1、圓第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 1圓的有關(guān)概念 2垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其它們的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) 了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問(wèn)題 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過(guò)程，講授圓的有關(guān)概念利用操作幾何的方法，理解圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱軸通過(guò)復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問(wèn)題（提問(wèn)一、兩個(gè)同學(xué)） 1舉出生活中的圓

2、三、四個(gè) 2你能講出形成圓的方法有多少種？ 老師點(diǎn)評(píng)（口答）：（1）如車(chē)輪、杯口、時(shí)針等（2）圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn)，固定一個(gè)長(zhǎng)度，繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓 二、探索新知 從以上圓的形成過(guò)程，我們可以得出： 在一個(gè)平面內(nèi)，線段oa繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓固定的端點(diǎn)o叫做圓心，線段oa叫做半徑 以點(diǎn)o為圓心的圓，記作“o”，讀作“圓o” 學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心o）的距離有什么規(guī)律？ 問(wèn)題2：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？ 老師提問(wèn)幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié) （1）圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心o）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑r）； （2）到

3、定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上 因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為o，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)o的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形 同時(shí)，我們又把 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段ac，ab； 經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段ab； 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，“以a、c為端點(diǎn)的弧記作”，讀作“圓弧”或“弧ac”大于半圓的?。ㄈ鐖D所示叫做優(yōu)弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示）或叫做劣弧 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們回答下面兩個(gè)問(wèn)題 1圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱軸？ 2你是用什么方

4、法解決上述問(wèn)題的？與同伴進(jìn)行交流 （老師點(diǎn)評(píng)）1圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑，我能找到無(wú)數(shù)多條直徑 3我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱軸問(wèn)題的 因此，我們可以得到：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：如圖，ab是o的一條弦，作直徑cd，使cdab，垂足為m （1）如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你理由 （老師點(diǎn)評(píng)）（1）是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是cd （2）am=bm，即直徑cd平分弦ab，并且平分及 這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條

5、弧 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑cd、弦ab且cdab垂足為m 求證：am=bm，. 分析：要證am=bm，只要證am、bm構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等因此，只要連結(jié)oa、ob或ac、bc即可證明：如圖，連結(jié)oa、ob，則oa=ob在rtoam和rtobm中 rtoamrtobm am=bm 點(diǎn)a和點(diǎn)b關(guān)于cd對(duì)稱 o關(guān)于直徑cd對(duì)稱 當(dāng)圓沿著直線cd對(duì)折時(shí)，點(diǎn)a與點(diǎn)b重合，與重合，與重合 ， 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 （本題的證明作為課后練習(xí)） 例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中，點(diǎn)o是的圓心，其中cd=600m，

6、e為上一點(diǎn)，且oecd，垂足為f，ef=90m，求這段彎路的半徑分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用，解題過(guò)程中使用了列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握 解：如圖，連接oc 設(shè)彎路的半徑為r，則of=（r-90）m oecd cf=cd=600=300（m） 根據(jù)勾股定理，得：oc2=cf2+of2 即r2=3002+（r-90）2 解得r=545 這段彎路的半徑為545m 三、鞏固練習(xí) 教材p86 練習(xí) p88 練習(xí) 四、應(yīng)用拓展例2有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬ab=60m，水面到拱頂距離cd=18m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面寬mn=

7、32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由 分析：要求當(dāng)洪水到來(lái)時(shí)，水面寬mn=32m是否需要采取緊急措施，只要求出de的長(zhǎng)，因此只要求半徑r，然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求r 解：不需要采取緊急措施 設(shè)oa=r，在rtaoc中，ac=30，cd=18 r2=302+（r-18）2 r2=900+r2-36r+324 解得r=34（m） 連接om，設(shè)de=x，在rtmoe中，me=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合設(shè)） de=4 不需采取緊急措施 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1圓的有關(guān)

8、概念； 2圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸 3垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用 六、布置作業(yè) 1教材p94 復(fù)習(xí)鞏固1、2、3 2車(chē)輪為什么是圓的呢？ 3垂徑定理推論的證明4選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 教學(xué)內(nèi)容 1圓心角的概念 2有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 3定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等 教學(xué)目標(biāo) 了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個(gè)量的兩個(gè)相等就可以推出其它兩個(gè)量的相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)

9、值就相等，及其它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用 通過(guò)復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)探索在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)弦也相等及其兩個(gè)推論和它們的應(yīng)用 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下題已知oab，如圖所示，作出繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30、45、60的圖形 老師點(diǎn)評(píng)：繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，o點(diǎn)就是固定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)30，就是旋轉(zhuǎn)角bob=30 二、探索新知如圖所示，aob的頂點(diǎn)在圓心，

10、像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們按下列要求作圖并回答問(wèn)題：如圖所示的o中，分別作相等的圓心角aob和aob將圓心角aob繞圓心o旋轉(zhuǎn)到aob的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ =，ab=ab 理由：半徑oa與oa重合，且aob=aob 半徑ob與ob重合 點(diǎn)a與點(diǎn)a重合，點(diǎn)b與點(diǎn)b重合 與重合，弦ab與弦ab重合 =，ab=ab 因此，在同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等 在等圓中，相等的圓心角是否也有所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等呢？請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在動(dòng)手作一作（學(xué)生活動(dòng)）老師點(diǎn)評(píng)：如圖1，在o和o中，分別作相等的圓心角aob和aob得到如圖2，滾動(dòng)一個(gè)圓，使o

