1、第四章(二) 債券價值分析,第三節(jié) 債券的久期與凸性 債券定價定理總結(jié)了債券價格及其變動(主要由于市場利率變動而產(chǎn)生)與一些基本因素之間的關(guān)系,并對這些關(guān)系作了描述,但沒有對債券價格變動這種風(fēng)險進(jìn)行具體的度量，這一節(jié)將對這一問題給出答案。,一、債券的風(fēng)險測度久期（duration）,債券投資風(fēng)險主要是利率風(fēng)險,債券價格的變動主要取決于市場利率的變化。債券利率風(fēng)險的大小是指債券價格對于市場利率變動的敏感程度。 由債券定價理論，影響債券利率風(fēng)險的主要因素有到期期限、息票率及市場利率等，將這三者結(jié)合起來的綜合衡量指標(biāo)就是久期或持續(xù)期（duration）。,1、概念 根據(jù)債券的每次息票利息或本金支付時

2、間的加權(quán)平均來計算的平均到期時間。它的主要用途是說明息票式債券的實際期限。 久期也稱持續(xù)期，有不同的衡量方法，其中Macaulays duration是最簡單、最常用的。 Macaulays duration在假設(shè)債券期限結(jié)構(gòu)扁平即每期折現(xiàn)率相同的情況下，用每次支付的現(xiàn)值為每次支付時間（償還期限）加權(quán)的度量，以D表示, 用以衡量債券價格的利率風(fēng)險程度。,Macaulays Duration,由Frederick Macaulay(1938)提出。 久期為償還期限t（t=1,2,n)的加權(quán)平均，權(quán)重為當(dāng)期現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值。要注意的是,這里的y是每一期的收益率,計算出來D的單位也是期數(shù),要轉(zhuǎn)化成年數(shù)

3、要作相應(yīng)的調(diào)整。,久期將影響債券價格對市場利率變動的敏感性的因素 到期期限、息票的高低以及市場利率的大小結(jié)合起來, 綜合衡量。久期越短，債券對利率的敏感度越低，風(fēng)險越低；久期越高，債券對利率的敏感度越高，風(fēng)險亦越大。,例1： 有A、B兩種債券如下： A債券：4年期，2%的息票率，到期收益率為9%時的價格為77.32元。（100元面值，下同） B債券：4年期，8%的息票率，到期收益率為9%時的價格為96.76元 ,計算兩種債券的風(fēng)險。,因為DADB，這兩種相同到期日的債券，息票低的債券風(fēng)險更大。,由此可見，久期衡量了具有不同現(xiàn)金流動方式的證券的相對承擔(dān)風(fēng)險的成分，同時考慮了現(xiàn)金流的大?。ㄏ⑵甭蕸Q

4、定 ）、支付時間與支付方式，使定理5得以精確化。期間支付越多，久期越低，風(fēng)險越小。 （定理5：對于給定的收益率變動幅度，債券的息票率與價格的波動幅度成反比）,例2： 利率敏感度與久期,債券久期的計算,三只債券雖然期限相同，但債券B的風(fēng)險最低。,例4:久期的計算(1),某債券的面值為100元，票面利率5%，每半年付息一次，現(xiàn)離到期日還有4年，目前市場利率為6%，計算久期。 解:1.計算各期現(xiàn)金流在6%利率下的現(xiàn)值,例:久期的計算(2),2.計算債券在6%利率時的內(nèi)在價值 3.計算債券在6%利率時的久期,久期是衡量債券價格波動幅度的指標(biāo)，可用于度量債券價格相對于到期收益率變化的靈敏度，使定理3得以

5、精確。 （定理3：相同的收益率變化帶來的價格變化，期限長的債券價格變化大） 但，如果債券的息票不同，上述結(jié)論則不正確。而且任何情況下期限與價格靈敏度之間不存在一種簡單的關(guān)系，但久期給出了一個更為接近的度量,久期比到期期限更能準(zhǔn)確衡量利率風(fēng)險. 。,有關(guān)Macaulays Duration的幾個結(jié)論,1. 零息票債券的久期等于其到期期限。 2. 其他因素不變，久期隨息票率的降低而延長。 3. 其他因素不變，到期收益率越低，久期越長。 4. 息票率不變時，久期通常隨到期時間的增加而增加：對平價或溢價債券，久期隨到期期限以遞減的速度增加；對折價債券，在相當(dāng)長的時間內(nèi)，久期隨到期期限以遞減的速度增加，

