1、.北京市東城區(qū) 2018-2019 學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）2019.5數(shù)學(xué)（理科）本試卷共 4 頁(yè)，共 150 分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng) 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將答題卡交回。第一部分 （選擇題共 40 分）一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（ 1）已知集合 A 2,1,0,1,2, B x x2x20 ，則 A I eR B(A) 2(B)0，1(C)2,1,2(D) 1,0 ,1, 2（ 2）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入a2, b5，那么輸出的 a, b 的值分別為（ A ） 7

2、 ， 3（ B） 3 ， 3（ C） 5 ， 3（ D） 5 ， 2buuurmuuur若三點(diǎn)共（ 3）已知向量 a 與不共線，且ABab (m1) ， ACna b.A, B,C線，則實(shí)數(shù) m, n 滿足的條件為(A)m n1(B)mn1(C)mn1(D) mn1（ 4）魯班鎖起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，相傳由春秋時(shí)代魯國(guó)工匠魯班所作.右圖是某個(gè)經(jīng)典的六柱魯班鎖及其六個(gè)構(gòu)件的圖片， 下圖是其中一個(gè)構(gòu)件的三視圖 （單位： mm ），則此構(gòu)件的體積為（ A ） 34000mm 3（ B）33000mm 3（ C）32000mm 3（ D） 30000mm 3.（ 5）已知 Sn 是等差數(shù)

3、列an 的前 n 項(xiàng)和，則“ Snnan 對(duì) n 2 恒成立”是“ a3 a4 ”的(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充分必要條件(D) 既不充分也不必要條件（ 6）教室的圖書(shū)角擺放了一些閱讀書(shū)目，其中有3 本相同的論語(yǔ)、6 本互不相同的近代文學(xué)名著，現(xiàn)從這9 本書(shū)中選出 3 本，則不同的選法種數(shù)為(A) 84(B) 42(C)41(D) 35（ 7） 已知正方體 ABCDA1B1C1 D1 的棱長(zhǎng)為 2 ， P 是底面 ABCD 上的動(dòng)點(diǎn)， PA PC1 ，則滿足條件的點(diǎn)P 構(gòu)成的圖形的面積等于1(B)(C) 47(A)4(D)242（ 8）在交通工程學(xué)中，常作如下定義

4、：交通流量 Q （輛 / 小時(shí)）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某一道路橫斷面的車(chē)輛數(shù)；車(chē)流速度 V （千米 /小時(shí)）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)車(chē)流平均行駛的距離；車(chē)流密度 K （輛 /千米）：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度道路上某一瞬間所存在的車(chē)輛數(shù).一般的，V 和 K 滿足一個(gè)線性關(guān)系：V =v0 (1K ) （其中 v0 , k0 是正數(shù)），則以下說(shuō)法正確的是k0(A) 隨著車(chē)流密度的增大，車(chē)流速度在逐漸增大(B) 隨著車(chē)流密度的增大，交通流量在逐漸增大(C) 隨著車(chē)流速度的增大，交通流量先減小、后增大(D) 隨著車(chē)流速度的增大，交通流量先增大、后減小第二部分 （非選擇題共 110 分）二、填空題共6 小題，每小題5 分，共 30 分。（

5、 9 ）已知復(fù)數(shù)z1iZ ，則 Z 關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)位于第象限 .在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2i（ 10 ）已知 alog 2 6， blog 515，若 alog 3 mb ， mN ，則滿足條件的m 可以為 _.22（ 11）橢圓xy: 4b21Cy xCCP1, P , P , P .C1與曲線2關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，1與2 分別在第一、 二、三、四象限交于點(diǎn)234.若四邊形1 2 3 4 的面積為 4，則點(diǎn)1的坐標(biāo)為 _, C 的離心率為 _PP P PP1（ 12）將函數(shù) ysin 2x3 cos2x 的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) yg ( x) 的圖象，則5) =.g(66x0,（ 13）

6、設(shè)關(guān)于 x, y 的不等式組2xy0,表示的平面區(qū)域?yàn)殁g角三角形及其內(nèi)部，則m 的取值范圍是.mxy10（ 14）已知函數(shù) f ( x)，對(duì)于任意實(shí)數(shù) xa,b ，當(dāng) ax0 b 時(shí)，記 | f ( x)f ( x0 ) | 的最大值為 D a, b ( x0 ) .若 f (x) (x1)2 ，則 D0,3(2)；若 f (x)x22x,x0,1)的取值范圍是.x1 ,x則 D a, a 2 (20,三、解答題共6 小題，共80 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（ 15）（本小題13 分）如圖，在四邊形ABCD 中 ， AC7 , CD 2 AD , ADC2 .CAD 的正弦值

