1、 時域分析方法時域分析方法: :不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng) 的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概 念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。 元一階微分方程元一階微分方程狀態(tài)變量描述狀態(tài)變量描述 階微分方程階微分方程一元一元輸入輸出描述輸入輸出描述 : : N N 本課程中我們主要討論本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法輸入、輸出描述法。 系統(tǒng)數(shù)學模型的時域表示 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.1 引言 變換域法變換域法 利用卷積積分法求解利用卷積積分法求解零狀態(tài)零狀態(tài)

2、可利用經(jīng)典法求可利用經(jīng)典法求零輸入零輸入 雙零法雙零法 經(jīng)典法經(jīng)典法 解方程解方程 網(wǎng)絡拓撲約束網(wǎng)絡拓撲約束根據(jù)元件約束根據(jù)元件約束列寫方程列寫方程 : : ,: 經(jīng)典法經(jīng)典法: :前面電路分析課里已經(jīng)討論過前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與但與 （t） 有關的問題有待進一步解決有關的問題有待進一步解決 h（t）； 卷積積分法卷積積分法: : 任意激勵下的零狀態(tài)響應可通過任意激勵下的零狀態(tài)響應可通過 沖激響應來求沖激響應來求。( (新方法新方法) ) 系統(tǒng)分析過程系統(tǒng)分析過程 線性系統(tǒng)完全響應的求解；線性系統(tǒng)完全響應的求解； 沖激響應沖激響應h(t)的求解；的求解； 卷積的圖解說明；卷積的圖解說

3、明； 卷積的性質；卷積的性質； 零狀態(tài)響應：零狀態(tài)響應： 。 thtfty zs 本章主要內容本章主要內容 許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。 若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用 線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程來描述。來描述。 2.2 微分方程的式的建立與求解 一物理系統(tǒng)的模型一物理系統(tǒng)的模型 本節(jié)復習求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法：本節(jié)復習求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法： 物理系統(tǒng)的模型物理系統(tǒng)的模型 微分方程的列寫微分方程的列寫 n 階線性時不變系統(tǒng)的描述階線性時不變系統(tǒng)的描述 求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法求解系統(tǒng)微

4、分方程的經(jīng)典法 根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。 對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲 約束列寫系統(tǒng)的微分方程。約束列寫系統(tǒng)的微分方程。 元件特性約束：元件特性約束：表征元件特性的關系式。例如二端元表征元件特性的關系式。例如二端元 件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關系以及四 端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。 網(wǎng)絡拓撲約束：網(wǎng)絡拓撲約束：由網(wǎng)絡結構決定的電壓電流約束關系由網(wǎng)絡結構決定的電壓

5、電流約束關系, KCL，KVL。 二微分方程的列寫二微分方程的列寫 電感電感 電阻電阻 tv R tiR 1 d 1 t L v L ti 電容電容 t tv CtiC d d 根據(jù)根據(jù)KCL titititi CLRS 代入上面元件伏安關系，并化簡有代入上面元件伏安關系，并化簡有 t ti tv Lt tv Rt tv C d d1 d d1 d d S 2 2 這是一個代表這是一個代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 求并聯(lián)電路的端電壓求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵與激勵 間的關系。間的關系。 tv tis t i s R R i L L i C c i a b

6、t v 例2-2-1 這是一個代表機械位移系統(tǒng)的二階微分方程。這是一個代表機械位移系統(tǒng)的二階微分方程。 兩個不同性質的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學模型，都是線兩個不同性質的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學模型，都是線 性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復雜系統(tǒng)，則性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復雜系統(tǒng)，則 可以用高階微分方程表示。可以用高階微分方程表示。 m s F f 機械位移系統(tǒng)，質量為機械位移系統(tǒng)，質量為m的剛體一端由彈簧的剛體一端由彈簧 tv 牽引牽引，彈簧的另一端固定在壁上彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩剛體與地面間的摩 擦力為擦力為 ，外加牽引力為外加牽引力為 ，其外加牽引力其外加牽引力