6、然后減少。然而，所有可交易的債券都可安全得假定久期隨到期時間的增加而增加。,債券的到期日不變時，債券的久期隨著息票利率的降低而延長。 當(dāng)息票利率不變時，債券的久期通常隨債券到期時間的增長而增長。,*有關(guān)Macaulays Duration的幾個結(jié)論(續(xù)),5. 永久債券的久期等于（1+y）/y。 6. 平價債券的久期為,2、久期的應(yīng)用 久期與債券價格波動,通過久期，債券價格與利率近似地以一種線性關(guān)系 聯(lián)系起來，特別是在利率變動很小的情況下。,久期可用來測量債券價格相對于到期收益率（利率）變化的敏感度。 債券價格上漲(下跌)幅度(%)=到期收益率下跌(上漲)幅度(%) 該債券目前的久期 例2中證

7、券C的價格變化率 =-2.7(0.01/1.10)=-2.5% 與實際下降2.6%有誤差。,例3： 利率靈敏度與久期,通過久期，債券價格與利率近似地以一種線性關(guān)系聯(lián)系起來，特別是在利率變動很小的情況下。 當(dāng)變動很大時，價格與利率的關(guān)系不能以久期來衡量。因為，久期本身也會隨著利率的變化而變化，所以它不能完全描述債券價格對利率變動的敏感性，1984年Stanley Diller引進(jìn)凸性的概念。,二、債券的凸性,由債券定價定理1與4可知，債券價格-收益率曲線是一條從左上向右下傾斜，并且下凸的曲線。右圖中ba。 價格對利率反映的不對稱性凸性。,價格,0,收益率,r0,r-,r+,a,b,凸性描述了曲線

8、的彎曲程度。凸性是債券價格方程對收益率的二階導(dǎo)數(shù)。 凸性隨久期的增加而增加。若收益率、久期不變，票面利率越大，凸性越大。,凸性與久期,10年期Y=10%的無息債券價格變化以久期為基礎(chǔ)的估計與由利率導(dǎo)出的價格變化存在差異，越偏離10%差異越大。,久期與凸性的關(guān)系,凸性表示了債券價格與收益率之間的非線性的反向關(guān)系，而久期則反映債券價格與收益率之間的近似線性關(guān)系，當(dāng)然這種近似等式是有局限的，不可能達(dá)到完全的相等。 只有在收益率變化較小時，誤差較小，久期能較好地反映價格的變化趨勢；而當(dāng)收益率變化顯著時，誤差增大，會影響到久期結(jié)果的有效性。 不同債券的凸性程度也會影響到久期結(jié)果應(yīng)用的有效性。,第四節(jié) 債

9、券期限結(jié)構(gòu)理論,研究在其他因素不變的情況下，債券收益率與到期期限之間的關(guān)系。期限結(jié)構(gòu) 即期限不同的債券的利率之間的關(guān)系。 四大理論： 無偏差預(yù)期理論 流動性偏好理論 市場分割理論 優(yōu)先聚集地理論（有限置產(chǎn)理論）,一、基礎(chǔ)知識 1。遠(yuǎn)期利率與即期利率 2。債券的收益率結(jié)構(gòu) 3。期限結(jié)構(gòu)的表示:收益率曲線及其構(gòu)建,1、即期利率與遠(yuǎn)期利率 n年期即期利率(spot interest rate)是指從現(xiàn)在開始持續(xù)n年的計復(fù)利的投資年利率。也就是n年期的零息票債券的到期收益率。（純粹的、中間沒有“支付”的投資） 遠(yuǎn)期利率(forward interest rate)是由當(dāng)前的即期利率隱含的，將來某段時間

10、內(nèi)的投資收益率。,即期利率y與遠(yuǎn)期利率f,現(xiàn)在年年 y1 f1,2 y2 6.7% 1000（1+6%）（1+X%）=1000（1+6.7%)2 先確定其在一年后的價值；再將其折成現(xiàn)值。 設(shè)f，為第二年的貼現(xiàn)率。,用公式表示： 設(shè)ft就是第t年的遠(yuǎn)期利率，P0為債券的現(xiàn)值，Pt為第t期末的終值，則有：,2、債券的收益率結(jié)構(gòu)（yield structure）,不同債券的市場價格結(jié)構(gòu)一般以到期收益率來描述和評判，稱收益率結(jié)構(gòu). 收益率=純粹利率+預(yù)期通脹率+風(fēng)險溢酬 任何債券都有兩項共同的因素，即純粹利率（pure interest rate）和預(yù)期通脹率（expected inflation），