7、；3（）求（） 若BAC 2CAD ，且 ABC 的面積是 ACD 面積的4 倍，求 AB 的長(zhǎng) .（ 16）（本小題13 分）某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A ，這種元件在使用過(guò)程中發(fā)生損壞時(shí)，需要送維修處維修.工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件 A 在次日早上8： 30 之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A 的維修工作 .每個(gè)工人獨(dú)立維修 A 元件需要時(shí)間相同.維修處記錄了某月從1 日到 20 日每天維修元件A 的個(gè)數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1 日2 日3 日4 日5 日6 日7 日8 日9 日10 日元件 A 個(gè)數(shù)91512181218992412日期11 日12 日13 日14 日

8、15 日16 日17 日18 日19 日20 日元件 A 個(gè)數(shù)12241515151215151524從這 20 天中隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X 表示在維修處該天元件A 的維修個(gè)數(shù) .（）求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望；（）若 a,bN ，且 ba6 ，求 P(aXb) 最大值；（）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個(gè)維修工人每天維修元件A 的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)4個(gè)，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫(xiě)出結(jié)論）.（ 17）（本小題 14分）如圖，四邊形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，ABCD，BC，DAB60o，AD4，ABABAEDE ， AEDE ，平面 ABE 與平面 CDE 交

9、于 EF （）求證： CD P EF ；（）若 EFCD ，求二面角 A-BC-F 余弦值；（）在線段 BC 上是否存在點(diǎn)M 使得 AMEM ？若存在，求 BM 的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由（ 18）（本小題 13分）已知點(diǎn) P 1,2到拋物線 C : y22 pxp 0 準(zhǔn)線的距離為 2.（）求 C 的方程及焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)；（）設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于原點(diǎn) O 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn) Q ，過(guò)點(diǎn) Q 作不經(jīng)過(guò)點(diǎn) O 的直線與 C 交于兩點(diǎn) A, B ，直線 PA, PB 分別交 x 軸于 M , N 兩點(diǎn) . 求 MFNF 的值 .（ 19）（本小題 14分）已知函數(shù) f ( x)xsin x （）求曲線 yf (

10、x) 在點(diǎn) ( , f () 處的切線方程；22（）若不等式f ( x)axcos x 在區(qū)間 0,a 的取值范圍 上恒成立，求實(shí)數(shù)2（ 20）（本小題13 分）a11a12La1nnna21a22L a2 n，n若行列的數(shù)表(n2) 滿足： aij(i，j1，2，L ，n) ，aikm (i12，L ，n,0mn) ，MMM0 1k1an1an2Lannna jk0 (i, j1,2,L, n, ij )，記這樣 的 一個(gè)數(shù)表為.對(duì) 于記集合aiknnk 1A (m)A (m),nT (n, m)ijijaika jk， 1ijn , i , jN. T ( n, m) 表示集合 T (n,

11、 m) 中元素的個(gè)數(shù) .k 1110（）已知 A3 (2)011 , 寫(xiě)出ij(1ij3 ， i , j N ) 的值；101.（）是否存在數(shù)表A4 (2) 滿足 T (4，2)1？若存在，求出A4 (2) ，若不存在，說(shuō)明理由；（）對(duì)于數(shù)表An (m)(0mn, mN ) ，求證：T (n,m) n .2北京市東城區(qū)2018-2019 學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）2019.5數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共8 小題，每小題5 分，共 40分）（ 1） A（ 2）D（ 3） C（ 4）C（ 5） C（ 6）B（7） A（ 8）D二、填空題（共6 小題，每小題5 分，共 30分）

12、（ 9）四（ 10） 9（答案不唯一）（ 11）6（12）31,13（ 13）1（ 14） 31,42,0 U ( , )2三、解答題（共6 小題，共 80 分）（ 15）（共 13 分）解：（）x( x0) ，在 ACD 中，設(shè) AD由余弦定理得 7=x24x22x2 x cos2，3整理得 7x27 ，解得 x1 .所以 AD1,CD2.由正弦定理得DCAC，解得 sin DAC21 .6 分sinDACsin273（）由已知得 S ABC4S ACD ，所以1 AB AC sinBAC 41 ADAC sin CAD ，22.化簡(jiǎn)得 AB sinBAC4AD sinCAD .AB 2si

13、nCAD cosCAD4AD sinCAD ,所以于是 AB cosCAD2AD.21因?yàn)?sinCAD7，且CAD為銳角，所以 cosCAD1sin2CAD2 7.7因此 AB7.13 分（ 16）（共 13 分）解：（）由題意可知，X 的所有可能取值為9,12,15,18,24，且 P( X9)35； P( X7； P( X12)15)；202020P( X18)2； P( X32024).20所以 X 的分布列為：X912151824P357232020202020故 X 的數(shù)學(xué)期望E( X )93572+243=15 .5 分+12+1520+1820202020（）當(dāng) P(aXb)

14、取到最大值時(shí)，a9,a12,或a18,a, b 的只可能為：15,或18,b24.bb經(jīng)計(jì)算 P(9X 15)15X14， P(18X 24)5， P(1218)，202020所以 P(aXb) 的最大值為 15 = 3.10 分204（）至少增加2 人.13 分（ 17）（共 14 分）.解：（）在四邊形ABCD 中， AB CD 因?yàn)?AB平面 ABE ， CD平面 ABE ，所以 CD 平面 ABE 因?yàn)?CD平面 CDE ，且平面ABE I 平面 CDEEF ，所以 CD EF .4 分（）如圖，取AD 的中點(diǎn) N ，連接 BN ， EN . 在等腰 ADE 中， ENAN .因?yàn)槠矫?/p>

