1、用動量定理推導氣體壓強公式和理想氣體狀態(tài)方程云南省玉溪第一中學 周忠華 摘要：容器內(nèi)氣體壓強的產(chǎn)生是由于大量氣體分子頻繁地撞擊容器壁而使容器壁受到持續(xù)的壓力，壓強的大小就等于容器壁上單位面積上受到的壓力。我們可以選取一定時間內(nèi)與容器壁某一面積發(fā)生碰撞的氣體分子作為研究對象，對它們應用動量定理，求出容器壁對這些氣體分子的彈力，從而求出氣體壓強。得到氣體的壓強公式后，我們可以很自然地推導出質(zhì)量一定的理想氣體的狀態(tài)方程。關鍵詞：動量定理、氣體壓強、理想氣體狀態(tài)方程普通高中物理（必修加選修）第二冊第十二章氣體的壓強這一節(jié)內(nèi)容，教材為解釋氣體壓強的產(chǎn)生和大小是通過兩個演示實驗來完成的。第一個實驗是在玻璃

2、罩內(nèi)放一個充氣不多的氣球，然后用抽氣機將罩內(nèi)的空氣逐漸抽離，抽氣過程中可以看到氣球體積不斷膨脹，用這個實例說明氣球內(nèi)的氣體確實對球皮產(chǎn)生了由內(nèi)向外的壓強；第二個演示實驗是把大量的小滾珠均勻地倒在電子秤盤上，傾倒的過程中可以觀察到滾珠對秤盤產(chǎn)生了持續(xù)的、均勻的壓力，用這個實驗來模擬大量的氣體分子頻繁地撞擊容器壁會產(chǎn)生壓強。這兩個實驗的優(yōu)點是比較直觀，學生看后基本上都能定性地感知氣體壓強的存在和產(chǎn)生的原因，但這兩個實驗都偏重于直觀印象，缺乏充分嚴密的數(shù)學推證，許多學生對教材如此解釋壓強感到過于簡單，說兩個實驗都不能給出決定氣體壓強大小的數(shù)學公式。為解決這個問題，筆者通過多年的教學實踐發(fā)現(xiàn)，可以應用

3、高中學生學習過的相關知識，對與容器壁發(fā)生碰撞的氣體分子用動量定理，推導出容器內(nèi)的氣體壓強公式，較好地解決了這個問題，下面我談談我的處理方法。常溫常壓下的氣體分子間隙很大，分子間距達到分子直徑數(shù)量級的10倍以上，分子間的相互作用力已經(jīng)十分微弱，可以忽略不計。氣體分子除了相互碰撞和與容器壁發(fā)生碰撞外，可近似認為氣體分子不再受到其他任何作用力。把氣體分子與容器壁的碰撞看作是完全彈性碰撞，這樣就可以很方便地用動量定理計算出容器壁上被碰撞處的壓力和壓強。為了討論問題的方便，我們假設有一個容積為V的容器，容器內(nèi)所裝氣體分子的總數(shù)為N,容器內(nèi)單位體積內(nèi)分子數(shù)為n,其中n=，每個氣體分子質(zhì)量為m,我們在這個容

4、器的內(nèi)壁附近作一個小的正立方體，見下圖。小立方體與容器內(nèi)壁相接觸的底面積為s,令小立方體的邊長為l=vt,其中v為氣體分子平均速率，t是我們所取的一小段考查的時間間隔。小立方體內(nèi)氣體分子的總數(shù)為N, N=nsl=nsvt，在t內(nèi)，這個小立方體內(nèi)的氣體分子有六分之一都將與接觸面S發(fā)生碰撞。之所以只取六分之一，是因為氣體分子做雜亂無章的熱運動時向各個方向運動的概率相等，而空間上存在前、后、左、右、上、下六個方位，任意一個時刻向某一方位運動的分子數(shù)即為總數(shù)的六分之一。設容器壁上考查面s對這些氣體分子的作用力為,對這個小立方體中在t的時間內(nèi)與考查面s發(fā)生碰撞的氣體分子應用動量定理得： ，其中為每個氣體

5、分子與容器壁碰撞后動量變化的大小，將壓力=和= t代入上式得：，消去左右兩邊的相同項，得壓強：因為氣體分子平均動能為= 所以容器壁上碰撞處的壓強為p=又因為氣體分子平均動能與熱力學溫度成正比，即=，所以壓強p=，其中為容器內(nèi)單位體積的氣體分子數(shù)，為與波爾茲曼常數(shù)有關的常量，為熱力學溫度。從推導可知，在常溫常壓下，容器內(nèi)質(zhì)量一定的氣體，壓強的大小與兩個因素有關，一個是容器內(nèi)單位體積內(nèi)的分子數(shù)，另一個是熱力學溫度，或者說分子平均動能?，F(xiàn)在我們由氣體壓強公式推導容器內(nèi)一定質(zhì)量的理想氣體狀態(tài)方程。因為容器中單位體積內(nèi)分子數(shù)n=, 且氣體壓強p=n 所以氣體壓強公示可寫成 p=上面的等式左右兩邊同乘于得到：=，再把