1、空間幾何體的表面積與體積專題一、選擇題1棱長為2的正四面體的表面積是(C)A. B4 C4 D16解析每個面的面積為：22.正四面體的表面積為：4.2把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的 (B)A2倍 B2倍 C.倍 D.倍解析由題意知球的半徑擴大到原來的倍，則體積VR3，知體積擴大到原來的2倍3如圖是一個長方體截去一個角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為(B)A. B. C. D.解析根據(jù)三視圖的知識及特點，可畫出多面體的形狀，如圖所示這個多面體是由長方體截去一個正三棱錐而得到的，所以所求多面體的體積VV長方體V正三棱錐4462.4某幾何體的三視圖如下，則它的體積是(A)

2、A8 B8 C82 D.解析 由三視圖可知該幾何體是一個邊長為2的正方體內(nèi)部挖去一個底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V2328.5已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為(A)A24 B24 C24 D24據(jù)三視圖可得幾何體為一長方體內(nèi)挖去一個半圓柱，其中長方體的棱長分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長為3，故其體積V23412324.6某品牌香水瓶的三視圖如圖 (單位：cm)，則該幾何體的表面積為(C)A. cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2解析 這個空間幾何體上面是一個四棱柱、中間部分是一個圓柱、下面是一個四棱柱上面四棱柱的表面積為2

3、3312130；中間部分的表面積為21，下面部分的表面積為24416264.故其表面積是94.7已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點，AB，ASCBSC30，則棱錐S-ABC的體積為(C)A3 B2 C. D1解析由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D，設SDx，則DC4x，此時所求棱錐即分割成兩個棱錐S-ABD和C-ABD，在SAD和SBD中，由已知條件可得ADBDx，又因為SC為直徑，所以SBCSAC90，所以DCBDCA60，在BDC中 ，BD(4x)，所以x(4x)，所以x3，ADBD，所以三角形ABD為正三角形，所以VSABD4.二、填空題8

4、三棱錐PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等于_解析依題意有，三棱錐PABC的體積VSABC|PA|223.9一個圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個球的表面積相等，那么這個圓柱的體積與這個球的體積之比為_ 32_解析 設圓柱的底面半徑是r，則該圓柱的母線長是2r，圓柱的側(cè)面積是2r2r4r2，設球的半徑是R，則球的表面積是4R2，根據(jù)已知4R24r2，所以Rr.所以圓柱的體積是r22r2r3，球的體積是r3，所以圓柱的體積和球的體積的比是32.10如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該

5、多面體的體積是_解析由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為，連接頂點和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V11.11如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱當圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_2R2_解析由球的半徑為R，可知球的表面積為4R2.設內(nèi)接圓柱底面半徑為r，高為2h，則h2r2R2.而圓柱的側(cè)面積為2r2h4rh42R2(當且僅當rh時等號成立)，即內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為2R2，此時球的表面積與內(nèi)接圓柱的側(cè)面積之差為2R2.12如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達

6、點A1的最短路線的長為_13_cm.解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為13 (cm)三、解答題13某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐PEFGH，下半部分是長方體ABCDEFGH.圖2、圖3分別是該標識墩的正視圖和俯視圖(1)請畫出該安全標識墩的側(cè)視圖；(2)求該安全標識墩的體積解析(1)側(cè)視圖同正視圖，如圖所示：(2)該安全標識墩的體積為VVPEFGHVABCDEFGH402604022064 000(cm3)14 .一個幾何體的三視圖如圖所示已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，

7、側(cè)視圖是一個長為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解析 (1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為，所以V11.(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，S2(11112)62.15已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解析

8、由題設可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為6，高為h2的等腰三角形，如右圖所示(1)幾何體的體積為：VS矩形h68464.(2)正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高為：h15.左、右側(cè)面的底邊上的高為：h24.故幾何體的側(cè)面面積為：S24024.1.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）. .解：設展開圖的正方形邊長為a，圓柱的底面半徑為r，則2r=a，底面圓的面積是，于是全面積與側(cè)面積的比是，2在棱長為 1 的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體

9、，則截去與8個頂點相關的8個三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（ ）. 2解：正方體的體積為1，過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體截得的三棱錐的體積是，于是8個三棱錐的體積是，剩余部分的體積是， 3一個直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，對角線長分別是6cm和8cm，高是5cm，則這個直棱柱的全面積是 。3答案：148 cm2解：底面菱形中，對角線長分別是6cm 和8cm，所以底面邊長是5cm，側(cè)面面積是455=100cm2，兩個底面面積是48cm2，所以棱柱的全面積是148cm2.4已知兩個母線長相等的圓錐的側(cè)面展開圖恰能拼成一個圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2，則它們的高之比為 。4

10、答案：2：解：設圓柱的母線長為l，因為兩個圓錐的側(cè)面展開圖恰能拼成一個圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2，所以它們的展開圖即扇形的圓心角分別是和，由圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角的計算公式，得，所以它們的高的比是.5已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且長度分別為1cm，2cm，3cm，則此棱錐的體積_5答案：1cm3解：轉(zhuǎn)換一個角度來認識這個三棱錐，即把它的兩條側(cè)棱(如長度為1cm，2cm的兩條)確定的側(cè)面看作底面，另一條側(cè)棱作為高，則此三棱錐的底面面積是1，高為3， 則它的體積是13=1cm3. 6矩形兩鄰邊的長為a、b，當它分別繞邊a、b 旋轉(zhuǎn)一周時, 所形成的幾何體的體積之比為 6答案：解：矩形繞a邊旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積是V1=b2a，矩形繞b邊旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積是V2=a2b，所以兩個幾何體的體積的比是16四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當四面體的體積最大時，求其表面積解析(1)如圖，在四面體ABCD中，設ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中點為P，BC的中