1、長沙市 2019 屆高三年級統(tǒng)一模擬考試 數(shù)學（文科）參考答案及評分標準 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的.1B7A2C3D4B5A6A= 1 ，【解析】不妨設(shè)點 P 在漸近線 y = x 上，又 P(x0 , x0 ) 在圓 x2 + y2x0= 2 上，所以S= 1 2 2 1 =2 ，故選 A.PF1F228B【解析】 a + b = ab 故選 B 9C(a +b)2，于是 a + b 4 或 a + b 0 （舍）， a = b = 2 時取等，4f (x) 的周期是 6，則 B(- 5 , -2)

2、,C( 7 , -2) ， BP,CP 的中點都是【解析】由題設(shè)知，22f ( x) 圖象的對稱中心，故選 C10DJJG JJJGJJJG JJJGJJJGJJJGJJG JJJG【解析】CA AO = - AC AO ,由數(shù)量積的幾何意義知，AC AO = 32 ，故CA AO = -32 故選D 11C【解析 1】因為 A(1, a)(a 0) 在C 上，所以 a2 = 8 ，解得 a = 2 y = -22 或 a = -22(x - 2),2（舍去），y故直線 AF 的方程為 y = -22(x - 2) ，由 消去 ，得 y 2= 8x,= 4 + 2 = 6 ，x2 - 5x +

3、 4 = 0 ，解得 x1 = 1 ，x2 = 4 ，由拋物線的定義，得 BF=+= 9 故選 CABAFBF所以1= 1 ， x= 4【解析 2】直線 AB 過焦點 F， x x =P = 4 ，又 2x121 24所以AB=AF+BF= x1 + x2 + 4 = 9 ，故填 C12A【解析】函數(shù) g(x) = f (x)2 + (a - 2) f (x) - 2a 有三個零點，解方程 f (x)2 + (a - 2) f (x) - 2a = 0 ，得 f (x) = 2 或 f (x) = -a 由圖象知，方程 f (x) = 2 有一個實根，所以方程 f (x) = -a 有兩個不等

4、實根，則1 -a 2018 成立的最小正整數(shù) n 的值是10 12 分18.（本小題滿分 12 分） 【解】 （）設(shè) AC 的中點為O ，連接 BO ， PO 2 ， PO = 1， AO = BO = CO = 1PA = PB = PC =由題意，得因為在PAC 中， PA = PC ， O 為 AC 的中點，所以 PO AC 2 分 因為在POB 中， PO = 1 ， OB = 1， PB =P2 ，PO OB .PO2 + OB2 = PB2 ，所以 4 分A因為 AC OB = O ， AC,OB 平面 ABC ，OC所 以 PO 平 面 ABC ， 因為 PO 平面 PAC ，所

5、以6 分 平面 ABC B7 分平面 PAC（）三棱錐 P-ABC 的表面積 S = 2 2 + 2 3 ( 2)2 = 2 +3,9 分4由（）知， PO 平面 ABC ，所以三棱錐 P-ABC 的體積為V = 1 S3 PO = 1 1 2 2 1 = 1 .ABC32312 分19. （本小題滿分 12 分）【解】 12 + m400（I）由已知，該校有女生400 人，故=，得 m = 82 分3 分20 + 8560從而 n = 20 + 8 + 12 + 8 = 48 .（II）作出列聯(lián)表如下： 數(shù)學（文科）參考答案第 3 頁 共 6 頁 超過1小時的人數(shù) 不超過1小時的人數(shù) 合計

6、男 20828女 12820合計 32164848(160 - 96)224K =2= 0.685 7 0) .（I）1 分x2x2x若 a 0 ，則 f (x) 0 ， f (x) 在(0, +) 上單調(diào)遞增；2 分數(shù)學（文科）參考答案第 4 頁 共 6 頁 -1-1- 4a若 a 0 ， f (x) 在(0, -1- 1- 4a ) 上單調(diào)遞增；2a2a當 x ( -1-1- 4a , +) ， f (x) 0 ， f (x) 在( -1- 1- 4a , +) 上單調(diào)遞減.2a2a4分 f (x) 在(0, +) 上單調(diào)遞增；綜上可知，當 a 0 時，當 a 0) ，1x2x所以 g(x

7、) 在(0, +) 單調(diào)遞增.7 分1又 g(1) = a -1 0 ， g ( ) = -ln 2 - 4 + a 0 ，2故 g(x) 存在零點 x ( ,11) ，且 g(x) 在區(qū)間 (0, x ) 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 222(x2 , +) 上單調(diào)遞增， x2 即為 g(x) 的極小值點， 故 x2 = x1 .19 分由 g(x ) = 0 知， ln x-+ a = 0，11x21f (x ) = ln x + ax -= ln x + x ( 1 - ln x ) -= (1- x )ln x11所以，11111111x2xx111又 x = x ( 1,1)f (x ) =

8、(1- x ) ln x 0 時， f (x) 在(0, +) 單調(diào)遞增， x1 .因此 x012 分（二）選考題：共 10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.（本小題滿分 10 分）選修 44：坐標系與參數(shù)方程 【解】 （）由題意可得，直線l1 的極坐標方程為 q = a (r R) .2 分3 分4 分5 分(x -1)2 + ( y -1)2 = 1，曲線 M的普通方程為因為 x = r cosq , y = r sinq , x2 + y2 = r 2 ， 所以極坐標方程為 r 2 - 2(cosq + sinq )r +1 = 0 .

9、數(shù)學（文科）參考答案第 5 頁 共 6 頁 （）設(shè) A(r1 ,a ), B(r2 ,a ) ，且 r1 , r2 均為正數(shù)， 將q = a 代入 r2 - 2r cosq - 2r sinq +1 = 0 ， 得 r 2 - 2(cosa + sina )r +1 = 0 ， 6 分 p 時， = 8sin 2( a + p )2- 4 0 ， a 0,當4 4所以 r1 + r2 = 2(cosa + sina ) ， 8 分根據(jù)極坐標的幾何意義， OA ， OB分別是點 A ， B 的極徑.2 sin(a + p ) .4= r + r = 2(cosa + sin a ) = 2從而：

10、 OA + OB12p時， a + p p ,p a 0, 4當4 2， 4故 OA + OB 的取值范圍是(2, 2 2 .23.（本小題滿分 10 分）選修 45：不等式選講【解】 10 分 1，f (1) + f (-1) = 1- a - 1+ a（）1 分 2 分若 a -1 ，則1- a +1+ a 1 ，得2 1，即 a -1 時恒成立；若-1 a 1 ，得 a - 1 ，即-1 a 1，得-2 1，此時不等式無解4 分綜上所述，a 的取值范圍是(-, - 1 ) .5 分2（）由題意知，要使不等式恒成立， 只需 f (x) y +5y - a +.6 分max4min2a當 x (-, a時， f (x) =- 2x+ax， f (x) = a= f (