1、,材料力學(xué),第九章 壓桿穩(wěn)定,2020/10/1,第九章 壓桿穩(wěn)定,9-1 壓桿穩(wěn)定的概念,引例,一根長為150mm的鋼尺，橫截面尺寸為20mm0.5 mm，彈性模量E=210GPa，屈服極限為s=390MPa。若取鋼尺豎放在桌面上，用手向下施加軸向壓力。試求其承載能力F 。,按強度理論計算，鋼尺屈服時的屈服壓力：,成年男子體重：700N,（倍）,屈服壓力是實際承載壓力的203倍，屈服壓力遠(yuǎn)大于臨界壓力。因此對于細(xì)長壓桿，只考慮強度破壞是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。,為什么呢？,按穩(wěn)定理論計算(實際承載能力):,工程中有些承受軸向壓力的桿件在滿足強度條件時，卻不一定能保證安全可靠地工作，而可能突然發(fā)生明顯的彎

2、曲變形，喪失了承載能力，這種問題稱為穩(wěn)定失效。,一、穩(wěn)定的概念,平衡的穩(wěn)定性,不穩(wěn)定平衡,穩(wěn)定平衡,微小擾動就使小球遠(yuǎn)離原來的平衡位置。,微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷后小球回復(fù)到平衡位置。,二、工程實例,廣場燈的立柱,桁架結(jié)構(gòu),“神六”發(fā)射架,桁架屋頂,火車臥鋪的撐桿,自卸車的液壓頂桿,液壓頂桿,案例1. 上世紀(jì)初，享有盛譽的美國橋梁學(xué)家?guī)彀?Theodore Cooper)在圣勞倫斯河上建造的魁比克大橋(Quebec Bridge) 于1907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，造成85位工人死亡，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一。,三、失穩(wěn)破壞案例,案例2. 1995年6月29日下午，

3、韓國漢城三豐百貨大樓，由于盲目擴建和加層，致使大樓四五層立柱不堪重負(fù)而產(chǎn)生失穩(wěn)破壞。大樓倒塌死502人，傷930人，失蹤113人。,案例3. 2000年10月25日上午10時南京電視臺演播中心工地由于腳手架失穩(wěn)，造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人。,研究壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要！,1. 壓桿的穩(wěn)定性：壓桿維持其原直線平衡狀態(tài)的的能力；,2. 壓桿失穩(wěn)：壓桿喪失其原直線平衡狀態(tài)，不能穩(wěn)定地工作；,3. 壓桿失穩(wěn)的原因：, 桿軸線本身不直(初曲率)； 加載偏心； 壓桿材質(zhì)不均勻； 外界干擾力。,四、受壓直桿的穩(wěn)定性研究,中心受壓直桿,假設(shè)不存在,4. 臨界狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡向微彎平衡(不穩(wěn)平衡)過渡的

4、狀態(tài)；,5. 臨界載荷Fcr：描述壓桿的穩(wěn)定能力，壓桿臨界狀態(tài)所受到的軸向壓力。,本節(jié)以兩端球形鉸支(簡稱兩端鉸支)的細(xì)長中心受壓桿件(圖a)為例，按照對于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保持微彎狀態(tài)時的軸向壓力這一概念，來導(dǎo)出求解臨界壓力的歐拉(L.Euler)公式。,(a),9-2 細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式,假設(shè)壓桿任意x截面的撓度(側(cè)向位移)為w，彎矩為M(x)=Fcrw。桿的撓曲線近似微分方程為：,(b),(a),令k2=Fcr /EI，式(a)改寫成,(b),微分方程(b)的通解為,(c),由邊界條件x=0，w = 0代入式(c)得 B=0。,(c),(a),上式中的A不能等于

5、零，則必須sinkl=0,再用邊界條件x=l，w = 0 得到：,則有,即,這其中的最小非零解 klp 對應(yīng)于最小的臨界力，這是工程上最關(guān)心的臨界力。,亦即,從而得到求兩端鉸支細(xì)長中心壓桿臨界壓力的歐拉公式：,兩端絞支,1. 一端固定，另一端鉸支,C點為拐點,9-3 不同桿端約束下細(xì)長壓桿的臨界壓力,2、兩端固定,3、一端固定 一端自由,歐拉公式 的統(tǒng)一形式,長度系數(shù)，約束方式對臨界載荷的影響。,l相當(dāng)長度，相當(dāng)兩端鉸支壓桿的長度。,桿端約束越強， 越小，臨界載荷越大！,各種桿端約束條件下臨界壓力的歐拉公式,運用歐拉公式計算臨界力時需要注意： . 當(dāng)桿端約束情況在各個縱向平面內(nèi)相同時(例如球形

