1、 泛函分析期末考試試卷（總分100分）一、選擇題（每個3分，共15分）1、設是賦范線性空間，是到中的壓縮映射，則下列哪個式子成立（ ）.A B.C. D.2、設是線性空間，實數(shù)稱為的范數(shù),下列哪個條件不是應滿足的條件：（ ）.A.B.C. D. 3、下列關于度量空間中的點列的說法哪個是錯誤的（ ）.A收斂點列的極限是唯一的 B. 基本點列是收斂點列C基本點列是有界點列 D.收斂點列是有界點列4、巴拿赫空間X的子集空間Y為完備的充要條件是（）.A集X是開的 B.集Y是開的 C.集X是閉的 D.集Y是閉的5、設的共軛空間為，則有的值為（ ）.A. B. C. D. 二、填空題（每個3分，共15分）

2、1、度量空間中的每一個收斂點列都是（ ）。2、任何賦范線性空間的共軛空間是（ ）。3、的共軛空間是（ ）。4、設X按內積空間成為內積空間，則對于X中任意向量x,y成立不等式（ ）當且僅當x與y線性相關時不等式等號成立。5、設T為復希爾伯特空間X上有界線性算子，則T為自伴算子的充要條件是（ ）。三、判斷題（每個3分，共15分）1、設X是線性賦范空間，X中的單位球是列緊集，則X必為有限維。 ( )2、距離空間中的列緊集都是可分的。( )3、若范數(shù)滿足平行四邊形法則，范數(shù)可以誘導內積。( )4、任何一個Hilbert空間都有正交基。( )5、設X是線性賦范空間，T是XX的有界線性算子，若T既是單射又

3、是滿射，則T有逆算子。( )四、計算題（10分）敘述空間的定義，并求上連續(xù)線性泛函全體所成的空間？。五、證明題（第一個5分，其余10分一個，共45分）1、若為Banach 空間上的無界閉算子，證明的定義域至多只能在中稠密。2、設表示閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)全體，對任何，令證明成為度量空間。3、證明按范數(shù)組成的賦范線性空間與按范數(shù)組成的賦范線性空間共軛。4、設是可分Banach 空間，是中的有界集，證明中每個點列含有一個弱*收斂子列。5、設是內積空間，為的子集，證明在中的正交補是中的閉線性子空間。泛函分析期末考試試卷答案一、 選擇題1、A 2、D 3、B 4、D 5、D二、填空題1、柯西點列 2、巴拿赫

4、空間 3、 4、|x|y|5、對于一切xX,是實數(shù)三、判斷題1、對2、對3、錯4、錯5、錯四、計算題答： 對于任意，定義運算 ，按上述加法與數(shù)乘運算成為線性空間按上述定義的范數(shù)構為Banach空間 令，則能被表示為，對任意給定，令則.又因為對于有。由此可得即 反之，對，作上泛函如下：，顯然是上線性泛函，又因為因此，并且有綜上 五、證明題（共50分）1、 證：反證法。若為定義在整個空間上的閉算子， 由于為閉集，而為Banach空間，由閉圖像定理可知，為到的有界閉算子，這與為無界閉算子矛盾，原命題成立。2、證：由定義，對于顯然且如果顯然反之如果因為所以由于為連續(xù)函數(shù)，若使得則存在使得在區(qū)間上，均有這與相矛盾，所以此外，對于即三點不等式成立。因此成為度量空間。 3、證：定義到的映射，任意其中 對任意，=，于是。 反之，對任意定義：對任意，則。因此是從到上的映射。若，則顯然，則若令，則。因此=從而于是是從到的同構映射，在同構的意義下=。 4、證： 設存在設是的可數(shù)稠密子集.考察有界數(shù)列由Weierstrass定理，存在收斂子列同理也有收斂子列.一般地，若已有子列收斂，考察.由于數(shù)列的有界性可找到收斂子列我們用對角線法則,取泛函列,在稠密子集上點點收斂.事實上,由定義,對任意,是收斂的，而是的子列，因此也是收斂的， 在上點點收斂,即 弱*收斂。 5、證：對于則