11、風(fēng)險溢酬（risk premium）才是決定債券預(yù)期收益率的唯一因素。,收益率結(jié)構(gòu)（續(xù)）,債券投資的主要風(fēng)險有：利率風(fēng)險、再投資風(fēng)險、流動性風(fēng)險、違約風(fēng)險、贖回風(fēng)險和匯率風(fēng)險等。 分析時一般著重分析某一性質(zhì)的差異所導(dǎo)致的定價不同，而假設(shè)其他性質(zhì)不變。不同違約風(fēng)險的所有債券的收益率構(gòu)成了債券的風(fēng)險結(jié)構(gòu)（risk structure） 。不同到期日的所有債券的收益率構(gòu)成了債券的期限結(jié)構(gòu)（term structure。,債券利率的風(fēng)險結(jié)構(gòu),3、利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)建,利率的期限結(jié)構(gòu)研究在其他因素不變的情況下，債券收益率與到期期限之間的關(guān)系。 利率期限結(jié)構(gòu)一般用零息票國債的收益率曲線（yield curv

12、e）來表示。 零息票國債的到期收益率稱為即期利率(spot rate).,課堂提問,Q:1.為什么不能用公司債券的收益率曲線? 2.為什么不能用全息票國債？ A：1.排除違約風(fēng)險等因素; 2.全息票債券具有再投資風(fēng)險。,利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)建(1),在某一時刻,下述不同期限零息票國債的市場價格 A.計算各期限的即期利率,利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)建(2),利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)建(3),根據(jù)上述即期利率畫出收益率曲線,中國收益率曲線:2004年3月13日,美國收益率曲線:2004年3月12日,美國政府債券利率的期限結(jié)構(gòu),收益率曲線大致有三種形狀，與人們對遠(yuǎn)期利率的預(yù)期有關(guān)。,后面我們將討論收益率曲線為什么會有不同

13、的形狀？,債券市場觀察到的三個經(jīng)驗事實： 1、期限不同的債券的利率為什么在一段時間內(nèi)會一起波動？ 2、收益率曲線為什么通常是向上傾斜的？ 3、當(dāng)短期利率低時，收益率曲線的向上斜度特別陡？,二、期限結(jié)構(gòu)理論,（一）無偏差預(yù)期理論（純預(yù)期理論） （pure market expectation theory） 1、假設(shè)：債券購買人在不同期限的債券之間沒有偏好，期限不同的債券是可以完全替代的。 觀點：遠(yuǎn)期利率等于市場整體對未來短期利率的預(yù)期。 長期債券利率等于人們預(yù)期在長期債券期限內(nèi)將出現(xiàn)的短期利率的平均數(shù)。 因此，期限不同的債券的利率有差異的原因就是，預(yù)測未來的短期利率有不同的值 。,如何替代？

14、假設(shè)一年期債券的即期利率為7%，二年期債券的即期利率為%，預(yù)期下一年這種一年期債券的利率（遠(yuǎn)期利率）為10% 比較下列兩種投資戰(zhàn)略： 滾動投資策略：購買一張一年期債券，然后在一年后期滿時，再購買另一張一年期債券。 1元兩年后的期望值是11.071.10=1.177元 長期投資策略：購買一張二年期債券并持有到期。1元兩年后的終值是11.082=1.1664元,這樣，投資者就會選擇滾動策略，短期債券的價格將上升，收益率下降，直到兩者相等為止。 反過來，預(yù)期遠(yuǎn)期利率低，則投資者就會選擇到期策略，因此兩種策略的收益必然相等。 即： 11.07E= 11.082=1.1664 = 9.01%而不是10%

15、, 換句話說，只有二年期債券的報酬率等于這二年的預(yù)期報酬率的平均數(shù) （%+%）/2=%時， 投資者才會對兩種策略一視同仁。因此，二年期債券的即期利率一定等于%。,2、結(jié)論：利率期限結(jié)構(gòu)完全取決于對未來利率的市場預(yù)期。 預(yù)期利率上升，期限結(jié)構(gòu)呈上升趨勢；預(yù)期利率下降，期限結(jié)構(gòu)呈下降趨勢；預(yù)期利率不變，期限結(jié)構(gòu)呈水平趨勢。 一般地，低利率時期期限結(jié)構(gòu)向上傾，高利率時期期限結(jié)構(gòu)向下傾。 以收益率曲線來表示：,*解釋: 預(yù)期利率將上升，投資者更愿意持有短期債券，采用短期的滾動投資策略，獲取更多的收益。所以長期債券被拋售，長期即期利率上升，大于短期即期利率，收益率曲線上傾。,收益率,待償期,0,正常的收

