1、一元一次不等式組解題技巧一、重點(diǎn)難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：理解一元一次不等式組的概念及解集的概念。 難點(diǎn)：一元一次不等式組的解集含義的理解及一元一次不等式組的幾個(gè)基本類型解集的確定。 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)： 1、幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。但這“幾個(gè)一元一次不等式”必須含有同一個(gè)未知數(shù)，否則就不是一元一次不等式組了。 2、前面學(xué)習(xí)過的二元一次方程組是由二個(gè)一次方程聯(lián)立而成，在解方程組時(shí)，兩個(gè)方程不是獨(dú)立存在的（代入法和加減法本身就說明了這點(diǎn)）；而一元一次不等式組中幾個(gè)不等式卻是獨(dú)立的，而且組成不等式組的不等式的個(gè)數(shù)可以是三個(gè)或多個(gè)。（課本上主要學(xué)習(xí)由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組

2、）。 3、在不等式組中，幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的一元一次不等式組的解集。（注意借助于數(shù)軸找公共解） 4、一元一次不等式組的基本類型（以兩個(gè)不等式組成的不等式組為例） 類型（設(shè)ab）不等式組的解集 數(shù)軸表示 1） （同大型，同大取大）xa 2） （同小型，同小取?。?xb 3） （一大一小型，小大之間） bx （1）分別解不等式組的每 解不等式(2)得x4 一個(gè)不等式 （2）求組的解集 （借助數(shù)軸找公共部分） （利用數(shù)軸確定不等式組的解集） 原不等式組的解集為 -1, 解不等式(2)得x1, 解不等式(3)得x2, 在數(shù)軸上表示出各個(gè)解為： 原不等式組解集為-1-1,

3、 解不等式(2), |x|5, -5x5, 將(3)(4)解在數(shù)軸上表示出來如圖， 原不等式組解集為-14x-5得：x3, 1、先求出不等式組 解不等式 1得x2, 的解集。 2、在解集中找出它 所要求的特殊解， 原不等式組解集為x2, 正整數(shù)解。 這個(gè)不等式組的正整數(shù)解1、2。 例5 m為何整數(shù)時(shí)，方程組 的解是非負(fù)數(shù)？ 分析：本題綜合性較強(qiáng)，注意審題，理解方程組解為非負(fù)數(shù)概念，即 。先解方程組用m的代數(shù)式表示x, y, 再運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”，依據(jù)方程組的解集為非負(fù)數(shù)的條件列出不等式組尋求m的取值范圍，最后切勿忘記確定m的整數(shù)值。 解：解方程組 得 方程組 的解是非負(fù)數(shù)， 即 解不等式組 此不

4、等式組解集為 m , 又 m為整數(shù)， m=3或m=4。 例6解不等式 0. 分析：由“ ”這部分可看成二個(gè)數(shù)的“商”此題轉(zhuǎn)化為求商為負(fù)數(shù)的問題。兩個(gè)數(shù)的商為負(fù)數(shù)這兩個(gè)數(shù)異號(hào)，進(jìn)行分類討論，可有兩種情況。(1) 或(2) 因此，本題可轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)不等式組。 解： 0, (1) 或 (2) 由(1) 無解， 由(2) - x , 原不等式的解為- x . 例7.解不等式-33x-15. 解法（1）:原不等式相當(dāng)于不等式組 解不等式組得- x2， 原不等式解集為- x2. 解法（2）:將原不等式的兩邊和中間都加上1，得-23x6, 將這個(gè)不等式的兩邊和中間都除以3得， - x2, 原不等式解集為-

