1、.奧數(shù)行程問(wèn)題一、 多人行程的要點(diǎn)及解題技巧行程問(wèn)題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個(gè)模塊， 在小升初考試和各大奧數(shù)杯賽中都能見(jiàn)到行程問(wèn)題的身影。行程問(wèn)題中包括：火車過(guò)橋、流水行船、 沿途數(shù)車、 獵狗追兔、 環(huán)形行程、 多人行程等等。每一類問(wèn)題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不同，但是，行程問(wèn)題無(wú)論怎么變化，都離不開(kāi) “三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系 ”：這三個(gè)量是： 路程 (s) 、速度 (v) 、時(shí)間 (t)三個(gè)關(guān)系：1.簡(jiǎn)單行程 ：路程 = 速度 時(shí)間2. 相遇問(wèn)題： 路程和 = 速度和 時(shí)間3. 追擊問(wèn)題： 路程差 = 速度差 時(shí)間牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問(wèn)題還是有很多

2、方法可循的。如 “多人行程問(wèn)題 ”，實(shí)際最常見(jiàn)的是“三人行程 ”例：有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40 米，乙每分鐘走38 米，丙每分鐘走36 米。在途中，甲和乙相遇后3 分鐘和丙相遇。問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？分析：這個(gè)三人行程的問(wèn)題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中.所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)“3分鐘 ”的時(shí)間。第一個(gè)相遇：在3 分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為（40+36 ）3=228 （米）第一個(gè)追擊： 這 228 米是由于在開(kāi)始到甲、乙相遇的時(shí)間里， 乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過(guò)程，可求出甲、乙相

3、遇的時(shí)間為 228（ 38-36 ）=114 （分鐘）第二個(gè)相遇：在114 分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長(zhǎng)為（40+38 ） 114=8892 （米）我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問(wèn)題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使解題思路更加清晰。總之，行程問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是鍛煉思維的好工具。只要理解好 “三個(gè)量 ”之間的 “三個(gè)關(guān)系 ”，解決行程問(wèn)題并非難事！二、奧數(shù)行程：追及問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧1 、多人相遇追及問(wèn)題的概念及公式多人相遇追及問(wèn)題，即在同一直線上 ，3 個(gè)或 3 個(gè)以上的對(duì)象之間的相遇追及問(wèn)題。所有行程問(wèn)題都是圍繞 這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問(wèn)題和

4、追及問(wèn)題的本質(zhì)也是這三個(gè)量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解.2 、多次相遇追及 的解 思路所有行程 都是 一條基本關(guān)系式展開(kāi)的， 多人相遇與追及 然 復(fù) ，但只要抓住 個(gè)公式，逐步表征 目中所涉及的數(shù)量， 即可迎刃而解多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出 ：第 1 次相遇，共走 1 個(gè)全程；第 2 次相遇，共走 3 個(gè)全程；第 3 次相遇，共走 5 個(gè)全程；，；第 N 次相遇，共走 2N-1 個(gè)全程；注意：除了第 1 次，剩下的次與次之 都是2 個(gè)全程。即甲第 1次如果走了 N 米，以后

5、每次都走 2N 米。2. 同地同向出 ：第 1 次相遇，共走2 個(gè)全程；第 2次相遇，共走4 個(gè)全程；第 3次相遇，共走6 個(gè)全程；， ；第 N 次相遇，共走2N 個(gè)全程；3、多人多次相遇追及的解 關(guān) 多次相遇追及的解 關(guān) 幾個(gè)全程多人相遇追及的解 關(guān) 路程差.三、奧數(shù)行程：二次相遇的要點(diǎn)及解題技巧1 、概念：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道 上作背向運(yùn)動(dòng) ，隨著時(shí)間的發(fā)展，必然面對(duì)面地相遇，這類問(wèn)題叫做相遇問(wèn)題。2、特點(diǎn)：它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問(wèn)題，一般是指相遇問(wèn)題。3、類型：相遇問(wèn)題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時(shí)間，求速度。4、三者的基