11、與o重合，固定圓心，將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使得oa與oa重合 (1) (2) 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由？ 我能發(fā)現(xiàn)：=，ab=a/b/ 現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說(shuō)明了，這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢化歸思想，化未知為已知，因此，我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在給予說(shuō)明一下 請(qǐng)三位同學(xué)到黑板板書(shū)，老師點(diǎn)評(píng) 例1如圖，在o中，ab、

12、cd是兩條弦，oeab，ofcd，垂足分別為ef （1）如果aob=cod，那么oe與of的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）如果oe=of，那么與的大小有什么關(guān)系？ab與cd的大小有什么關(guān)系？為什么？aob與cod呢？ 分析：（1）要說(shuō)明oe=of，只要在直角三角形aoe和直角三角形cof中說(shuō)明ae=cf，即說(shuō)明ab=cd，因此，只要運(yùn)用前面所講的定理即可（2）oe=of，在rtaoe和rtcof中，又有ao=co是半徑，rtaoertcof，ae=cf，ab=cd，又可運(yùn)用上面的定理得到= 解：（1）如果aob=cod，那么oe=of 理由是：aob=cod ab=cd oeab，ofcd a

13、e=ab，cf=cd ae=cf 又oa=oc rtoaertocf oe=of （2）如果oe=of，那么ab=cd，=，aob=cod 理由是： oa=oc，oe=of rtoaertocf ae=cf 又oeab，ofcd ae=ab，cf=cd ab=2ae，cd=2cf ab=cd =，aob=cod 三、鞏固練習(xí) 教材p89 練習(xí)1 教材p90 練習(xí)2 四、應(yīng)用拓展 例2如圖3和圖4，mn是o的直徑，弦ab、cd相交于mn上的一點(diǎn)p，apm=cpm （1）由以上條件，你認(rèn)為ab和cd大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若交點(diǎn)p在o的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)

14、說(shuō)明理由 (3) (4) 分析：（1）要說(shuō)明ab=cd，只要證明ab、cd所對(duì)的圓心角相等，只要說(shuō)明它們的一半相等 上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的 解：（1）ab=cd 理由：過(guò)o作oe、of分別垂直于ab、cd，垂足分別為e、f apm=cpm 1=2 oe=of 連結(jié)od、ob且ob=od rtofdrtoeb df=be 根據(jù)垂徑定理可得：ab=cd （2）作oeab，ofcd，垂足為e、f apm=cpn且op=op，peo=pfo=90 rtopertopf oe=of 連接oa、ob、oc、od 易證rtobertodf，rtoaertocf 1+2=3+4

15、 ab=cd 五、歸納總結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1圓心角概念 2在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都部分相等，及其它們的應(yīng)用 六、布置作業(yè) 1教材p94-95 復(fù)習(xí)鞏固4、5、6、7、8 2選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 教學(xué)內(nèi)容 1圓周角的概念 2圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弦所對(duì)的圓心角的一半 推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) 1了解圓周角的概念 2理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一

16、半 3理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑 4熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問(wèn)題 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題 2難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理 3關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題 1什么叫圓心角？ 2圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1）我們把頂點(diǎn)在圓心的

17、角叫圓心角 （2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等 剛才講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問(wèn)題 二、探索新知問(wèn)題：如圖所示的o，我們?cè)谏溟T(mén)游戲中，設(shè)e、f是球門(mén)，設(shè)球員們只能在所在的o其它位置射門(mén)，如圖所示的a、b、c點(diǎn)通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像eaf、ebf、ecf這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角 現(xiàn)在通過(guò)圓周角的概念和度量的方法回答下面的問(wèn)題 1一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？

18、 2同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ 3同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ （學(xué)生分組討論）提問(wèn)二、三位同學(xué)代表發(fā)言 老師點(diǎn)評(píng)： 1一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè) 2通過(guò)度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒(méi)有變化的 3通過(guò)度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半 下面，我們通過(guò)邏輯證明來(lái)說(shuō)明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半” （1）設(shè)圓周角abc的一邊bc是o的直徑，如圖所示 aoc是abo的外角 aoc=abo+bao oa=ob abo=bao aoc=abo abc=aoc（2）如圖，圓周角abc的兩邊ab、ac在

19、一條直徑od的兩側(cè)，那么abc=aoc嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說(shuō)明過(guò)程 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)bo交o于d同理aod是abo的外角，cod是boc的外角，那么就有aod=2abo，doc=2cbo，因此aoc=2abc（3）如圖，圓周角abc的兩邊ab、ac在一條直徑od的同側(cè)，那么abc=aoc嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)oa、oc，連結(jié)bo并延長(zhǎng)交o于d，那么aod=2abd，cod=2cbo，而abc=abd-cbo=aod-cod=aoc 現(xiàn)在，我如果在畫(huà)一個(gè)任意的圓周角abc，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的 從（1）、（2）、（3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 進(jìn)一步