16、益率曲線,反向的收益率曲線 預(yù)期未來短期利率下降，導(dǎo)致長期債券增持，價格上升，長期即期利率下跌。,水平的收益率曲線。 預(yù)期未來短期利率不變。,收益率,待償期,待償期,收益率,3、預(yù)期假說對債券市場經(jīng)驗事實的解釋: 利率的期限結(jié)構(gòu)為什么在不同的時間發(fā)生變化。（因為預(yù)期） 期限不同的債券利率為什么會一起波動。（由于長期利率與短期利率的平均數(shù)有關(guān)，短期利率上升會提高長期利率，從而導(dǎo)致兩者一起波動。） 收益率曲線為什么通常是向上傾斜的？ 這意味著預(yù)計短期利率在未來通常會上升。而短期利率升降的可能應(yīng)該是一樣的， “預(yù)期假說” 無法對此作出解釋。 流動性偏好理論對此提出了解釋。,（二）流動性偏好理論（li

17、quidity preference theory）,1、觀點： 該理論認(rèn)為投資者對購買短期債券有興趣。原因在于持有較短期債券流動性更好。 相同預(yù)期收益的情況下，投資者肯定選擇滾動策略，偏好流動性，避免價格風(fēng)險；這樣，如果要投資者選擇到期策略購買長期債券就必須提供“流動性溢價”來補(bǔ)償風(fēng)險。 換句話說，只有到期策略的預(yù)期收益率高于滾動策略時，投資者才愿意選擇它。 短期投資者多于長期投資者，故遠(yuǎn)期利率應(yīng)大于預(yù)期的未來年份的即期利率，兩者之差稱為流動性溢酬（liquidity premium）,上例中，一年期的即期利率為7%，二年期的即期利率為8%，第二年的遠(yuǎn)期利率為9.01%。根據(jù)流動性偏好理論，

18、投資者只有在到期策略的預(yù)期收益比滾動策略高時，投資者才會選擇二年期債券持有到期。這意味著投資者對第二年利率的預(yù)期比計算出來的遠(yuǎn)期利率9.01%要低，也許是8.6%。 在第二年預(yù)期利率8.6%的前提下： 滾動策略，1元錢兩年后的將來值是1.162元（11.071.086=1.162）； 到期策略，這個值將是（11.082=1.1664） 兩個值之間的差額0.0044元即為這1元錢投資采用到期策略的風(fēng)險溢價。或稱這1元錢投資有0.41%（9.01%-8.6%）的風(fēng)險報酬率。,一般地 流動性溢價計算： 其中E(y2)為預(yù)期的2年期即期利率，L2為第2年的流動性溢價。,存在流動性風(fēng)險溢價時的收益曲線,

19、到期收益率,待償期,含流動性溢價的收益曲線,不含流動性溢價的收益曲線,期限越長，溢價越大,為什么貸款者愿意支付這種風(fēng)險溢酬？ 首先，頻繁地進(jìn)行融資需要宣傳、管理等大量的費用，而通過發(fā)行長期債券能夠大量減少這種成本。其次，貸款者不愿意在將來以更高的利率進(jìn)行再融資，認(rèn)為短期債券比長期債券更具風(fēng)險。,、流動性偏好理論對期限結(jié)構(gòu)經(jīng)驗事實的解釋,利率期限結(jié)構(gòu)單調(diào)下降表明市場預(yù)期現(xiàn)貨利率將下降；單調(diào)上升表明市場預(yù)期現(xiàn)貨利率既可能上升也可能下降，是否上升或者下降依賴于收益曲線的斜率。 一般來說，曲線越陡，市場預(yù)期現(xiàn)貨利率上漲的可能性越大。 如果粗略地認(rèn)為，市場估計現(xiàn)貨利率上升與市場估計現(xiàn)貨利率下降的可能性是

20、一半對一半，則流動性偏好理論認(rèn)為利率期限結(jié)構(gòu)單調(diào)上升的頻率更大。,（三）市場分割理論（market segmentation theory）,假設(shè)：投資者極度厭惡風(fēng)險、市場無效率（inefficiency）或資金流動受到阻礙（impediments to the flow of funds）。 1、觀點：期限不同的債券市場是完全隔離和分割的，即期限不同的債券不能替代，（投資者只關(guān)心自己偏好的那種期限的債券的收益率）一種債券的預(yù)期收益率對另一期限債券的需求沒有影響，因此即期利率取決于各自市場的供給與需求。 短期投資者：商業(yè)銀行、公司等； 長期投資者：壽險公司、養(yǎng)老基金等。 不同的投資者和借入者受