5、x2. 例8.x取哪些整數(shù)時(shí)，代數(shù)式 與代數(shù)式 的差不小于6而小于8。 分析：(1)“不小于6”即6, (2) 由題意轉(zhuǎn)化成不等式問題解決， 解：由題意可得，6 - - , 原不等式組解集為- x6, - x6的整數(shù)解為x=3, 2, 1, 0, 4, 5, 6. 當(dāng)x取3，2，1，0，4，5，6時(shí)兩個(gè)代數(shù)式差不小于6而小于8。 例9.有一個(gè)兩位數(shù)，它十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小2，如果這個(gè)兩位數(shù)大于20并且小于40，求這個(gè)兩位數(shù)。 分析：這題是一個(gè)數(shù)字應(yīng)用題，題目中既含有相等關(guān)系，又含有不等關(guān)系，需運(yùn)用不等式的知識(shí)來解決。題目中有兩個(gè)主要未知數(shù)-十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)；一個(gè)相等關(guān)系：個(gè)位上的數(shù)

6、=十位上的數(shù)+2,一個(gè)不等關(guān)系：20原兩位數(shù)40。 解法（1）:設(shè)十位上的數(shù)為x, 則個(gè)位上的數(shù)為(x+2), 原兩位數(shù)為10x+(x+2), 由題意可得：2010x+(x+2)40, 解這個(gè)不等式得，1 x3 , x為正整數(shù)， 1 x3 的整數(shù)為x=2或x=3， 當(dāng)x=2時(shí)， 10x+(x+2)=24, 當(dāng)x=3時(shí)， 10x+(x+2)=35, 答：這個(gè)兩位數(shù)為24或35。 解法（2）:設(shè)十位上的數(shù)為x, 個(gè)位上的數(shù)為y, 則兩位數(shù)為10x+y, 由題意可得 （這是由一個(gè)方程和一個(gè)不等式構(gòu)成的整體，既不是方程組也不是不等式組，通常叫做“混合組”）。 將(1)代入(2)得，2011x+240,

7、 解不等式得：1 x3 , x為正整數(shù)，1 x3 的整數(shù)為x=2或x=3, 當(dāng)x=2時(shí)，y=4， 10x+y=24, 當(dāng)x=3時(shí)，y=5, 10x+y=35. 答：這個(gè)兩位數(shù)為24或35。 解法（3）:可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個(gè)兩位數(shù)大于20且小于40，所以它十位上的數(shù)只能是2或3。當(dāng)十位數(shù)為2時(shí)，個(gè)位數(shù)為4，當(dāng)十位數(shù)為3時(shí)，個(gè)位數(shù)為5，所以原兩位數(shù)分別為24或35。 例10.解下列不等式： (1)| |4; (2) 0. （1）分析：這個(gè)不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法來解。但由絕對(duì)值的知識(shí)|x|0)可知-axa, (a0)則xa或x-a. 解：|

8、 |4, -4 4, 由絕對(duì)值的定義可轉(zhuǎn)化為： 即 解不等式(1)，去分母：3x-1-8, 解不等式(2)去分母：3x-18, 移項(xiàng)：3x-8+1, 移項(xiàng)：3x8+1, 合并同類項(xiàng)：3x-7 合并同類項(xiàng)：3x9, 系數(shù)化為1， x- , 系數(shù)化為1： x3, ， 原不等式的解集為- x3. （2）分析：不等式的左邊為 是兩個(gè)一次式的比的形式（也是以后要講的分式形式），右邊是零。它可以理解成“當(dāng)x取什么值時(shí)，兩個(gè)一次式的商是負(fù)數(shù)？”由除法的符號(hào)法則可知，只要被除式與除式異號(hào)，商就為負(fù)值。因此這個(gè)不等式的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組的問題。 解： 0, 3x-6與2x+1異號(hào)， 即：I

9、或II 解I的不等式組得 , 不等式組無解， 解II的不等式組得 , 不等式組的解集為- x2, 原不等式的解集為- x0, (3x-6)與(2x+1)同號(hào)， 即I 或II 解I的不等式組得 , 不等式組的解集為x2, 解II的不等式組得 , 不等式組的解集為x2或x0(或 0)與ab0（或 0(或 0), a、b同號(hào)， 即I 或II , 再分別解不等式組I和II， 如例10的（3）題。 （2）ab0（或 0）, ab0(或 0), a、b異號(hào)， 即I 或II , 再分別解不等式組I和不等式組II。 例11.已知整數(shù)x滿足不等式3x-46x-2和不等式 -1 , 并且滿足方程3(x+a)=5a

