： 若在x x0處 , lim f x 不存在 , 或 f x無定義 , 或 lim f xf x ,

12、則稱 fx 在 xx 處間0x x000x x0斷 , x x0 稱為 f x 的間斷點2間斷點的分類間斷點的類型可去型間第一斷點類間跳躍斷點型間斷點無窮型間第二斷點類間振蕩斷點型間斷點條件例子x0 是 fxsin xf x00f x00的可f x0x去型間斷點x0 是 fx1fx00fx0arctan 的0x跳躍型間斷點x0 是 fx1fx00, fx00的無窮之一是無窮大x型間斷點fx00, fx00之一不存在且x0 是 fx1sin 的振x不是無窮大蕩型間斷點一、函數(shù)、極限、連續(xù)（一）數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列極限的定義： 給定數(shù)列xn ,如果存在常數(shù) A ,對任給0,存在正整數(shù)

13、N ,使當 nN 時 , 恒有xn A,則稱 A 是數(shù)列xn的當 n 趨于無窮時的極限,或稱數(shù)列xn 收斂于 A ,記為 lim xnA . 若nxn 的極限不存在 ,則稱數(shù)列xn發(fā)散 .收斂數(shù)列的性質(zhì)：(1)唯一性： 若數(shù)列 xn收斂 ,即 lim xnA ,則極限是唯一的n(2)有界性： 若 lim xnA ,則數(shù)列 xn有界 ,即存在 M0 ,使得對n 均有 xnM .n(3)局部保號性： 設(shè) lim xnA ,且 A0 或 A 0 , 則存在正整數(shù) N ,當 n N 時,有 xn 0或xn0 .n(4)若數(shù)列收斂于A ,則它的任何子列也收斂于極限A .（二）函數(shù)極限的定義名稱表達式任給

14、存在當 時恒有當 xx0 時 , fx 以AfxAlim f x000 xx0A 為極限x x0當 x時 , fx 以Alim f x0X 0xXfxAA 為極限x5最新資料推薦名稱表達式任給存在當 時恒有當 x x00 時 ,f xlim fxAx x000x0xx0fxA以 A 為右極限def fx00當 x x00 時 ,f xlim fxAx x000x0x x0fxA以 A 為左極限def fx00當 x時 ,fxlim fxAx0X0xXfxA以 A 為極限def f當 x時, fx以lim fxAx0X0xXfxAA 為極限def f（三）函數(shù)極限存在判別法( 了解記憶 )1海涅

15、定理： limfxA對任意一串 xnx0xnx0 ,n 1,2, 都有l(wèi) i mfxnAxx0n2.充要條件： (1)limf (x)Alim fxlim fxA ;xx 0xx0xx0(2) limf (x)Alimf (x)limf (x)A .xxx3.柯西準則： limfxA對任意給定的0 ,存在0,當xx00x1x0, 0x2x0時 ,有 f x1f x2.4.夾逼準則： 若存在0 ,當 0xx0時, 有 （x)f (x)(x) , 且 lim( x)lim(x)A, 則x x0x x0limf (x) A .x x05.單調(diào)有界準則： 若對于任意兩個充分大的x1 , x2 , x1

16、x2 ,有 fx1fx2 (或 fx1fx2 ),且存在常數(shù) M ,使 fxM (或 fxM ),則 limfx存在 .x（四）無窮小量的比較(重點記憶 )1.無窮小量階的定義 ,設(shè) lim (x) 0,lim( x)0 .(1)若 lim(x)0 ,則稱( x) 是比 （x) 高階的無窮小量 .(x)(2)若 lim( x),則 (x)是比（ x)低階的無窮小量 .( x)(3)若 lim( x)c( c0), 則稱 (x)與（ x) 是同階無窮小量 .( x)(4)若 lim(x)1,則稱 ( x)與（ x)是等價的無窮小量 ,記為( x)( x) .( x)(5) 若 lim( x)c(