7、與與 剛體運動速度剛體運動速度 間的關系可以推導出為間的關系可以推導出為 tFSf tFS t tF tkv t tv f t tv m d d d d d d S 2 2 k 例2-2-2 一個線性系統(tǒng)一個線性系統(tǒng)，其激勵信號其激勵信號 與響應信號與響應信號 之間之間 的關系的關系，可以用下列形式的微分方程式來描述可以用下列形式的微分方程式來描述 )(te )(tr )( d )(d d )(d d )(d )( d )(d d )(d d )(d 1 1 1 10 1 1 1 10 teE t te E t te E t te E trC t tr C t tr C t tr C mm m

8、 m m m nn n n n n 若系統(tǒng)為時不變的，則若系統(tǒng)為時不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為均為常數(shù)，此方程為 常系數(shù)的常系數(shù)的n階線性常微分方程。階線性常微分方程。 階次階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。 三n 階線性時不變系統(tǒng)的描述 分析系統(tǒng)的方法：分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。列寫方程，求解方程。 變換域法變換域法 利用卷積積分法求解利用卷積積分法求解零狀態(tài)零狀態(tài) 可利用經(jīng)典法求解可利用經(jīng)典法求解零輸入零輸入 應應零輸入響應和零狀態(tài)響零輸入響應和零狀態(tài)響 經(jīng)典法經(jīng)典法 解方程解方程 網(wǎng)絡拓撲約束網(wǎng)絡拓撲約束根據(jù)元件約束根據(jù)元件約

9、束列寫方程列寫方程 : : ,: 求解方程時域求解方程時域經(jīng)典法經(jīng)典法就是：就是：齊次解齊次解 + 特解。特解。 四求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法四求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法 我們一般將激勵信號加入的時刻定義為我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0 ，響應，響應 為為 時的方程的解，初始條件時的方程的解，初始條件 0t 齊次解：齊次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式 n k t k k A 1 e 注意重根情況處理方法。注意重根情況處理方法。 特特 解：解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系設含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式數(shù)的特解函數(shù)式代

10、入原方程代入原方程，比較系數(shù)比較系數(shù) 定出特解定出特解。 1 1 2 2 d )0(d , d )0(d , d )0(d ,)0( n n t r t r t r r 初始條件的初始條件的確定確定是此課程要解決的問題。是此課程要解決的問題。 k A 全全 解：解：齊次解齊次解+特解，由特解，由初始條件初始條件定出齊次解定出齊次解 。 經(jīng)典法 的齊次解。的齊次解。 求微分方程求微分方程tetrtr t tr t tr t 12 d d 16 d d 7 d d 2 2 3 3 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 012167 23 032 2 3 , 2 21 重根重根 tt h AAtAtr

11、3 3 2 21 ee 特征根特征根 因而對應的齊次解為因而對應的齊次解為 例2-2-3 如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此分別求兩種情況下此 方程的特解方程的特解。 te t te tr t tr t tr d d 3 d d 2 d d 2 2 ,e 2 ; 1 2t tette 給定微分方程式給定微分方程式 32 2 1p BtBtBtr 為使等式兩端為使等式兩端 ,2 , 1 22 tttte 得到得到代入方程右端代入方程右端將將 平衡，試選特解函數(shù)式平衡，試選特解函數(shù)式 將此式將此式代入方程代入方程得到得到 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。這里這里 321 , , BBB ttBBBt

12、BBtB2322 343 2 32121 2 1 例2-2-4 等式兩端各對應冪次的系數(shù)應相等等式兩端各對應冪次的系數(shù)應相等，于是有于是有 0322 234 13 321 21 1 BBB BB B 聯(lián)解得到聯(lián)解得到 27 10 , 9 2 , 3 1 321 BBB 所以所以，特解為特解為 27 10 9 2 3 1 2 p tttr 這里這里，B是待定系數(shù)是待定系數(shù)。 代入方程后有：代入方程后有： ?？蛇x可選很明顯很明顯時時當當 tt Btrtee , ,e ttttt BBBeee3e2e 3 1 B 。于是，特解為于是，特解為 t e 3 1 相加即得方程的完全解相加即得方程的完全解和