10、-2試求代數(shù)式5a3- 的值。 分析：同時(shí)滿足兩個(gè)不等式的解的x值實(shí)際是將這兩個(gè)不等式組成不等式組，這個(gè)不等式組的解集中的整數(shù)為x值。再將x值代入方程3(x+a)=5a-2，轉(zhuǎn)化成a的方程求出a值，再將a代入代數(shù)式5a3- 即可。 解： 整數(shù)x滿足3x-46x-2和 -1 , x為 ，解集的整數(shù)值， 解不等式(1)，得x- , 解不等式(2)得，x1, 的解集為- x1. - x3 B、不等式組 的解集是-3x-2 C、不等式組 的解集是x-1 D、不等式組 的解集是-4x1 B、x3 C、x3 D、1x3 3不等式組 的解集是（ ） A、x1 C、x8 B、m8 C、m2 B、x1 C、x2

11、 D、x1或x2 答案與解析答案：1、D 2、D 3、D 4、C 5、C 解析： 2.分析：由（1）得x1 1x3 答案：D 3.分析：先解不等式，看是否有解，由（1）得x2，兩者無公共部分，所以選D。答案：D 5.因x-1與x-2的值的符號(hào)相同，所以 或 可求得 x2或x0或ax+bb或axb或axb a0）后，再把系數(shù)化為1。應(yīng)特別注意的是，當(dāng)不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變 中考典例: 1解不等式 (x1)1，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來 考點(diǎn)：一元一次不等式的解法 評(píng)析：一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法相類似，只要注意不等式性質(zhì)3的運(yùn)用該題可先去分母（

12、不要漏乘），再去括號(hào)，然后化成axb或axb的形式,最后得出解集，解題過程如下： 解：原不等式化為：x22(x1)2 x22x+22 它在數(shù)軸上表示為： 2（河北?。┰谝淮巍叭伺c自然”知識(shí)競(jìng)賽中,競(jìng)賽試題共有25道題,每道題都給出4個(gè)答案,其中只有一個(gè)答案正確,要求學(xué)生把正確答案選出來,每道題選對(duì)得4分,不選或選錯(cuò)倒扣2分如果一個(gè)學(xué)生在本次競(jìng)賽中的得分不低于60分,那么,他至少選對(duì)了_道題 考點(diǎn)：一元一次不等式的應(yīng)用 評(píng)析：可設(shè)選對(duì)了x道，那么選錯(cuò)或不選的共有（25x）道題。根據(jù)題意，可以列不等式為4x2(25x)60，解不等式得18 ，取解集中的最小整數(shù)為19 說明：列不等式解的應(yīng)用題，一般

13、所求問題有至少、或最多、或不低于等詞的要求，要正確理解這幾個(gè)詞的含義 3商場(chǎng)出售的A型冰箱每臺(tái)售價(jià)2190元，每日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺(tái)售價(jià)雖比A型冰箱高出10%，但每日耗電量卻為0.55度現(xiàn)將A型冰箱打折出售（打一折后的售價(jià)為原價(jià)的 ），問商場(chǎng)至少打幾折，消費(fèi)者購買才合算（按使用期為10年，每年365天，每度電0.40元計(jì)算）？ 考點(diǎn)：一元一次不等式的應(yīng)用 評(píng)析：列一元一次不等式解應(yīng)用題首先要弄清題意，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)消費(fèi)者要買A型冰箱，10年的花費(fèi)用比B型少才行，設(shè)打x折，那么A型10年的費(fèi)用為2190 +3651010.40，B型10年的費(fèi)用為2190（1+10%）+36510