17、c0),k0,則稱 (x)是（ x)的k階無窮小量k (x)6最新資料推薦2.常用的等價無窮小量( 命題重點 ,歷年必考 )當 x0 時,sin xarcsin x1tan x1c oxs2 x,xarctanx2( 1 x )1 x是實常數(shù)ln(1x)ex1（五）重要定理(必記內(nèi)容 ,理解掌握 )定理 1limf (x)Af(x0 )f (x0 )A .x x0定理 2limf (x)Af ( x) Aa( x), 其中 lim a( x)0 .x x0x x0定理 3(保號定理 ) ： 設(shè) limf ( x)A,又A0(或A0),則 一個0 , 當xx0x ( x0, x0), 且xx0時

18、， f ( x)0(或f ( x) 0) .定理 4單調(diào)有界準則： 單調(diào)增加有上界數(shù)列必有極限;單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限 .定理 5(夾逼定理 ) ：設(shè)在 x0的領(lǐng)域內(nèi) ,恒有 （x) f ( x)( x) ,且lim (x)lim(x) A, 則 limf ( x)A x x0x x 0xx0定理 6無窮小量的性質(zhì)：(1)有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量;(2)有限個無窮小量的乘積為無窮小量;(3)無窮小量乘以有界變量為無窮小量定理 7在同一變化趨勢下,無窮大量的倒數(shù)為無窮小量;非零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量定理 8極限的運算法則：設(shè) lim f xA,lim g x B ,則(1)lim

19、( f ( x)g( x)AB(2)lim f (x)g(x) A B(3)limf ( x)A0)g (x)(BB定理 9數(shù)列的極限存在,則其子序列的極限一定存在且就等于該數(shù)列的極限定理 10初等函數(shù)在其定義域的區(qū)間內(nèi)連續(xù)定理 11設(shè) fx 連續(xù) ,則 fx也連續(xù)（六）重要公式(重點記憶內(nèi)容 ,應(yīng)考必備 )(1)limsin x1xx011) n(2)lim(1 x) xe,lim(1e .( 通 過 變 量 替 換 , 這 兩 個 公 式 可 寫 成 更 加 一 般 的 形 式 ： 設(shè)x0nnlim fx0 ,且 fx 0 則有 limsin fx1f x1 , lim 1 f xe )f

20、x7最新資料推薦0,nm(3) lima0 xna1xn 1an 1 x ana0, nm mm 1xb0 xb1xbm 1x bmb0,nm(4)函數(shù)fx 在 xx0 處連續(xù)f x0f x0f x0 .(5)當 x時, 以下各函數(shù)趨于的速度ln x, xaa 0 , a x (a 1),xx速度由慢到快ln n, naa0,a n (a1),n!, n n速度由慢到快(6)幾個常用極限lim na a01,lim n n1,lim arctan x2nnxlimarctan x2limarccot x0,limarccot xxxxlim ex0,lim ex,lim xx1 .xxx0（七

21、）連續(xù)函數(shù)的概念1.fx在 x x0處連續(xù) ,需滿足三個條件：fx在點 x0 的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義 fx當 xx0 時的極限存在 lim fxf x0limylim fx0xfx00 .xx0x 0xx02.fx在 x0 左連續(xù)： fx在 x0,x0內(nèi)有定義 ,且 limfxfx0 .x x03.fx在 x0 右連續(xù)： fx在 x0, x0內(nèi)有定義 ,且 limfxfx0 .x x04.fx在 a, b內(nèi)連續(xù)： 如果 fx在 a,b內(nèi)點點連續(xù)5.fx在 a, b內(nèi)連續(xù)： 如果 fx在 a,b內(nèi)連續(xù) ,且左端點 xa 處右連續(xù) ,右端點 xb 處左連續(xù)（八）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)(重點記憶內(nèi)容 )1 有界性定理：設(shè)函數(shù)fx在a,b上連續(xù) , 則 fx在a,b上有界 ,即常數(shù) M0 , 對任意的xa,b ,恒有fxM 2最大最小值定理： 設(shè)函數(shù) fx在 a,b 上連續(xù) ,則