6、鉸)，歐拉公式中的 I 應(yīng)是桿的橫截面的最小形心主慣性矩 Imin。 . 當(dāng)桿端約束在各個縱向平面內(nèi)不同時，歐拉公式中所取用的I應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時的彎曲平面相對應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：,對應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，,對應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支，,而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計算值中的較小者。,l,1.3l,1.7l,2l,（a）,（b）,（c）,例9-1. 直徑、材料相同，而約束不同的圓截面細(xì)長壓桿，哪個的臨界力最大。,解：,（d）桿臨界力最大。,（d）,9-4 歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力總圖,. 歐拉公式的應(yīng)用范圍,歐拉

7、公式只可應(yīng)用于壓桿橫截面上的應(yīng)力不超過材料的比例極限sp的情況。,式中，scr稱為臨界應(yīng)力，ml /i 稱為壓桿的長細(xì)比或柔度，記作l，即：,根據(jù)歐拉公式只可應(yīng)用于scrsp的條件，有,可見 就是可以應(yīng)用歐拉公式的壓桿最小柔度。對于Q235鋼，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有,圖中用實線示出了歐拉公式應(yīng)用范圍內(nèi)(llp)的scr-l曲線，它是一條雙曲線，稱為歐拉臨界力曲線，簡稱歐拉曲線。,llp的壓桿，稱為大柔度壓桿或細(xì)長壓桿； llp的壓桿，稱為小柔度壓桿。,. 壓桿的臨界應(yīng)力總圖,臨界應(yīng)力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應(yīng)力scr隨柔度l 變化的關(guān)系曲線。,在llp的部分

8、，由歐拉公式scr p2E/l2表達scr-l關(guān)系；,但在壓桿柔度l很小時，由于該理論存在的不足，計算所得scr可能會大于材料的屈服極限ss，故取scr ss。,在llp的范圍內(nèi)可利用折減彈性模量理論公式scrp2Er /l2表達scr-l關(guān)系；,此外，該理論公式中有與截面形狀相關(guān)的折減彈性模量Er，故llp范圍內(nèi)的scrl曲線實際上還因截面形狀而有所不同。,例9-2 圖示圓截面壓桿，d=100mm，E=200GP，P=200 MPa。試求可用歐拉公式計算臨界力時桿的長度。,l,P,d,解：,【例9-3】圖示矩形截面壓桿，其約束性質(zhì)為：在xoz平面內(nèi)為兩端固定；在xoy平面內(nèi)為一端固定，一端自

9、由。已知材料的E=200 GPa，P=200 MPa。試求此壓桿的臨界力。,1m,z,y,20,60,P,z,x,o,【解】,1m,z,y,20,60,P,z,x,o,因此，壓桿將在xoy平面內(nèi)失穩(wěn)，且歐拉公式適用：,壓桿臨界力為：,為保證實際壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定計算中需納入穩(wěn)定安全因數(shù)nst，取穩(wěn)定條件為：,式中，sst=scr/nst為壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。,亦即,9-5 實際壓桿的穩(wěn)定計算,一、穩(wěn)定因數(shù)（折減系數(shù)法）,為了應(yīng)用方便，將穩(wěn)定許用應(yīng)力sst寫為材料的強度許用應(yīng)力s乘以一個隨壓桿柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)j =j (l)，即：,穩(wěn)定因數(shù)又叫折減系數(shù)，我國鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范給出了折減