6、本關(guān)系及公式：它們的基本關(guān)系式如下：總路程 = （甲速 + 乙速） 相遇時(shí)間相遇時(shí)間 = 總路程 （甲速 + 乙速）另一個(gè)速度 = 甲乙速度和 - 已知的一個(gè)速度四、奧數(shù)行程：火車過(guò)橋的要點(diǎn)及解題技巧1 、什么是過(guò)橋問(wèn)題？火車過(guò)橋問(wèn)題是行程問(wèn)題的一種，也有路程、速度與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)還涉及車長(zhǎng)、橋長(zhǎng)等問(wèn)題?；緮?shù)量關(guān)系是火車速度時(shí)間 = 車長(zhǎng) + 橋長(zhǎng).2 、關(guān)于火車過(guò)橋問(wèn)題的三種題型：（ 1）基本題型：這類問(wèn)題需要注意兩點(diǎn)：火車車長(zhǎng)記入總路程；重點(diǎn)是車尾：火車與人擦肩而過(guò)，即車尾離人而去。如：火車通過(guò)一條長(zhǎng) 1140 米的橋梁用了 50 秒，火車穿過(guò) 1980米的隧道用了80 秒，求

7、這列火車的速度和車長(zhǎng)。（過(guò)橋問(wèn)題）一列火車通過(guò) 800 米的橋需 55 秒，通過(guò) 500 米的隧道需 40 秒。問(wèn)該列車與另一列長(zhǎng) 384 、每秒鐘行 18 米的列車迎面錯(cuò)車需要多少秒鐘？（火車相遇）（ 2）錯(cuò)車或者超車：看哪輛車經(jīng)過(guò)，路程和或差就是哪輛車的車長(zhǎng)如：快、慢兩列火車相向而行，快車的車長(zhǎng)是50 米，慢車的車長(zhǎng)是 80 米，快車的速度是慢車的 2 倍，如果坐在慢車的人見(jiàn)快車駛過(guò)窗口的時(shí)間是 5 秒，那么，坐在快車的人見(jiàn)慢車駛過(guò)窗口的時(shí)間是多少？（ 3）綜合題：用車長(zhǎng)求出速度；雖然不知道總路程，但是可以求出某兩個(gè)時(shí)刻間兩人或車之間的路程關(guān)系如：鐵路旁有一條小路， 一列長(zhǎng)為 110 米的

8、火車以每小時(shí) 30 千米的速度向南駛?cè)ィ?8 點(diǎn)時(shí)追上向南行走的一名軍人，15 秒后離他而去，8 點(diǎn) 6 分迎面遇到一個(gè)向北走的農(nóng)民，12 秒后離開(kāi)這個(gè)農(nóng)民。問(wèn)軍人與農(nóng)民何時(shí)相遇？五、奧數(shù)行程：流水行船的要點(diǎn)及解題技巧1 、什么叫流水行船問(wèn)題.船在水中航行時(shí)，除了自身的速度外，還受到水流的影響，在這種情況下計(jì)算船只的航行速度、時(shí)間和行程，研究水流速度與船只自身速度的相互作用問(wèn)題，叫作流水行船問(wèn)題。2 、流水行船問(wèn)題中有哪三個(gè)基本量？流水行船問(wèn)題是行程問(wèn)題中的一種，因此行程問(wèn)題中的速度、時(shí)間、路程三個(gè)基本量之間的關(guān)系在這里也當(dāng)然適用3 、流水行船問(wèn)題中的三個(gè)基本量之間有何關(guān)系？流水行船問(wèn)題還有以

9、下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?= 船速 + 水速，（ 1）逆水速度 = 船速 - 水速 .（2）這里，船速是指船本身的速度， 也就是在靜水中單位時(shí)間里所走過(guò)的路程 . 水速，是指水在單位時(shí)間里流過(guò)的路程 . 順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時(shí)和逆流航行時(shí)船在單位時(shí)間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算的關(guān)系，由公式（l）可以得到：水速 = 順?biāo)俣?- 船速，船速 = 順?biāo)俣?- 水速。由公式（ 2）可以得到：水速 = 船速 - 逆水速度，船速 = 逆水速度 + 水速。這就是說(shuō)， 只要知道了船在靜水中的速度， 船的實(shí)際速度和水速這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)量。另外，已知船的逆水速度和順?biāo)?/p>

