1、正切、余切函數(shù)圖象和性質(zhì) 反三角函數(shù) 知識要點 1正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 2反三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 3已知三角函數(shù)值求角 目的要求 1類比正、余弦函數(shù)的研究，討論正切函數(shù)與余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)注其不同點. 2從反函數(shù)概念入手，引入反三角函數(shù)定義，并定性討論其圖象和性質(zhì). 3能熟練運用正、余弦函數(shù)性質(zhì)解決問題. 4能用反三角函數(shù)值表示不同范圍內(nèi)的角. 重點難點 1正切函數(shù)圖象與性質(zhì) 2已知三角函數(shù)值求角 內(nèi)容回顧 一、正切函數(shù)與余切函數(shù)圖象 由前面我們正、余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程知，在中學(xué)階段，對一個函數(shù)的認(rèn)識，多是“由圖識性”.因此，可以先作出正、余切函數(shù)的圖象. 作三角函數(shù)圖象的

2、一般方法，有描點法和平移三角函數(shù)線法. 與正、余弦函數(shù)的五點法作圖相類似，我們可以選擇正切函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象上三點及兩條重要的輔導(dǎo)線漸近線，來作正切函數(shù)在區(qū)間上的簡圖，不妨稱之為“三點兩線法”. 若想迅速作出余切函數(shù)y=cotx的圖象，如何選擇“三點”及“兩線”呢？請大家看余切函數(shù)的圖象，不難得到答案. 二、正、余切函數(shù)的性質(zhì) 由圖象可得: y=tanx y=cotx 定義域 值域 R R 單調(diào)性 在上單增(kZ) 在上單減(kZ) 周期性 T= T= 對稱性 10 對稱中心，奇函數(shù)(kZ) 20 對稱軸；無 10 對稱中心，奇函數(shù)(kZ) 20 對稱軸；無 注: 1、由定義域知，y=ta

3、nx與y=cotx圖象都存在無數(shù)多個間斷點（不連續(xù)點）. 2、每個單調(diào)區(qū)間一定是連續(xù)的. 3、由單調(diào)性可解決比較大小問題，但要務(wù)必使兩個自變量在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi). 三、反三角函數(shù)的概念和圖象 四種三角函數(shù)都是由x到y(tǒng)的多值對應(yīng)，要使其有反函數(shù)，必須縮小自變量x的范圍，使之成為由x到y(tǒng)的對應(yīng).從方便的角度而言，這個x的范圍應(yīng)該（1）離原點較近；（2）包含所有的銳角；（3）能取到所有的函數(shù)值；（4）最好是連續(xù)區(qū)間.從這個原則出發(fā)，我們給出如下定義: 1y=sinx, x的反函數(shù)記作y=arcsinx, x-1,1，稱為反正弦函數(shù). y=cosx, x0, 的反函數(shù)記作y=arccosx, x-1,1

4、，稱為反余弦函數(shù). y=tanx，x的反函數(shù)記作y=arctanx, xR，稱為反正切函數(shù). y=cotx，x(0, )的反函數(shù)記作y=arccotx, xR，稱為反余切函數(shù). 2反三角函數(shù)的圖象 由互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系，可作出其圖象. 注:（1）y=arcsinx, x-1,1圖象的兩個端點是 （2）y=arccosx, x-1,1圖象的兩個端點是（1，0）和（-1，）. （3）y=arctanx, xR圖象的兩條漸近線是和. （4）y=arccotx, xR圖象的兩條漸近線是y=0和y=. 四、反三角函數(shù)的性質(zhì)由圖象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctan

5、x y=arccotx 定義域 -1,1 -1,1 R R 值域 0, (0, ) 單調(diào)性 在-1，1上單增 在-1，1上單減 在R上單增 在R上單減 對稱性 10對稱中心（0，0）奇函數(shù) 20對稱軸；無 10對稱中心非奇非偶 20對稱軸；無 10對稱中心（0，0）奇函數(shù) 20對稱軸；無 10對稱中心非奇非偶 20對稱軸；無 周期性 無 無 無 無 另外: 1三角的反三角運算 arcsin(sinx)=x(x) arccos(cosx)=x (x0, ) arctan(tanx)=x(x) arccot(cotx)=x(x(0, ) 2反三角的三角運算 sin(arcsinx)=x (x-1,

6、1) cos(arccosx)=x (x-1,1) tan(arctanx)=x (xR)cot(arccotx)=x (xR) 3x與-x的反三角函數(shù)值關(guān)系 arcsin(-x)=-arcsinx(x-1,1) arccos(-x)=-arccosx (x-1,1) arctan(-x)=-arctanx (xR) arccot(-x)=-arccotx(xR) 4 五、已知三角函數(shù)值求角 1. 若sinx=a (|a|1)，則x=k+(-1)karcsina(kZ) 2. 若cosx=a (|a|1)，則x=2karccosa(kZ) 3. 若tanx=a (aR), 則x=k+arcta

7、na (kZ) 4. 若cotx=a (aR), 則x=k+arccota(kZ) 具體計算和表示時，應(yīng)根據(jù)x的范圍來確定x的個數(shù). 典型例題分析 例1比較大小: (1) (2) 分析:不在余切函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，應(yīng)利用誘導(dǎo)公式設(shè)法將其化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性來比較大小. 解:（1） , 而，由余切函數(shù)在（0，）上的單減性，有 ， （2） . 例2寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)(2)(3)y=|tanx| 分析:(1)若設(shè)，則原函數(shù)可看作是由y=tanu, 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，由于在R上單增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定法則，可解決之.類似地，可解決(2). 解:(1) 上單增，(kZ)

8、此時，(kZ) 解之得 (kZ) 在區(qū)間上單增(kZ) (2) 原函數(shù)由y=cotu, 復(fù)合而成，而在R上單減， 又y=cotu在(kZ)上單減， 此時，(kZ) 解之得 (kZ) 即 (kZ) 在區(qū)間(kZ) 上單增. (3)分析:由y=tanx圖象作翻折可得y=|tanx|的圖象，由圖象即可得其單調(diào)區(qū)間. y=|tanx|的單增區(qū)間是(kZ)，單減區(qū)間是(kZ). 例3求函數(shù)的值域. 分析:考慮到最簡原則，將sec2x化為tan2x+1，這樣去分母，作變形，就可以得到關(guān)于tanx的二次型方程，而tanxR，可考慮用判別式法求值域.有 法一: ， (y-1)tan2x+(1+y)tanx+(

9、y-1)=0 當(dāng)y1時， ， 當(dāng)y=1時，tanx=0R 綜上，所求值域為. 法二:另分析，先對解析式變形“切割化弦” 有.(1) , , . 法三:也可由(1)式 得， 解不等式 ， 亦可得 . 例4設(shè)，它們有相同最小正周期T，且a,b(0,1),若f(1)=g(1)，求f(x),g(x)和T. 分析:先從f(x)與g(x)有共同最小正周期入手，找參數(shù)a,b關(guān)系. 解: ， a=2b, f(1)=g(1), 即 , 或， 或 又b(0,1), . ,T=12. 例5若, cosx+tsinx=t, 求t取值范圍. 分析:先將t表示出來，觀察到此式右端與半角正切的有理公式很相像，能否轉(zhuǎn)化？ 又， ， ，即. 例6求值: (1)(2) (3) (4)arctan2+arctan3 解:(1)設(shè)，則， 原式. (2)設(shè)， ， ， 原式 (3)設(shè)， ， ， ， 原式值不存在. (4)設(shè)arct