14、0.550.40，根據(jù)題意得不等式2190 +3651010.402190(1+10%)+365100.550.40 解得x 8，所以至少打八折，解題過程如下： 解：設(shè)商場(chǎng)將A型冰箱打x折出售，消費(fèi)者購買才合算 依題意，有 2190 +3651010.42190(1+10%)+365100.550.4 即 21914602409803 解這個(gè)不等式，得 x8 答：商場(chǎng)應(yīng)將A型冰箱至少打八折出售，消費(fèi)者購買才合算 真題專練: 1不等式72x 1的正整數(shù)解是 2若代數(shù)式 +2x的值不大于代數(shù)式8 的值，那么x的正整數(shù)解是 3恩格爾系數(shù)表示家庭日常飲食開支占家庭經(jīng)濟(jì)總收入的比例，它反映了居民家庭的實(shí)

15、際生活水平，各種類型家庭的恩格爾系數(shù)如下表所示：家庭類型貧困家庭溫飽家庭小康家庭發(fā)達(dá)國家家庭最富裕國家家庭思格爾系數(shù)(n) 75%以上50%75% 40%49% 20%39% 不到20% 則用含n的不等式表示小康家庭的恩格爾系數(shù)為_ 4（杭州市）x的2倍減3的差不大于1，列出的不等式是 （ ） A、2x31B、2x31C、2x31D、2x31 5（內(nèi)江市）解不等式 6（安徽?。┙獠坏仁?x2(12x)1，并把解集在數(shù)軸上表示出來 7（陜西?。┏四吵鞘械囊环N出租汽車起價(jià)是10元（即行駛路程在5km以內(nèi)都需付10元車費(fèi)），達(dá)到或超過5km后，每增加1km加價(jià)12元（不足1km部分按1km計(jì)）現(xiàn)在某

16、人乘這種出租汽車從甲地到乙地，支付車費(fèi)172元，從甲地到乙地的路大約是多少？ 答案： 1、1，2； 2、1，2，3（提示：根據(jù)題意得不等式 +2x8 解不等式得x ， 正整數(shù)解為1，2，3）； 3、40%n49% 4、A； 5、解：去分母得8x420x215x60 移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得27x54 解得x2 6、解：3x2+4x1， 7x3， x 所以原不等式的解集為x 在數(shù)軸上表示為： 7、解：設(shè)從甲地到乙地的路程大約是xkm，根據(jù)題意，得 1610+1.2(x5)17.2 解此不等式組，得 10x11 答：從甲地到乙地的路程大于10km，小于或等于11km一元一次不等式組和它的解法考點(diǎn)掃描: 1

17、了解一元一次不等式組及其解集的概念 2掌握一元一次不等式組的解法，會(huì)用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集 名師精講: 1一元一次不等式組及其解集： 幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集 2求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組 3解一元一次不等式組的步驟： （1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集； （2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集 中考典例: 1不等式組 的解集是_ 考點(diǎn)：一元一次不等式組的解法 評(píng)析：分別求出不等式組中的每一個(gè)不等式的解集，解不等式

18、(1)得x4，解不等式(2)得x5，公共部分是x4，即為不等式組的解集，所以結(jié)果為x4 2若不等式組 的解集為1x1,那么（a+1）(b1)的值等于 考點(diǎn)：不等式組解集的應(yīng)用 評(píng)析：此題類型是；已知不等式組的解集，求其中字母系數(shù)，進(jìn)而求關(guān)于字母系數(shù)的代數(shù)式的值。這類問題解法是：先解不等式組，求得其解集，再與給出的解集相聯(lián)系，求出字母系數(shù)的值，進(jìn)而代入所給代數(shù)式，求出代數(shù)式的值，具體解法如下： 解：由21得x ；由2b3得x3+2b，因?yàn)榉匠探M有解，所以， 3+2b，方程組的解是32 ，又已知方程組的解是：-1B、x6C、1 x 6D、x6 8不等式組 的解在數(shù)軸上可表示為（ ） 9不等式組 的