10、速度，根據(jù)公式（ 1）和公式（ 2），.相加和相減就可以得到：船速 = （順?biāo)俣?+ 逆水速度） 2，水速 = （順?biāo)俣?-逆水速度） 2。六、奧數(shù)行程：環(huán)形跑道的要點(diǎn)及解題技巧1 、什么是環(huán)形跑道問(wèn)題？環(huán)形跑道問(wèn)題特殊場(chǎng)地行程問(wèn)題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決多人多次相遇與追擊問(wèn)題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。2 、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和 = 相遇時(shí)間 速度和路程差 = 追及時(shí)間 速度差3 、解環(huán)形跑道問(wèn)題的一般方法：環(huán)形跑道問(wèn)題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次

11、；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵。.同向：路程差相對(duì) ( 反向 ) ：路程和.環(huán)線型同一出發(fā)點(diǎn)直徑兩端nSnS+0.5 SnSnS-0.5 S七、奧數(shù)行程：鐘面行程問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧1 、什么是鐘面行程問(wèn)題？鐘面行程問(wèn)題是研究鐘面上的時(shí)針和分針關(guān)系的問(wèn)題， 常見(jiàn)的有兩種： 研究時(shí)針、 分針成一定角度的問(wèn)題， 包括重合、 成一條直線、成直角或成一定角度；研究有關(guān)時(shí)間誤差的問(wèn)題在鐘面上每針都沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)， 但因速度不同總是分針追趕時(shí)針，或是分針超越時(shí)針的局面，因此常見(jiàn)的鐘面問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解2 、鐘面問(wèn)題有哪幾種類型？第一類是追及問(wèn)題 （注

12、意時(shí)針?lè)轴橁P(guān)系的時(shí)候往往有兩種情況） ；第二類是相遇問(wèn)題（時(shí)針?lè)轴樣肋h(yuǎn)不會(huì)是相遇的關(guān)系，但是當(dāng)時(shí)針?lè)轴樑c某一刻度夾角相等時(shí)，可以求出路程和）；第三種就是走不準(zhǔn)問(wèn)題，這一類問(wèn)題中最關(guān)鍵的一點(diǎn)： 找到表與現(xiàn)實(shí)時(shí)間的比例關(guān)系。3 、鐘面問(wèn)題有哪些關(guān)鍵問(wèn)題？確定分針與時(shí)針的初始位置；.確定分針與時(shí)針的路程差；4 、解答鐘面問(wèn)題有哪些基本方法？分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60 小格，每小格我們稱為1 分格。分針每小時(shí)走60 分格，即一周；而時(shí)針只走5 分格，故分針每分鐘走1 分格，時(shí)針每分鐘走1 12 分格。度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360 ，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60 度，即 6，時(shí)針

13、每分鐘轉(zhuǎn) 360/12*60 度，即 1/2 度。八、奧數(shù)行程：走走停停的要點(diǎn)及解題技巧1 、行程問(wèn)題里走走停停的題目應(yīng)該怎么做1. 畫(huà)出速度和路程的圖。.2. 要學(xué)會(huì)讀圖。3. 每 一 個(gè) 加速 減 速 、 勻 速 要 分 清 楚 ， 這 有 利 于 你 的 解 題 思路。4. 要注意每一個(gè)行程之間的聯(lián)系。2 、學(xué)好行程問(wèn)題的要訣行程問(wèn)題可以說(shuō)是難度最大的奧數(shù)專題。類型多：行程分類細(xì)， 變化多， 工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個(gè)類型重點(diǎn)不一，因此沒(méi)有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可以抓題目難：理解題目、動(dòng)態(tài)演繹推理靜態(tài)知識(shí)容易學(xué)，動(dòng)態(tài)分析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力跨度大： 從三年級(jí)到六年級(jí)都要

