1、2010-2011學(xué)年第二學(xué)期數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（B卷）答案 Page 12 of 12北 京 交 通 大 學(xué)20102011學(xué)年第二學(xué)期數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試試卷（B卷）答案一（本題滿分10分） 設(shè)總體存在二階矩，記，是從該總體中抽取的一個樣本，是其樣本均值，是其樣本方差 證明：， 證明： 解： ， 二（本題滿分10分） 設(shè)總體服從參數(shù)為的幾何分布，其分布列為 其中是未知參數(shù)，是取自該總體中的一個樣本試求參數(shù)的極大似然估計(jì)量 解： 似然函數(shù)為 所以，對求導(dǎo)，得 ，解方程，得因此的極大似然估計(jì)量為三（本題滿分10分） 設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布，其中是未知參數(shù)，是從該總體中抽取的一個樣本 試判

2、斷是否為未知參數(shù)的無偏估計(jì)量？ 試判斷是否為未知參數(shù)的相合估計(jì)量？ 解： 的密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為， 所以的密度函數(shù)為 所以， 所以，是未知參數(shù)的無偏估計(jì)量又 所以，由Chebyshev不等式，對任意給定的，有 ， 所以，對任意給定的，有這表明，是未知參數(shù)的相合估計(jì)量四（本題滿分10分） 設(shè)總體，其中與都未知，是取自該總體中的一個樣本對于給定的顯著性水平，試求檢驗(yàn)假設(shè) 的拒絕域 解： 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)成立，且時， 當(dāng)原假設(shè)成立時，由觀測值可知比值應(yīng)當(dāng)大于1，因此比值應(yīng)當(dāng)比較大；反之，如果我們通過樣本觀測值，發(fā)現(xiàn)偏小，自然就有理由認(rèn)為不成立于是，拒絕域可以取作形如 對給定的顯著性水平，當(dāng)成立，并

3、且時，由，故取臨界值即有 ， 對任意成立因此，我們得到當(dāng)時，顯著性水平下的一個檢驗(yàn)的拒絕域當(dāng)原假設(shè)成立，且時，有而且當(dāng)原假設(shè)成立，且總體為時，有，所以此時有， ， 對任意成立因此原假設(shè)的拒絕域?yàn)槲澹ū绢}滿分10分） 檢驗(yàn)?zāi)撑V砂中的含鎳量，隨機(jī)抽取7份樣品，測得含鎳量百分比分別為：假設(shè)這批礦砂中的含鎳量的百分比服從正態(tài)分布，試在顯著性水平下檢驗(yàn)這批礦砂中的含鎳量的百分比是否為 解： 設(shè)表示這批礦砂中的含鎳量的百分比，則 由于總體方差未知，故用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)成立時， 由于顯著性水平，所以因此檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?由樣本觀測值，得 ，所以， 所以，不拒絕，可以認(rèn)為這批礦砂中的含鎳量的百分比為六（本題滿分1

4、0分） 設(shè)總體的密度函數(shù)為其中是已知常數(shù)，而是未知參數(shù)是取自該總體中的一個樣本試給出未知參數(shù)的一個充分統(tǒng)計(jì)量 證明： 樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為 令，則 并且與未知參數(shù)無關(guān)，因此由因子分解定理知，是未知參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量七（本題滿分10分） 一試驗(yàn)用來比較4種不同藥品解除外科手術(shù)后疼痛的延續(xù)時間（單位：小時），結(jié)果如下表：藥品時間長度（單位：小時）86426644810101012442假定各種疼痛的延續(xù)時間服從正態(tài)分布，而且方差相等，試在顯著性水平下檢驗(yàn)這4種不同藥品解除外科手術(shù)后的疼痛時間是否有顯著性影響 解： ：4種不同藥品解除外科手術(shù)后的疼痛時間無顯著性差異試號 藥品差別材料種類1420400