15、 ADE平面 ABCD ，交線為AD ，又 ENAD ，所以 EN平面 ABCD .所以 ENBN .由題意易得ANBN.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Nxyz，則N (0,0,0), A(2,0,0)， B(0, 23,0) ， C ( 3,3,0) ，D (2,0,0) ， E (0,0,2)因?yàn)?EFCD ，所以 F (1,3,2).設(shè)平面 BCF 的法向量為 nuuuruuur( x, y, z)，BF ( 1,3,2), BC ( 3, 3,0),nuuur0,x3y2z0,BF則uuur即3x3y0.nBC0,令 y3，則 x1,z1于是 n(1, 3,1)uuur(0,0, 2) ，又平

16、面 ABCD 的法向量為 NEuuuruuur5n NE所以 cos n, NEuuur5n NE由題知二面角A-BC-F 為銳角，所以二面角 A-BC -F 的余弦值為5.9 分.5（）不存在滿足條件的點(diǎn)M ，使 AMEM ，理由如下：若 AMuuuuruuuurEM ，則 EMAM 0 uuuuruuur因?yàn)辄c(diǎn) M 為線段 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) CMtCB(0 t 1), ， M (u, v,0) .則 (u 3, v3,0)t(3,3,0) ，解得 M (3t3,3+3t,0) uuuur(3t3,33t ,uuuur(3t5,33t ,0) 所以 EM2) ， AMuuuuur uuuu

17、r(3t3,33t , 2) (3t 5,33t ,0)=0 所以 EM AM整理得 2t 23t30 ，此方程無(wú)實(shí)根所以線段BC 上不存在點(diǎn) M ，使 AMEM .14 分（ 18）（共 13 分）解：（）由已知得 1p2 ，所以 p2.2所以拋物線 C 的方程為 y24x ，焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 1,0 .4 分（ II ）設(shè)點(diǎn) A( x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ，由已知得 Q ( 1,2) ，由題意直線 AB斜率存在且不為0.設(shè)直線 AB 的方程為 yk x12(k0) .2y4x，2由得 ky4 y4k80 ，則 y1 y24 , y1 y248 .kk因?yàn)辄c(diǎn) A, B

18、 在拋物線C 上，所以 y124x1 ， y224x2 ，y12y124， kPBy224kPA1y12y1x21 y2.x11224因?yàn)?PFx 軸，所以 MFNFPFPF4y12y2 2kPAkPBkPAkPB4y1 y22 y1y244884k k2 .44.所以 MFNF 的值為 2.13 分（ 19）（共 14 分）解：（）因?yàn)樗詅 (x)xsin x ，f ( x)1cos x， f ( )1， f ( )1 ，222所以曲線 yf ( x) 在點(diǎn) (, f( ) 處的切線方程為yx 1.5分22（）因?yàn)?x0, ，所以 sin x0 ， cosx0 ，2當(dāng) a0 時(shí)， f (

19、x)x sin x0 恒成立， axcosx0恒成立，所以不等式f ( x)ax cosx 在區(qū)間 0, 上恒成立 .2當(dāng) a0 時(shí)，設(shè) g( x) f (x)ax cos xxsin xax cos x ，g (x)1cos xa cosxaxsin x1 (1a)cos xaxsin x ，若 0a1 ， (1a)cos x0 ， axsin x0 ，所以 g ( x)0在區(qū)間 0, 上恒成立；2若 1a2，11a0 ，1 (1 a)cos x 0， axsin x 0 ，所以 g ( x)0 在區(qū)間 0, 上恒成立；2所以 g (x) 在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增，g( x) ming(0)

20、0,2所以當(dāng) a2 時(shí)，不等式f ( x)ax cosx 在區(qū)間 0, 上恒成立；2當(dāng) a2 時(shí)，令 h( x)g ( x)1(1a)cos xaxsin x ，h (x)(2 a1)sin xax cosx ， h ( x)0 在區(qū)間 0, 上恒成立，2所以 g ( x) 在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增，g ( x)ming (0)2 a 0 ， g ( x)maxg ( )1 a0 ，222所以存在 x00, ，使得 g (x0 )0 .2當(dāng) 0xx0 時(shí)， g (x) 0 ， g( x) 單調(diào)遞減；.當(dāng) x0x2時(shí)， g ( x)0 ， g( x) 單調(diào)遞增；當(dāng) xx0 時(shí)， g ( x)0 ， g(x) 取得極小值；而 g (0) 0 ，所以 g( x0 ) 0 ，所以不等式g(x) 0 在區(qū)間 0, 上不能恒成立，2所以不等式f ( x)ax cosx 在區(qū)間 0, 上恒成立時(shí)實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 (,2. .14 分2（ 20）（共 13 分）解：