1、最新資料推薦3可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造已知可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù) , 反之 , 可測(cè)函數(shù)是“基本上”（指去掉一個(gè)測(cè)度可 任意小 的某點(diǎn)集外）連續(xù)的函數(shù) , 即下列定理：定理 1（ Lusin 定理） 設(shè) f ( x) 是 E (不要求 mE) 上 a.e. 有限的可測(cè)函數(shù) ,則對(duì)0,存在 閉子集 EE,使 f ( x) 在 E上是連續(xù)函數(shù) , 且 m( EE ), 即在 E 上 a.e. 有限的可測(cè)函數(shù)是“基本上 連續(xù)”的函數(shù)。證明（ 1）設(shè) f ( x) 是簡(jiǎn)單函數(shù)。n設(shè) EEi , 各 Ei可測(cè)且互不相交 , f (x) ci , xEi 。i 10 ,由 Ei 可測(cè) , 知存在閉子集Fi

2、Ei , 且 m( EiFi )。nn令 EFi , 則 E 為閉集 , 且 EE,i 1nnm(E E ) m(UEiU Fi )i 1i 1nnnm(U (EiFi )m(EiFi )ni 1i 1i 1( 由于 EiFi 互不相交 ,所以有限多個(gè)閉集之并仍為閉集) 。1最新資料推薦n對(duì) x0 E U Fi ,i0 , 使得i 1x0Fi0 , f ( x0 ) ci0 。因?yàn)?Fi 互不相交 , 所以 x0UFi , 故i i 0x0C(U Fi ) （開集），i i0所以x0 的一個(gè)鄰域 U ( x0 )C(Fi ), 故有ii0U ( x0 )(Fi ),ii0所以U (x0 ) E

3、U ( x0 ) Fi0 ，當(dāng) xU (x0 ) I E 時(shí) ,f( )f(x0)ci00，xci0故 f (x) 在 E 上連續(xù)。（ 2）設(shè) mE,f ( x) 為可測(cè)函數(shù)。由 f ( x) 可測(cè)知 , 存在一列簡(jiǎn)單函數(shù)n ( x), 使得f ( x)limn ( x) 。n由 mE及葉果洛夫定理知,0,一定存在 可測(cè)子集E0*E，使得n ( x) 一致收斂于f ( x) ,（在 E0* 上） , 且2最新資料推薦m( EE0* )。2對(duì)每個(gè)i(x),由 (1)知 ,閉子集 EiE0* ,使得i( x) 在 Ei上連續(xù) ,且m(E0*Ei )2i 1。令 EEi , 則 E 閉， 且 E E

4、(E E0* ) U ( E0*E ) (畫圖 )i1m(EE )m( EE0* ) U (E0*E )m(E E0* ) m( E0*E )2m(U (E0*Ei )i 12m( E0*Ei)i 12i 1 2i 1。由 n ( x) 在 En 上連續(xù) , 知n ( x) 在 E上連續(xù)。又n ( x) 在 E( E0* )上一致收斂于f (x) ,故 f (x) 在 E 上連續(xù)。(3) 設(shè) mE, f ( x) 為可測(cè)函數(shù)，則E UEi ，i 1其中 Ei (i1,2,L ) 互不相交且 有界可測(cè) 。3最新資料推薦由 f (x) 在 E 上可測(cè) , 故 f (x) 在 Ei 上可測(cè)。又 mE

5、i, 由（ 2）可知閉子集 E iEi , f (x) 在 E i 上連續(xù)，且m(EiE i )2i (i 1,2,L ）。令 EE i , 則i1m(E E ) m(UEiU E i )i 1i 1m(U( EiE i ) (因?yàn)?U EiUE iU( Ei E i ) )i 1i 1i 1i 1m( EiE i ),i 1且 E 為閉集（利用互不相交的閉集的并是閉集） 。下證 f ( x) 在 E 上連續(xù)。x0E , i , 使得 x0E i , 由 f ( x) 在 E i 上連續(xù) , 知U 1( x0 ), 當(dāng)x U 1 ( x0 ) I E i 時(shí) , 有 f (x) f ( x0