13、特解和特解上面求出的齊次解上面求出的齊次解trtr ph trAtr n i t i p 1 ie (2) 激勵函數(shù)激勵函數(shù)e(t) 響應函數(shù)響應函數(shù)r(t)的特解的特解 )(常數(shù)常數(shù)E)(常數(shù)常數(shù)B p t 1 1 21 pp pp BtBtBtB t e t B e t cos t sin tBtB sincos 21 tt tp sine tt tp cose tDtDtDtD tBtBtBtB t pp pp t pp pp sine cose 1 1 21 1 1 21 幾種典型激勵函數(shù)相應的特解幾種典型激勵函數(shù)相應的特解 電容電壓的突變電容電壓的突變 電感電流的突變電感電流的突變

14、沖激函數(shù)匹配法確定初始條件沖激函數(shù)匹配法確定初始條件 2.3 起始點的跳變 )0()0( )0()0( LL CC ii vv 我們來進一步討論我們來進一步討論 的條件。的條件。 0t 1 1 2 2 d 0d , d 0d , d 0d ,00 n n k t r t r t r rr 狀態(tài)、起始狀態(tài)狀態(tài)、起始狀態(tài) 0 O 0 0 t 導出的起始狀態(tài)導出的起始狀態(tài)狀態(tài)、初始條件、狀態(tài)、初始條件、 0 1 1 2 2 d 0d , d 0d , d 0d ,00 n n k t r t r t r rr 一起始點的跳變 當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從 到到 狀態(tài)有

15、狀態(tài)有 沒有跳變取決于微分方程右端自由項是否包含沒有跳變取決于微分方程右端自由項是否包含 及及 其各階導數(shù)項。其各階導數(shù)項。 0 0 t 一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的 電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則換路定則： .00 ,00 LLCC iivv 0 對于一個具體的電網(wǎng)絡，系統(tǒng)的對于一個具體的電網(wǎng)絡，系統(tǒng)的 狀態(tài)就是系統(tǒng)中狀態(tài)就是系統(tǒng)中 儲能元件的儲能元件的儲能情況儲能情況; ; 00 到到 但是當有但是當有沖激電流沖激電流強迫作用于電容或有強迫作用于電容或有沖激電壓沖激電壓強迫

16、強迫 作用于電感，作用于電感， 狀態(tài)就會發(fā)生跳變。狀態(tài)就會發(fā)生跳變。 說明 由伏安關系由伏安關系 t CC i C tv d)( 1 )( t CCC i C i C i C 0 0 0 0 d)( 1 d)( 1 d)( 1 t CCC i C i C v 0 0 0 d)( 1 d)( 1 )0( 0d)( 1 )0()0(,0 0 0 CCC i C vvt令令 為有限值為有限值如果如果)(tic , 0d)( 0 0 C i ttic 為為如果如果)( ， C i C C 1 d)( 1 0 0 )0()0( CC vv此時此時 C vv CC 1 )0()0( 此時此時 當有沖激電流

17、當有沖激電流 或階躍電壓作或階躍電壓作 用于電容時：用于電容時： )0()0( CC vv C )(tvC )(tiC 1電容電壓的突變 EvC )0( 0)0( C v )( d )(d )(tCE t tv Cti C C 電流為沖激信號。電流為沖激信號。 C )(tvC )(tiC )(tEu 例2-3-1 t LL v L ti d)( 1 )( 0 0 d)( 1 )0()0( LLL v L ii )(tiL )(tvL L )0()0( LL ii此時此時 0d)( 0 0 ， L v 如果如果 為有限值為有限值， )(tvL ，為為如果如果 )()(ttvL 00 , 1 d)