14、學(xué)行程四年的跨度， 需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來(lái)加深理解、夯實(shí)基礎(chǔ)那么想要學(xué)好行程問(wèn)題，需要掌握哪些要訣呢？要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是 學(xué)透 基本公式要訣二：無(wú)規(guī)律的題目有 攻略 ，一畫(huà)（畫(huà)圖法）二抓（比例法、方程法）競(jìng)賽考試中的行程題涉及到很多中數(shù)學(xué)方法和思想（比如： 假設(shè)法、比例、方程）等的熟練運(yùn)用，而這些方法和思想，都是小學(xué)奧數(shù)中最為經(jīng)典并能考察孩子思維的專項(xiàng)。九、奧數(shù)行程：發(fā)車問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧1 、發(fā)車問(wèn)題的基本解題思路.空間理解稍顯困難，證明過(guò)程對(duì)快速解題沒(méi)有幫助。一旦掌握了3個(gè)基本公式，一般問(wèn)題都可以迎刃而解。在班車?yán)?。即柳卡?wèn)題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間 -

15、距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。如果不畫(huà)圖， 單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易。2 、對(duì)“發(fā)車問(wèn)題”的化歸與優(yōu)化“發(fā)車”是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。解決“發(fā)車問(wèn)題”需要一定的策略和技巧。本文重點(diǎn)解決這樣兩個(gè)問(wèn)題：一是在探索過(guò)程中，如何揭示“發(fā)車問(wèn)題”的實(shí)質(zhì)？二是在建模的過(guò)程中，如何選擇最簡(jiǎn)明、最嚴(yán)謹(jǐn)和最易于學(xué)生理解并接受的方法或情景？為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車問(wèn)題”進(jìn)行一般化處理：某人以勻速行走在一條公交車線路上，線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站均每隔相等的時(shí)間發(fā)一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a 分鐘駛過(guò)一輛公交車，而從迎面每隔b分鐘就有一輛公交車駛來(lái)。問(wèn)：公交車站每隔多少時(shí)間發(fā)一輛

16、車？（假如公交車的速度不變，而且中間站停車的時(shí)間也忽略不計(jì)。）（ 1）把“發(fā)車問(wèn)題”化歸為“和差問(wèn)題”因?yàn)檐囌久扛粝嗟鹊臅r(shí)間發(fā)一次車，所以同向的、前后的兩輛公交車間的距離相等。這個(gè)相等的距離也是公交車在發(fā)車間隔時(shí)間內(nèi)行駛的路程。我們把這個(gè)相等的距離假設(shè)為“1”。根據(jù)“同向追及”，我們知道：公交車與行人a 分鐘所走的路程差是 1，即公交車比行人每分鐘多走1/a ，1/a 就是公交車與行人的速度差。.根據(jù)“相向相遇”，我們知道：公交車與行人b 分鐘所走的路程和是 1，即公交車與行人每分鐘一共走1/b ， 1/b 就是公交車和行人的速度和。這樣，我們把“發(fā)車問(wèn)題”化歸成了“和差問(wèn)題”。根據(jù)“和差問(wèn)題

17、”的解法：大數(shù)= （和 + 差） 2，小數(shù) = （和 -差） 2，可以很容易地求出公交車的速度是（1/a+1/b ） 2。又因?yàn)楣卉囋谶@個(gè)“間隔相等的時(shí)間”內(nèi)行駛的路程是1，所以再用“路程速度= 時(shí)間”，我 們 可 以 求 出 問(wèn) 題 的答 案 ， 即 公 交 車 站 發(fā) 車 的 間 隔 時(shí) 間 是1 【（ 1/a+1/b ） 2】=2 （ 1/a+1/b）。（ 2）把“發(fā)車問(wèn)題”優(yōu)化為“往返問(wèn)題”如果這個(gè)行人在起點(diǎn)站停留m 分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā)n 輛車，那么我們就可以求出車站發(fā)車的間隔時(shí)間是m n 分鐘。但是，如果行人在這段時(shí)間內(nèi)做個(gè)“往返運(yùn)動(dòng)”也未嘗不可，那么他的“往返”決不會(huì)影響答案的

