1、2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),控制工程基礎(chǔ)（第五章）,清華大學(xué),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 5.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 5.3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（Routh判據(jù)、Hurwitz判據(jù)） 5.4 乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist判據(jù)） 5.5 應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5.6 由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5.7 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 5.8 李雅普諾夫穩(wěn)定性方法,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ), 見光盤課件（第五章第一節(jié)）,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件對于 上圖所示控制系統(tǒng)，有,2020/9/

2、27,控制工程基礎(chǔ),撤除擾動，即 按照穩(wěn)定性定義，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)時間趨近于無窮大時，該齊次方程的解趨近于零，即當(dāng) 時，上式成立，以上條件形成系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件之一。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)特征根的實(shí)部，因此對于定常線性系統(tǒng)，若系統(tǒng)所有特征根的實(shí)部均為負(fù)值，則零輸入響應(yīng)最終將衰減到零，這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。反之，若特征根中有一個或多個根具有正實(shí)部時，則零輸入響應(yīng)將隨時間的推移而發(fā)散，這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。由此，可得出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的另一充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部。系統(tǒng)特征方程式的根就是閉環(huán)極點(diǎn)，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件也可說成是閉環(huán)傳遞函

3、數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部，或說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部在s平面的左半面。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),勞斯穩(wěn)定性判據(jù) 這一判據(jù)是基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系而建立的。設(shè)系統(tǒng)特征方程為 式中， 為系統(tǒng)的特征根。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),由根與系數(shù)的關(guān)系可求得,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),從上式可知，要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下兩個條件。 （1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù) (i=0，1，2，n)都不等于零。因?yàn)槿粲幸粋€系數(shù)為零，則必出現(xiàn)實(shí)部為零的特征根或?qū)嵅坑姓胸?fù)的特征根，才能滿足上式；此時系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定（根在虛軸上）或不穩(wěn)定（根的實(shí)部為正）。 （2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符

4、號都相同，才能滿足上式，按照慣例， 一般取正值，上述兩個條件可歸結(jié)為系統(tǒng)穩(wěn)定的一個必要條件，即 0。但這只是一個必要條件, 既使上述條件已滿足，系統(tǒng)仍可能不穩(wěn)定，因?yàn)樗皇浅浞謼l件。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),同時，如果勞斯陣列中第一列所有項(xiàng)均為正號，則系統(tǒng)一定穩(wěn)定。 勞斯陣列為,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),其中系數(shù)根據(jù)下列公式計(jì)算： 系數(shù)的計(jì)算，一直進(jìn)行到其余的值都等于零時為止，用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘的方法，可以計(jì)算c，d, e等各行的系數(shù)，,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),這種過程一直進(jìn)行到第n行被算完為止。系數(shù)的完整陣列呈現(xiàn)為三角形。

5、在展開的陣列中，為了簡化其后的數(shù)值計(jì)算，可用一個正整數(shù)去除或乘某一整個行。這時，并不改變穩(wěn)定性結(jié)論。勞斯判據(jù)還說明：實(shí)部為正的特征根數(shù)，等于勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。 例: 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),解： 首先，由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。其次，排勞斯陣列 由勞斯陣列的第一列看出：第一列中系數(shù)符號全為正值，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例2 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：首先，由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。其次，排勞斯陣列 第一列中系數(shù)

6、改變符號兩次，說明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個正實(shí)部的根，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),對于特征方程階次低（n3）的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可化為如下簡單形式，以便于應(yīng)用。 二階系統(tǒng)特征式為 ，勞斯表為 故二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),三階系統(tǒng)特征式為 ，勞斯表為 故三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例 設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。 解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),特征方程為 根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，可知使系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足 故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為 0K6 見光盤課件（第五章第三節(jié)）,