19、解集（ ） A、x1B、x2C、1x2D、1x2 10不等式組 的整數(shù)解是（ ） A、1，0，1B、1，1 C、1，0 D、0，1 11不等式組成 的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是( ) A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè) 12一元一次不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ） A、 B、 C、 D、 13不等式組 的解集是（ ） A、2x1B、x2D、無解 14不等式組 的解集是（ ） A、4x1B、4x1C、1x4D、1x4 15不等式組 的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ） A、1B、2C、3D、4 16有解集為2x3的不等式組是（ ） A、 B、 C、 D、 17解不等式組 18解不等式組 19求不等式組 的整數(shù)解

20、20解不等式組 21解不等式組 并寫出不等式組的整數(shù)解 22解不等式組， 并把解集在數(shù)軸上表示出來 23解不等式組 并把解集在數(shù)軸上表示出來 24解不等式組 25解不等式組 并在數(shù)軸上表示解集 26求不等式組 的整數(shù)解 答案： 1、4 x2，3； 2、2x4； 3、1x2； 4、x3； 5、10x2 6、0a1（提示由已知得xa ，x3，則其解集為ax3，故a的范圍為0a1； 7、C8、A9、D10、C11、D12、C13、A14、A15、C16、C 17、解：解不等式(1)，得x3 解不等式(2)，得x+83x x2 在數(shù)軸上表示不等式(1)，(2)的解集 不等式組的解集為-23 18、解：

21、解10 4 (x 3)2 (x 1)，得x4 解x 1 ， 得x 不等式組的解集為 x4 19、解：解3x+75(x+2)，得x 解 ，得x2 不等式組的解集為 x2 在 x2中的整數(shù)有1、0、1 不等式組的整數(shù)解是：1、0、1 20、解：解不等式得 x2 解不等式得 x1 所以不等式組的解集是1x2 21、解：解不等式2x+53(x+2),得x1解不等式 得x3，則m的取值范圍是（ ）。 A、m3 B、m=3 C、m3，得3m, 選D。 例3（重慶市中考題）若不等式組 的解集是-1x1，那么(a+1)(b-1)的值等于_。 解：化簡(jiǎn)不等式組，得 它的解集是-1x2的解集為 ，則a的取值范圍是

22、（ ）。 A、a0 B、a1 C、a0 D、a1 解：對(duì)照已知解集，結(jié)合不等式性質(zhì)3得：1-a1，選B。 例5（湖北荊州市中考題）若不等式組 的解集是xa，則a的取值范圍是（）。 A、a3 D、a3 解：根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對(duì)照已知解集xa,得a3, 選D。 三、利用性質(zhì)，分類求解 例6已知不等式 的解集是 ，求a的取值范圍。 解：由解集 得x-20時(shí)，得解集 與已知解集 矛盾； 當(dāng)a-1=0時(shí)，化為0x0無解； 當(dāng)a-10時(shí)，得解集 與解集 等價(jià)。 例7若不等式組 有解，且每一個(gè)解x均不在-1x4范圍內(nèi)，求a的取值范圍。 解：化簡(jiǎn)不等式組，得 它有解， 5a-63aa3;利用解集性質(zhì)，題意轉(zhuǎn)化為：其每一解在x4內(nèi)。于是分類求解，當(dāng)x4時(shí)，得42。故 或2a3為所求。 評(píng)述：(1)未知數(shù)系數(shù)含參數(shù)的一次不等式，當(dāng)不明確未知數(shù)系數(shù)正負(fù)情況下，須得分正、零、負(fù)討論求解；對(duì)解集不在axb 范圍內(nèi)的不等式(組)，也可分xa或x b 求解(2)要細(xì)心體驗(yàn)所列不等式中是否能取等號(hào)，必要時(shí)畫數(shù)軸表示解集分析等號(hào) 四、借助數(shù)軸，分析求解 例8（山東聊城中考題）已知關(guān)于x的不等式組 的整數(shù)解共5個(gè)，則a的取值范圍是_。 解：化簡(jiǎn)不等式組，得 有解，將其表在數(shù)軸上，如圖1，其整數(shù)解5個(gè)必為x=1,0,-1,-2,-3. 由圖1得：-4a-3。變式:(1