1、第一章 三角形的證明 3 線段的垂直平分線（2）,Contents,目錄,01,02,舊知回顧,學習目標,新知探究,隨堂練習,課堂小結,1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點且這一點到三個頂點的距離相等； 2.能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線和已知底邊及底邊上的高作出等腰三角形.,定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.,這個結論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,如圖, AC=BC, MNAB, P是MN上任意一點(已知), PA=PB (線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等).,逆定理: 到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.,幾何語言

2、描述： 如圖, PA=PB(已知), 點P在AB的垂直平分線上 (到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上),這個結論是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.,A,B,P,已知: 線段AB,（如圖）. 求作: 線段AB的垂直平分線. 作法:,用尺規(guī)作線段的垂直平分線.,1. 分別以點A和B為圓心, 以大于AB/2長為半徑作弧,兩弧交于點C和D.,2. 作直線CD.,則直線CD就是線段AB的垂直平分線.,剪一個三角形紙片通過折疊找出每條邊的垂直平分線.,觀察這三條垂直平分線, 你發(fā)現(xiàn)了什么?,結論: 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點.,你想證明這個命題嗎? 你能

3、證明這個命題嗎?,利用尺規(guī)作出三角形三條邊的垂直平分線.,觀察這三條垂直平分線, 你發(fā)現(xiàn)了什么?,結論: 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點.,你想證明這個命題嗎? 你能證明這個命題嗎?,如何證三條直線交于一點？,命題:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點.,基本想法是這樣的: 我們知道,兩條直線相交只有一個交點. 要想證明三條直線相交于一點只要能證明兩條直線的交點在第三條直線上即可. 這時可以考慮前面剛剛學到的逆定理.,如圖, 在ABC中, 設AB、BC的垂直平分線相交于點P, 連接AP、BP、CP.,點P在線段AB的垂直平分線上, PA=PB . 同理,PB=PC. PA=PC. 點P在線段

4、AC的垂直平分線上, AB,BC,AC的垂直平分線相交于一點并且這一點到三個頂點的距離相等.,定理: 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點, 并且這一點到三個頂點的距離相等.,想一想：仿照我們上節(jié)課講的線段垂直平分線的定理以及逆定理的幾何語言的表示方法，你能把這個定理也用幾何語言表示出來嗎？,試一試：你能獨立完成這個寫作過程嗎？,這是證明三條直線交于一點的根據(jù).,如圖, 在ABC中, c,a,b分別是AB, BC, AC的垂直平分線 (已知), c,a,b相交于一點P, 且PA=PB=PC (三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離相等).,（1）已知三角形的一條邊及這條邊

5、上的高,你能作出三角形嗎?,如果能, 能作出幾個? 所作出的三角形都全等嗎?,你能親自探索出結果并能用尺規(guī)作出圖形嗎？,（2）已知等腰三角形的底及底邊上的高,你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?能作幾個?,例3,已知底邊及底邊上的高,利用尺規(guī)作等腰三角形.,已知:線段a, h(如圖).,求作: ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.,請你寫出作法.,作法: （1）作線段BC=a(如圖) （2）作線段BC的垂直平分線m， 交BC于點D （3）在m上作線段DA，使DA=h （4）連接AB,AC ABC為所求的等腰三角形,h,B,C,A,D,m,已知直線 l 和 l上一點P，利用尺規(guī)作l的垂線，使它

6、經(jīng)過點P,已知：直線l和l上一點P 求作：PC l 作法： 1. 以點P為圓心，以任意長為半徑作弧，與直線l 相交于點A和B 2. 作線段AB的垂直平分線PC 直線PC就是所求的垂線,做一做,1. 分別作出直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.,銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外,2. 已知：ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AB的垂直平分線交AD于O 求證：OA=OB=OC,證明：AB=AC，AD是BC的中線， AD垂直平分BC(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊) 又AB的垂直平分線與AD交于點O OB=OC=OA(三角形三條邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等),3. 求作等腰直角三角形，使它的斜邊等于已知線段,已知：線段a 求作：等腰直角三角形ABC使BC=a,作法：1作線段BC=a 2作線段BC的垂直平分線L，交BC于點D 3在L上作線段DA，使DA=DB 4連接AB，AC ABC為所求的等腰直角三角形,1. 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點, 并且這一點到三個頂點的距離相等.,如圖, 在ABC中, c、a、