7、2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例: 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 試應(yīng)用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 首先，由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。 各系數(shù)排成如下的行列式,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),由于 故該系統(tǒng)穩(wěn)定。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),米哈伊洛夫（）定理 米哈伊洛夫定理是證明乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的一個引理，其表述為： 設(shè)n次多項(xiàng)式D（s）有P個零點(diǎn)位于復(fù)平面的右半面，有q個零點(diǎn)在原點(diǎn)上，其余n-P-g個零點(diǎn)位于左半面，則當(dāng)以s=j代入D（s）并令從0連續(xù)增大到時，復(fù)數(shù)D（j）的角增量應(yīng)等于,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),證：（1）設(shè)S1為負(fù)實(shí)根，對于矢量

8、（S-S1）, 當(dāng)S：0j變化時 圖5-4 負(fù)實(shí)根情況,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),圖5-5 具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根情況 因此，（n-p-q）個左根的總角變化量為（n-p-q）/2,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),設(shè)S2、S3為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根， S2=-a+jb (a0,b0) S3=-a-jb 對于矢量（S-S2）和（S-S3）, 當(dāng)S：0j變化時,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),設(shè) Sm為正實(shí)根，對于矢量（S-Sm）, 當(dāng)S：0j變化時 圖5-6 正實(shí)根情況,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),設(shè)Sm+1、Sm+2為具有正實(shí)部的共軛復(fù)根， Sm

9、+1=c+jd (c0,d0) Sm+2=c-jd 對于矢量（S- Sm+1）和（S- Sm+2）, 當(dāng)S：0j變化時 因此， p個左根的總角變化量為p(-/2)。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),另外，原點(diǎn)根不引起角變化量。 綜上， 推論：如果n次多項(xiàng)式D(s）的所有零點(diǎn)都位于復(fù)平面的左半面，則當(dāng)以s=j代入D（s）并命從0連續(xù)增大到時，復(fù)數(shù)D（s）的角連續(xù)增大,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) 設(shè)反饋控制系統(tǒng)前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)分別為 , 則其開環(huán)傳遞函數(shù)為,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),分子為系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式，而分母為系統(tǒng)開環(huán)特征多項(xiàng)式。由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞

10、函數(shù)分母階次大于等于分子階次，故分子分母階次相同，均為n階。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),（1）如果開環(huán)極點(diǎn)均在s左半平面，則根據(jù)米哈伊洛夫定理推論， 這時如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即的所有零點(diǎn)也在左半平面，根據(jù)米哈伊洛夫定理推論， 則,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),（2）如果開環(huán)特征多項(xiàng)式有P個根在s右半平面，q個零點(diǎn)在原點(diǎn)，其余（n-p-q）個根在s左半面，則根據(jù)米哈伊洛夫定理推論， 這時如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即 的所有零點(diǎn)也在左半平面，根據(jù)米哈伊洛夫定理推論，,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),則 或開環(huán)乃氏圖相對（-1，j0）點(diǎn)的角變化量為 ，系統(tǒng)閉環(huán)后就是穩(wěn)定的。也就是說，對于

11、一個穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)而言，當(dāng)從0連續(xù)增大到時，開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的每一個極點(diǎn)使角增量為180；開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處的每一個極點(diǎn)使角增量為90。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),這樣，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，可以從開環(huán)頻率特性的角增量來判斷。 設(shè)開環(huán)特征多項(xiàng)式在右半平面有p個零點(diǎn)，原點(diǎn)處有q個零點(diǎn)，其余（n-p-q）個零點(diǎn)在左半平面，則乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可表述為：對于系統(tǒng)開環(huán)乃氏圖，當(dāng)從0到變化時，其相對（-1，j0）點(diǎn)的角變化量為 時，系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例: 某反饋控制系統(tǒng)如圖5-10所示。試問k為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定。 解： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),2020/9/27,控

