1、三角形的角平分線,復習提問,1、角平分線的概念,2、點到直線距離的意義。,一條射線,把一個角,分成兩個相等的角，,這條射線叫做這個角的平分線。,下列兩圖中，能表示直線l1上一點P到直線l2的距離的是（ ）,圖1,PA,下列兩圖中，能表示角的平分線上的一點P到角的邊上的距離的是（ ）,PM的長度,如右圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?,探究1：,A,C,D,B,E,A,O,仔細觀察步驟,尺規(guī)作角的平分線,將AOB對折,在折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,

2、觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結論?,可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點到AOB兩邊的距離,這兩個距離相等.,折一折,探究2：,已知：如圖，OC是的AOB的平分線，點P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是D，E。,求證：PD=PE,證明： PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直的定義）,在PDO和PEO中, PD=PE（全等三角形的對應邊相等）, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO（AAS）,問題探究,A,B,O,D,E,P,C,角平分線的性質1：,角的平分線上的點到角的兩

3、邊的距離相等。,性質應用所具備的條件：,性質的作用：,證明線段相等。,性質的書寫格式：,OP 是 的平分線,PD = PE,（在角的平分線上的點 到這個角的兩邊的距離相等。）,推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。,1. 如圖，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）,練習：,2. 如圖， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）,3. AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,不必再證全

4、等,4.ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求點D到AB的距離是多少？,A,B,C,D,E,5.如圖所示， ABC中，AB=AC，M為BC中點，MDAB于D，MEAC于E。求證：MD=ME。,如圖，由 于點 D ， 于點 E，PD= PE ， 可以得到什么結論 ？,議一議,到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上。,已知：如圖， ， ，垂足分別是 A、B，PD=PE ， 求證：點P在 的角平分線上。,到角的兩邊的距離相等的點 在角的平分線上。,已知：如圖， ， ， 垂足分別是 D、E，PD=PE， 求證：點P在 的角平分線上。,證明：,作射線OP, 點P

5、在 角的平分線上,在 RtPDO 和RtPEO 中，,（ HL）,（全等三角形的對應角相等）,OP = OP （公共邊）,PD = PE （ 已 知 ）,性質 2,性質 2的應用書寫格式：,OP 是 的平分線,PD= PE,（到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上）,性質 1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,性質 2 到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上。,PD = PE,用途：證線段相等,用途：判定一條射線是角平分線,(1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (2). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _),1= 2,DC=DE,到角的兩邊的距離相等的點，在角平分線上。,角平分線上的點到角的兩邊的距離相等,A,N,B,C,P,M,知識應用,1.如圖，ABC的角的平分線BM， CN相交于點P.求證：點P到三邊AB，BC， CA的距離相等.,想一想，點P在A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？,2.直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有: ( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處,3.如圖所示，PBAB，PCAC，且PB=PC，D是AP上一點。求證： BDP= CDP,小 結：,3 角的平分線的性質定理1，定理2是證明角相等，線段相等