18、( 1 0 0 LLL ii L v L 此時此時 沖激電壓或階沖激電壓或階 躍電流作用于躍電流作用于 電感時：電感時： )0()0( LL ii 2 2電感電流的突變電感電流的突變 )(tiL )(tvL L )( s tuI t ti Ltv L L d )(d )( ttLI L ii LL d)( 1 )0()0( 0 0 s s )0(IiL )( d )(d s s tLI t tvI L 例2-3-2 時的變化。時的變化。在在方程并求解方程并求解 的微分的微分。建立電流。建立電流轉向轉向由由時時達到穩(wěn)態(tài)。當達到穩(wěn)態(tài)。當 的位置而且已經(jīng)的位置而且已經(jīng)處于處于開關開關給定如圖所示電路

19、，給定如圖所示電路， 0)( )(21S0 1S0 tti tit t 2 1 S ti V4 te V2 te F1 C 1 1 R tiC ti L H 4 1 L 2 3 2 R 例2-2-5 根據(jù)電路形式根據(jù)電路形式，列回路方程列回路方程 tetvtiR C 1 2 d d Rtiti t Ltv LLC 列結點電壓方程列結點電壓方程 titv t Cti LC d d , tvC先消去變量先消去變量 , 把電路參數(shù)代入整理得把電路參數(shù)代入整理得再消去變量再消去變量tiL tete t te t titi t ti t 4 d d 6 d d 10 d d 7 d d 2 2 2 2

20、(1) （1）列寫電路的微分方程 系統(tǒng)的特征方程系統(tǒng)的特征方程 0107 2 052 即即 特征根特征根 5 , 2 21 齊次解齊次解 0 ee 5 2 2 1 tAAti tt h V4 0 tet時時由于由于 , , 44 p Bti 因此令特解因此令特解 4410 B 5 8 10 16 B 方程右端自由項為方程右端自由項為 代入式代入式(1)(1) 要求系統(tǒng)的完全響應為要求系統(tǒng)的完全響應為 0 5 8 ee 5 2 2 1 tAAti tt 特解特解 (2)求系統(tǒng)的完全響應 0 d d 0i t i和和確定換路后的確定換路后的 A 5 42 00 21 RR ii L 00 d d

21、i t V 5 6 V 2 3 5 4 0 C v 換路前換路前 2 1 S ti V4 te V2 te F1 C 1 1 R tiC tiL H 4 1 L 2 3 2 R (3) A 5 14 A 5 6 4 1 1 00 1 0 1 C ve R i s/A20 d d 0 d d1 0 d d 1 C v t e tR i t 因而有因而有 :0 d d 0 i t i和和換路后的換路后的 由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變, , 2 1 S ti V4 te V2 te F1 C 1 1 R tiC tiL H 4 1 L 2 3

22、2 R 時的完全響應時的完全響應在在求求 0tti 的表示式的表示式由由 ti 2520 d d 5 14 5 8 0 21 21 AAi t AAi 求得求得 要求的完全響應為要求的完全響應為 15 2 3 4 2 1 A A 0 5 8 15 2 3 4 52 tAeeti tt (4) 配平的原理：配平的原理：t =0 時刻微分方程左右兩端的時刻微分方程左右兩端的(t)及各階及各階 導數(shù)應該平衡導數(shù)應該平衡( (其他項也應該平衡，我們討論初始條件，其他項也應該平衡，我們討論初始條件， 可以不管其他項）可以不管其他項） ttrtr t 33 d d 0,0rr求求已知已知 例例： 相對單位跳變函數(shù)相對單位跳變函數(shù)到到表示表示 00 :tu 該過程可借助數(shù)學描述該過程可借助數(shù)學描述 ttrtr dt d 33 tt 33 t 3 t 9 t 9 tu 9 3 三沖激函數(shù)匹配法確定初始條件 在在 中中 時刻有時刻有 tr0 t tu 9 t 3方程右端含方程右端含 t t tr 3 d d 中必含中必含 ttr 3中包含中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttrt t tr 939 d d 中的中的以平衡以平衡必含必含 900 rr 900 rr即即 中的中的 tr td d t 9 表示表示 到到 的相對跳變函數(shù)，所以，的相對跳變