12、制工程基礎(chǔ),故p=1,q=0。 當(dāng)K1時，頻率特性為直徑大于1的半圓，其頻率特性如上圖所示，可見 此時系統(tǒng)穩(wěn)定。 當(dāng)0K1時，頻率特性為直徑小于1的半圓，其頻率特性如上圖所示，可見 此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。 見光盤課件（第五章第四節(jié)）,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例9 某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 當(dāng)K為不同值時的頻率特性，如圖所示，試判別其穩(wěn)定性。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),解：因?yàn)閜=0,q=1, 故使系統(tǒng)穩(wěn)定的條件應(yīng)為 顯然，對于K10的頻率特性，滿足上式，系統(tǒng)穩(wěn)定。對于k=40的頻率特性，當(dāng)0變化時， 所以，這時系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的

13、另一表述 令從-增長到0，相應(yīng)得出的乃氏圖是與從0增長到十得出的乃氏圖以實(shí)軸對稱的，例如圖所示的乃氏圖。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),當(dāng)開環(huán)特征式具有零根時，對應(yīng)的乃氏曲線不封閉。為使其封閉，實(shí)用中可將其處理成左根，如下圖所示，其中為非常小的正數(shù)，從090。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),當(dāng)開環(huán)特征式有右根時，乃氏判據(jù)可表述為：如果開環(huán)特征式具有p個右根，對應(yīng)封閉的乃氏曲線逆時鐘包圍（-1，j0）點(diǎn)p圈，則系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。 對于沒有右半平面的極點(diǎn)，乃氏判據(jù)就變?yōu)椋?如果G(j）曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 如果G（j）曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。,20

14、20/9/27,控制工程基礎(chǔ),例： 某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 將 代入，得 乃氏圖如下圖所示。開環(huán)特征式?jīng)]有右根，封閉的乃氏曲線沒有包圍（-1，j0）點(diǎn)，則系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),原點(diǎn)根也可處理成右根，當(dāng)處理成右根時，如下圖所示，其中為非常小的正數(shù)，從18090。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例：某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 將 代入，得 乃氏圖如下圖所示。開環(huán)特征式有一個右根，封閉的乃氏曲線逆時鐘包圍（-1，j0）點(diǎn)1圈，則系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),應(yīng)用逆Nyquist圖的Ny

15、quist穩(wěn)定判據(jù) Nyquist穩(wěn)定判據(jù)也可以采用逆Nyquist圖使用。采用逆Nyquist圖的穩(wěn)定判據(jù)可以從順Nyquist圖的穩(wěn)定判據(jù)推導(dǎo)出來。判據(jù)表述如下：如果s沿D形圍線變化一周時，G(s)H(s)逆時針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的周數(shù)減去G(s)H(s)逆時針方向包圍原點(diǎn)的周數(shù)等于G(s)H(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)目p，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由開環(huán)傳遞函數(shù)得,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),當(dāng)s沿廣義D形圍線變化一周時，逆Nyquist圖逆時針方向包圍(-1,j0) 0周, 減去逆Nyqu

16、ist圖逆時針方向包圍原點(diǎn)0周,等于0。又因?yàn)橛覙O點(diǎn)數(shù)p=o，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),并聯(lián)延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性 如下圖所示，這時系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 顯然，G(s)H(s)由兩項(xiàng)組成，直接做乃氏圖往往感到困難。設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 將此方程寫為 于是就可研究是否包圍（-11- ）的情況，進(jìn)而判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（-11- ）可看成擴(kuò)大的（-1，j0）點(diǎn)，必要時可將（-11- ）簡化。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例：下圖所示為機(jī)床（如鏜床，銑床）的長懸臂梁式主軸的工作情況，由于主軸剛性低，常易產(chǎn)生振動，下面分析其動態(tài)特性。

17、,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),1機(jī)床主軸系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 將主軸簡化為集中質(zhì)量m作用于主軸端部，令 P（t）切削力； y（t）主軸前端刀具處因切削力產(chǎn)生的變形量； c主軸系統(tǒng)的當(dāng)量粘性系數(shù)； 主軸系統(tǒng)的當(dāng)量剛度。 主軸端部的運(yùn)動微分方程為 其傳遞函數(shù)為,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),12切削過程的傳遞函數(shù) 若工件名義進(jìn)給量為 ，由于主軸的變形，實(shí)際進(jìn)給量為u（t），于是 U（s）=Uo（s）-Y（s） 若主軸轉(zhuǎn)速為n，刀具為單齒，則刀具每轉(zhuǎn)一周需要時間 。 刀具在每轉(zhuǎn)動一周中切削的實(shí)際厚度為u（t）-u（t-） 。 令kc為切削阻力系數(shù)（它表示切削力與切削厚度之比），則,2020/9/