18、準(zhǔn)確性。因?yàn)閺钠瘘c(diǎn)站走到終點(diǎn)站， 行人用的時(shí)間不一定被 a 和 b 都整除，所以他見(jiàn)到的公交車輛數(shù)也不一定是整數(shù)。故此，我們不讓他從起點(diǎn)站走到終點(diǎn)站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢？或者說(shuō)讓他走多長(zhǎng)時(shí)間再立即返回呢？取 a 和 b 的公倍數(shù)（如果是具體的數(shù)據(jù)，最好取最小公倍數(shù)），我們這里取 ab 。假如剛剛有一輛公交車在起點(diǎn)站發(fā)出，我們讓行人從起點(diǎn)站開(kāi)始行走，先走 ab 分鐘，然后馬上返回；這時(shí)恰好是從行人背后駛過(guò)第 b 輛車。當(dāng)行人再用 ab 分鐘回到起點(diǎn)站時(shí)，恰好又是從迎面.駛來(lái)第 a 輛車。也就是說(shuō)行人返回起點(diǎn)站時(shí)第（ a+b ）輛公交車正好從車站開(kāi)出，即起點(diǎn)站2ab 分鐘開(kāi)出了（ a

19、+b ）輛公交車。這樣，就相當(dāng)于在2ab 分鐘的時(shí)間內(nèi)，行人在起點(diǎn)站原地不動(dòng)看見(jiàn)車站發(fā)出了（a+b ）輛車。于是我們求出車站發(fā)車的間隔時(shí)間也是2ab （ a+b ） =2 （ 1/a+1/b）。這樣的往返假設(shè)也許更符合“發(fā)車問(wèn)題”的情景，更簡(jiǎn)明、更嚴(yán)謹(jǐn)，也更易于學(xué)生理解和接受。如果用具體的時(shí)間代入，則會(huì)更加形象，更便于說(shuō)明問(wèn)題。十、奧數(shù)行程：電梯問(wèn)題的要點(diǎn)及解題技巧1 、自動(dòng)扶梯的速度有哪兩條關(guān)系式？與流水行船問(wèn)題類似的有自動(dòng)扶梯上行走的問(wèn)題，與行船問(wèn)題類似的，自動(dòng)扶梯的速度有以下兩條關(guān)系式：2 、自動(dòng)扶梯上的行走速度有哪兩種度量？與流水行船不同的是，自動(dòng)扶梯上的行走速度有兩種度量，一種是 單位時(shí)間運(yùn)動(dòng)了多少米 ，一種是 單位時(shí)間走了多少級(jí)臺(tái)階 ，這兩種速度看似形同，實(shí)則不等，拿流水行程問(wèn)題作比較， 單位時(shí)間運(yùn)動(dòng)了多少米 對(duì)應(yīng)的是流水行程問(wèn)題中的 船只順 ( 逆 )水速度 ，而 單位時(shí)間走了多少級(jí)臺(tái)階 對(duì)應(yīng)的是 船只靜水速度 ，一般奧數(shù)題目涉及自動(dòng)扶梯的問(wèn)題中更多的只出現(xiàn)后一種速度， 即 單位時(shí)間走了多少級(jí)臺(tái)階 ，.所以處理數(shù)量關(guān)系的時(shí)候要非常小心，理清了各種數(shù)量關(guān)系，自動(dòng)扶梯上的行程問(wèn)題會(huì)變得非常簡(jiǎn)單3 、電梯問(wèn)題需要注意哪兩點(diǎn)問(wèn)題？電梯問(wèn)題其實(shí)是復(fù)雜行程問(wèn)題中的一類。有兩點(diǎn)需要注意，一是“總行程電梯可見(jiàn)部分級(jí)數(shù)電梯運(yùn)行級(jí)數(shù)”，二