6、)。又 UE l , E i 為互不相交的l i閉集，所以 x0C U E l , 因此又存在鄰域 U 2 (x0 )C U E l 。令l il iU (x0 ) U 1( x0 ) I U 2 ( x0 ) ，4最新資料推薦則當(dāng) xU ( x0 ) I EU ( x0 ) I E iU 1 (x0 ) I E i 時(shí)，有f ( x)f (x0 )注 1 上述證明方法值得注意。 先考慮簡(jiǎn)單函數(shù)， 然后再往一般函數(shù)過(guò)渡，這在許多場(chǎng)合下是行之有效的方法。注 2魯津定理使我們對(duì)可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)有了進(jìn)一步的了解，它揭露了可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。在應(yīng)用上通過(guò)它常?？梢园延嘘P(guān)的可測(cè)函數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為連續(xù)函數(shù)

7、的問(wèn)題。注 3有的著者用魯津定理所反映的重要性質(zhì)來(lái)定義可測(cè)函數(shù), 事實(shí)上這兩種定義是等價(jià)的 ,因?yàn)轸斀蚨ɡ淼哪婷}也是成立的。再給出魯津定理的另一種形式。定理2設(shè) f ( x) 是 ER1 上 a.e.有限的可測(cè)函數(shù) , 則對(duì)0,存在閉集 FE 及整個(gè) R1 上的連續(xù)函數(shù)g( x) （ F 及 g( x) 依賴于）,使在 F 上 f (x) g( x) ,且 m( EF ), 此外還可要求sup g (x)sup f ( x) 及 infg (x) inf f ( x) 。R1FR1F證 明由 定 理 1,存 在 閉 集 FE , 使 f ( x) 在 F 上 連 續(xù) 且m(E F )。現(xiàn)在的

8、問(wèn)題在于把閉集 F上的連續(xù)函數(shù) 延拓成 整個(gè) R1 上的連續(xù)函數(shù)。因?yàn)?R1 F 為直線上的開集, 故R1FU(ai , bi ),i1所以令5最新資料推薦f (x),xF ,f (ai )f (bi )f (ai ) (xai ), x(ai ,bi ), ai ,bi有限 ,g( x)biaif (ai ),x(ai ,bi ), bi,f (bi ),x(ai ,bi ), ai,則 g(x) 符合要求。 ( 注意各 ( ai ,bi ) 的有限端點(diǎn)屬于 F , 所以這里 f ( ai )和 f (bi ) 是有意義的。 )事實(shí)上 , 由 g( x) 作法 , 當(dāng) xF 時(shí) , 有 g(

9、 x)f ( x) , 并且成立sup g( x)sup f (x) 及 infg( x) inf f ( x) 。R1FR1F下證 g( x) 是 R1 上的連續(xù)函數(shù)。顯然CF （為開區(qū)間之并）中的點(diǎn)都是 g (x) 的連續(xù)點(diǎn) ,下證 F 中的點(diǎn)也是 g( x) 的連續(xù)點(diǎn) 。任取 x0F ,0 , 由 f ( x) 在 F 上連續(xù) , 必有0 , 使得當(dāng)x (x0, x0)F 時(shí) , 有f ( x)f ( x0 )。下面分兩種情況證明g(x) 在 x0 點(diǎn)左連續(xù)。情況 1 ( x0, x0 )F注意到 x0F ，故x0 必是 CF 的某個(gè)構(gòu)成區(qū)間(ai , bi ) 的右端點(diǎn) ,又由于 g(

10、 x) 在 ( ai , bi ) 中是線性函數(shù) , 所以 g( x) 在 x0 點(diǎn)左連續(xù)。6最新資料推薦情況 2 ( x0, x0 )F設(shè) ?, x) F那么當(dāng)?x ( x0, I F ( x0, x0) I F0x x, x0時(shí) , 有g(shù)( x) f ( x),g (x0 )f ( x0 ) 。因此g( x) g( x0 )f ( x)f ( x0 ),（ 1）而 當(dāng)x x, x0 I CF時(shí),必 有CF的 構(gòu) 成 區(qū) 間(ak , bk ) , 使 得?x (a, b )( x, x)。由于a , b x, x F ,由（1）式有kk? 0kk 都屬于? 0g(ak )g( x0 ),g(bk )g( x0 )。因?yàn)?g( x) 的值介于 g( ak ) 與 g(bk ) 之間 , 因此g( x)g(