18、27,控制工程基礎(chǔ),其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),則 ，即 令 這樣一來就將乃氏判據(jù)中開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)是否包圍（-1，j0）點(diǎn)的問題歸結(jié)為Gm（j）的極坐標(biāo)軌跡是否包圍Gc(j）的極坐標(biāo)軌跡的問題。 下面分別作出Gm（j）和Gc(j）的極坐標(biāo)軌跡。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),1若Gm（j）不包圍Gc(j），即Gm（j）與Gc(j）不相交，如曲線，則系統(tǒng)絕對穩(wěn)定，因此系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的條件是Gm（j）中的最小負(fù)實(shí)部的絕對值 。 無論提高主軸的剛度km，還是減少kc(切削阻力系數(shù)），都可提高穩(wěn)定

19、性，但對提高穩(wěn)定性最有利的是增加阻尼。 2若Gm（j）包圍Gc(j）一部分，即Gm（j）與Gc(j）相交，如曲線，則系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，但在一定條件下也可穩(wěn)定。 如果在工作頻率下，保證避開的 范圍，也就是適當(dāng)選擇系統(tǒng)仍可穩(wěn)定。所以，在此條件下系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：選擇適當(dāng)?shù)闹鬏S轉(zhuǎn)速n(在單刀銑刀時，1/n)，使Gm（j）不包圍點(diǎn)。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),由伯德圖判穩(wěn)定性 如果0型系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下特征方程有P個根在右半平面內(nèi)，并設(shè)開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)大于零，在所有L（）0頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線（）在（ - ）線上正負(fù)穿越之差為p/2次，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 當(dāng)乃氏圖從大于-的第三象限越過負(fù)實(shí)軸到第

20、二象限時，叫負(fù)穿越，而當(dāng)乃奎斯特圖隨增加逆時針從第二象限穿過負(fù)實(shí)軸向第三象限去的時候，稱之為正穿越。而=0時，（0）為-，乃氏圖向第三象限去的時候，稱之為半次正穿越，而向第二象限去的時候，叫半次負(fù)穿越。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),圖5-36（a），已知p0，即開環(huán)無右特征根，在L（）0的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為0，可見系統(tǒng)閉環(huán)后是穩(wěn)定的。 圖5-36（b），已知開環(huán)傳遞函數(shù)中有一個右半平面極點(diǎn)，即P=1，在L（）0的頻率范圍內(nèi)，只有半次正穿越，可見系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 圖5-36（c），已知P2，而在L（）0的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為1-2=-122，系統(tǒng)閉環(huán)后

21、是不穩(wěn)定的。 圖5一36（d），已知p2，而在L（）0的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為2-11=22，故系統(tǒng)閉環(huán)后是穩(wěn)定的。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),采用勞斯判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性 如果系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s左半平面，且和虛軸有一段距離，則系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量。如下圖，向左平移虛軸，令z=s-(-), 即將s=z-代入系統(tǒng)特征式,得到z的方程式，類似采用勞斯判據(jù)，即可求出距離虛軸以右是否有根。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),例： 令z=s-(-1),即s=z-1, 代入系統(tǒng)特征式,得 即 z的多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)無相反符號，且勞斯判據(jù)第一列未變號，可見，系統(tǒng)特征式在s=-1以右沒有根。,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),李雅普諾夫穩(wěn)定性方法 對于現(xiàn)代控制理論涉及的更廣泛類型的系統(tǒng)，通常采用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。,李雅普諾夫(,.) 18571918 俄國數(shù)學(xué)家,2020/9/27,控制工程基礎(chǔ),李雅普諾夫第一方法又稱間接法，它是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李