1、,引言,前面，我們討論了參數(shù)點估計. 它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù). 但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷 .,譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計為1000條.,若我們能給出一個區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中. 這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了.,實際上，N的真值可能大于1000條， 也可能小于1000條.,也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.,湖中魚數(shù)的真值, ,這里所說的“可靠程度”是用概

2、率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.,置信水平的大小是根據(jù)實際需要選定的.,例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等.,尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.,使得,稱 為 與 之間的誤差限 .,我們選取未知參數(shù)的某個估計量 ，根據(jù)置信水平 ，可以找到一個正數(shù) ，,只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難.,下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并通過例子說明求置信區(qū)間的方法.,這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間.,教材180頁已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)（分位點）的定義，為便于應(yīng)用，這里我們再簡要介紹一下.,在求置信區(qū)間時，要查表求分位數(shù).,例如:,設(shè)0 1, 對隨機變量X，稱

3、滿足,的點 為X的概率分布的上 分位數(shù).,例如:,設(shè)0 1, 對隨機變量X，稱滿足,的點 為X的概率分布的上 分位數(shù).,分布的上 分位數(shù),自由度為n的,設(shè)0 1, 對隨機變量X，稱滿足,的點 為X的概率分布的上 分位數(shù).,書末附有 分布、t 分布、F分布的上側(cè)分位數(shù)表，供使用. 需要注意的事項在教材上有說明.,至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對分布函數(shù)定義熟悉的話，這個問題不難解決.,現(xiàn)在回到置信區(qū)間題目上來.,一、 置信區(qū)間定義：,則稱區(qū)間 是 的置信水平（置信度、 置信概率）為 的置信區(qū)間.,可見，,即要求估計盡量可靠.,可靠度與精度是一對矛盾， 一般是在保證可靠度的條件下

4、 盡可能提高精度.,N(0, 1),選 的點估計為,二、置信區(qū)間的求法,明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平是多少？,解：,尋找一個待估參數(shù)和 估計量的函數(shù) ，要求 其分布為已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意區(qū)間的概率.,對給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,對于給定的置信水平(大概率), 根據(jù)U的分布， 確定一個區(qū)間, 使得U取值于該區(qū)間的概率為 置信水平.,使,對給定的置信水平,查正態(tài)分布表得,使,從中解得,也可簡記為,于是所求 的 置信區(qū)間為,從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:,1. 明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?,置信水平 是多少?,2. 尋找參數(shù)

5、 的一個良好的點估計T (X1,X2,Xn),稱S(T, )為樞軸量.,3. 尋找一個待估參數(shù) 和估計量T的函數(shù) S(T, ),且其分布為已知.,5. 對“aS(T, )b”作等價變形,得到如下 形式:,則 就是 的100( )的置信區(qū)間.,而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要.,這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形. 若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計.,教材上討論了以下幾種情形：,單個正態(tài)總體均值 和方差 的區(qū)間估計.,兩個正態(tài)總體均值差 和方差比 的區(qū)間估計.,比例 p 的區(qū)間估計

6、.,下面我們舉幾個例子，其余部分請自己看.,休息片刻繼續(xù),例2 已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X,隨機抽查100個嬰兒,得100個體重數(shù)據(jù),X1,X2,X100,解：這是單總體均值和方差的估計,已知,先求均值 的區(qū)間估計.,因方差未知，取,對給定的置信度 ,確定分位數(shù),使,即,從中解得,取樞軸量,從中解得,再求方差 的置信水平為 的區(qū)間估計.,需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.,對同一個參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間.,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對任意a、b，我們可以求得P( aUb) .,N(0, 1),由 P(-1.75U2.33)=0.95,這個區(qū)間比前面一個要長一些.,我們

7、總是希望置信區(qū)間盡可能短.,類似地，我們可得到若干個不同的置信 區(qū)間.,任意兩個數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個95%的置信區(qū)間.,在概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)a =-b時求得的置信區(qū)間的長度為最短.,a =-b,即使在概率密度不對稱的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間.,我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長度越長.,也就是說，要想得到的區(qū)間估計可靠度高，區(qū)間長度就長，估計的精度就差.這是一對矛盾.,實用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長度短一些 .,例3

8、某單位要估計平均每天職工的總醫(yī)療費，觀察了30天,其總金額的平均值是170元，標(biāo)準(zhǔn)差為30元，試決定職工每天總醫(yī)療費用平均值的區(qū)間估計（置信水平為0.95）.,解：,設(shè)每天職工的總醫(yī)療費為X，,近似服從正態(tài)分布,大樣本，由中心極限定理，,E(X)= ,D(X)=,未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S近似代替.,取樞軸量,近似N(0,1)分布,對給定的置信水平 , 確定分位數(shù),使,得均值 的置信水平為 的區(qū)間估計為,得均值 的置信水平為 的區(qū)間估計為,三、單側(cè)置信區(qū)間,上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對于有些實際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個方向的界限.,例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.,這時，可將置信上限取為+，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.,于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：,又若統(tǒng)計量 滿足,由于方差 未知，取樞軸量,解： 的點估計取為樣本均值,對給定的置信水平 ，確定分位數(shù),使,即,于是得到 的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間為,將樣本值代入得,的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是,1065小