5、100120242040010010435502500500508431010033.333336總和161003400733.3333768所以有 ， ， 八（本題滿分10分） 隨機(jī)地檢查一本書的100頁，記錄各頁中印刷錯誤的個數(shù)，其結(jié)果為錯誤個數(shù)0123456含個錯誤的頁數(shù)36401920210試在顯著性水平下，能否認(rèn)為一頁的印刷錯誤的個數(shù)服從Poisson分布？ 解： ：一頁的印刷錯誤的個數(shù)服從Poisson分布 的極大似然估計(jì)值為 選取統(tǒng)計(jì)量 ，則當(dāng)時， ， 因此，我們有 ， ， ， ， ， ， ， 計(jì)算結(jié)果列下表：360.016876613：400.280453375：190.019

6、966863：2 8.03013981.14341063：0：2：1：0總計(jì)1001.46070748 本題中，所以，所以檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?由觀測值，得，所以不拒絕，可以認(rèn)為一頁的印刷錯誤的個數(shù)服從Poisson分布九（本題滿分10分） 為考察促進(jìn)劑與氧化鋅對橡膠定伸強(qiáng)力的影響，選用3種不同的促進(jìn)劑和4種不同分量的氧化鋅組合配方，同樣的配方重復(fù)試驗(yàn)2次，測得300%的定伸強(qiáng)力如下表：氧化鋅 促進(jìn)劑313334363536393833343637373938413537373839404244試在顯著性水平檢驗(yàn)不同的促進(jìn)劑，不同分量的氧化鋅以及他們的交互作用對橡膠定伸強(qiáng)力是否有顯著性影響？ 解：

7、：不同的促進(jìn)劑對橡膠定伸強(qiáng)力無顯著性影響； ：不同分量的氧化鋅對橡膠定伸強(qiáng)力無顯著性影響； ：促進(jìn)劑與氧化鋅對橡膠定伸強(qiáng)力無顯著性影響 令，得新數(shù)據(jù)表為-4（16）-2（4）-1（1）1（1）0（0）1（1）4（16）3（9）-2（4）-1（1）1（1）2（4）2（4）4（16）3（9）6（36）0（0）2（4）2（4）3（9）4（16）5（25）7（49）9（81）表2-4-2-11014324-2-11224361522502234579321024-781632491253496425610241393表316411011694841144169367504491625498118829

8、2062200311 ，所以 ， ， ， ， ， 方差分析表方差來源平方和自由度均方值臨界值顯著性因素56.5833333228.2916666519.40顯著因素132.125344.0416666730.2顯著因素4.7560.7916666660.54不顯著誤差17.5121.458333333總和210.958333323 拒絕，認(rèn)為不同的促進(jìn)劑對橡膠定伸強(qiáng)力有顯著性影響； 拒絕，認(rèn)為不同分量的氧化鋅對橡膠定伸強(qiáng)力有顯著性影響； 不拒絕，可以認(rèn)為促進(jìn)劑與氧化鋅對橡膠定伸強(qiáng)力無顯著性影響十（本題滿分10分） 下表列出了自1952-2004年各屆奧運(yùn)會男子10000米賽跑冠軍的成績（冠軍成

9、績以計(jì)）年份19521956196019641968197219761980198419881992199620002004成績29.328.828.528.429.427.627.727.727.827.427.827.127.327.1 求關(guān)于的線性回歸方程； 試在顯著性水平下檢驗(yàn)假設(shè)： 解： 對數(shù)據(jù)作變換， 時間原取值改為（即自1952年算作奧運(yùn)萬米第一次記錄，其后第二次，第三次等） 把萬米記錄均減去20（分）來算（這樣在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程時，得到的時間加上20就是實(shí)際所要求的時間）得經(jīng)整理的數(shù)據(jù)及計(jì)算如下表：19.3186.499.328.8477.4417.638.5972.2525.548.41670.5633.659.42588.364767.63657.7645.677.74959.2953.987.76459.2961.697.88160.8470.2107.410054.7674117.812160.8485.8127.114450.4185.2137.316953.2994.9147.119650.4199.4105111.91015901.99803.6 ， ， ， 設(shè)所求的回歸函數(shù)為，則有 ，