21、法律、偏好、或?qū)μ囟ǖ狡诘牧?xí)慣的限制，不會離開自己的市場進(jìn)入另一個市場。,市場分割時的收益率曲線,收益率,待償期,D,S,D,S,D,S,、市場分割理論對經(jīng)驗事實的解釋,由于不同期限債券的供求不同，收益率曲線不同。 收益率曲線向上傾斜是因為對短期債券的需求相對高于對長期債券的需求，結(jié)果，短期債券的價格高而利率低。 向下傾斜的收益率曲線表示對長期債券的需求相對較高，于是，它們的收益率就比較低。 平均來講，人們更愿意持有短期債券而不是長期債券，因此收益率曲線通常是向上傾斜的。 缺陷：債券市場是完全分割的，沒有理由認(rèn)為某種期限債券的利率上升，會影響另一種期限的債券利率，因此不能解釋期限不同的債券的利

22、率傾向于一起變動這種經(jīng)驗事實。,小結(jié) (1),利率期限結(jié)構(gòu)大部分由市場對未來利率走勢的預(yù)期決定。 流動性溢酬也許對利率期限結(jié)構(gòu)有所影響，但其影響不甚顯著。 市場的無效率及對資金流動的阻礙將會使債券的價格不能反映其真實利率，而產(chǎn)生短暫的高估或低估，在這種情況下，投資者應(yīng)及時利用這種短暫的價格失衡，以獲取超額收益.,小結(jié) (2),盡管流動性溢酬不顯著，但在實際預(yù)測利率時，我們?nèi)詰?yīng)盡量估計流動性溢酬。 但由于未來預(yù)期利率不能確知，故一般以遠(yuǎn)期利率與未來實際的短期利率差額的平均值作為流動性溢酬的估計值。但兩者差額的變動，因經(jīng)濟(jì)因素的不確定性變動，而呈現(xiàn)相當(dāng)?shù)牟环€(wěn)定，致使方差太大而使均值失去意義，而不能

23、作為流動性溢酬的估計值。,小結(jié) (3),非常陡的收益率曲線一般可以看作是即將面臨利率上升的征兆。 從整體上來看，收益率曲線確實是經(jīng)濟(jì)周期的可靠指示器。因為經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張時，長期利率往往上升，若曲線很陡，下一年衰退的可能性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于收益率曲線下降的形狀時的可能性。,（四）*優(yōu)先聚集地理論（preferred habitat theory）,1、觀點： 長期債券利率等于預(yù)計在長期債券有效期內(nèi)出現(xiàn)的短期利率的平均數(shù)，再加上與那種債券的供求狀況相對應(yīng)的風(fēng)險補(bǔ)貼。 雖然投資者偏好某類期限的債券，但若其他期限類型的債券所提供的流動性（風(fēng)險）溢酬足夠大，他們就會轉(zhuǎn)而投資于溢酬最多的債券。 市場并不是分割的，所有期

24、限的債券都在借貸雙方的考慮之內(nèi)，期限不同的債券的利率是相互聯(lián)系、相互影響的，投資者會選擇那些溢價最多的債券。,2、假設(shè)： 不同期限的債券有替代性。 一種債券的預(yù)期報酬率確能影響期限不同的另一種債券的預(yù)期報酬率。 投資者在債券的不同期限之間有所偏好。 假設(shè)投資者對某種期限的債券比其他期限的債券較為偏好，這樣，就有一個投資者樂于加入的債券市場，即有一個偏好的聚集地，但是，投資者仍然關(guān)心與他們偏好不同的債券的預(yù)期報酬率，當(dāng)其他非偏好期限的債券的預(yù)期報酬率較高到一定程度時（即溢價較高時） ，他們也愿購買。,例如：如果投資者愿意留駐在短期債券市場、而不是長期債券市場，即使短期債券的預(yù)期報酬率較低，投資者也愿意持有。這也意味著，如果投資者要持有長期債券，非得向他們支付正數(shù)金額的風(fēng)險補(bǔ)貼不可，這就修改了“預(yù)期假說”的內(nèi)容。,3、優(yōu)先聚集地理論對期限結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗事實的解釋,（1）期限不同的債券的利率在一段時間內(nèi)會一起波動，因為短期利率上升表明，未來短期利率平均數(shù)會