10、系數(shù)表9-2(孫訓(xùn)方P319)和表9-3(孫訓(xùn)方P319)。使用時可根據(jù)柔度查表求出相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)j。,由于scr與壓桿的柔度l有關(guān)，而且考慮到不同柔度的壓桿其失穩(wěn)的危險性也有所不同，故所選用的穩(wěn)定安全因數(shù)nst也隨l 變化，因此sst是一個與壓桿柔度的關(guān)系比較復(fù)雜的量。,例9-4 有一根兩端鉸支的圓截面壓桿，材料為Q235鋼，桿長l=1.8m，直徑d=80mm。已知工作壓力F=450kN，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=1.6，強度許用應(yīng)力s=170MPa，彈性模量E=210GPa。試用折減系數(shù)法校核該壓桿的穩(wěn)定性。,解：先計算壓桿的柔度為,因此，許用臨界應(yīng)力為：,查表9-2知: 穩(wěn)定因數(shù)j=0.669

11、,工作應(yīng)力與許用穩(wěn)定應(yīng)力比較：,總結(jié)：利用折減系數(shù)法進行穩(wěn)定性計算的步驟： 1、計算柔度 2、查表求出折減系數(shù)； 3、折減系數(shù)乘以強度許用應(yīng)力就得許用穩(wěn)定應(yīng)力； 4、最后拿實際工作應(yīng)力與穩(wěn)定應(yīng)力進行對比。,臨界應(yīng)力總圖,二、經(jīng)驗公式法,臨界應(yīng)力總圖與直線型經(jīng)驗公式,式中a、b查表得到,計算得到scr 后，許用臨界應(yīng)力可以如下計算,常用工程材料的a、b值,sst=（scr） =scr/nst,總結(jié)：經(jīng)驗公式法的步驟：（畫出臨界應(yīng)力總圖講解） 1、正確計算出壓桿的柔度l； 2、正確計算出壓桿材料的lp： 3、若llp，則scr p2E/l2； 4、若llp，則需要計算ls=(a-ss )/b； 5

12、、若lsllp，則scr a-bl 6、lls,則scr ss 7、計算scr=scr/nst; 8、后拿實際工作應(yīng)力與穩(wěn)定許用應(yīng)力scr進行對比。,注意：不同教材符號稍有不同:l1=lp；l2=ls;scr=sst=s cr=s st,例題9-5 圖a, b, c所示兩端球形鉸支的組合截面中心壓桿，由兩根110mm70mm7mm的角鋼用綴條和綴板聯(lián)成整體，材料為Q235鋼，強度許用應(yīng)力s=170MPa。試求該壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。,解：1. 確定組合截面形心和形心主慣性軸,圖c所示組合截面的形心離角鋼短肢的距離顯然就是 y035.7mm，并落在對稱軸y軸上。根據(jù)y軸為對稱軸可知，圖c中所示通過

13、組合截面形心的y軸和z軸就是該組合截面的形心主慣性軸。,2. 計算組合截面的形心主慣性矩,可見，在組合截面對于所有形心軸的慣性矩中，Imax= Iz ，Imin= Iy , 按通常的說法就是z 軸為強軸，而y軸為弱軸。,3. 計算壓桿的柔度,此壓桿兩端為球形鉸支座，在各個縱向平面內(nèi)對桿端的約束相同，故失穩(wěn)時橫截面將繞弱軸 y 軸轉(zhuǎn)動。壓桿的柔度應(yīng)據(jù)此計算。,4. 計算壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力,按b類截面中心壓桿，由表9-3查得l97時j0.575，從而得:,根據(jù)上節(jié)中所述，中心壓桿的穩(wěn)定條件可以表達為：,1. 上式中A所表示的橫截面面積，當(dāng)壓桿被釘孔等局部削弱時也還采用不考慮削弱的毛面積，因為壓桿的

14、穩(wěn)定性取決于整體的抗彎能力，受局部削弱的影響很小。,9-6 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的合理截面,計算時注意：,2. 按穩(wěn)定條件選擇壓桿的橫截面尺寸，要用試算法。,3. 壓桿的合理截面應(yīng)是： .對于桿端約束在壓桿各縱向平面內(nèi)想同的情況，要求截面對兩個形心主慣性軸的慣性半徑相等，亦即兩個形心主慣性矩相等( Imax= Imin)，且盡可能增大i的值；對于桿端約束在壓桿各縱向平面內(nèi)不同的情況，其橫截面以使壓桿在各縱向平面內(nèi)的柔度相同或接近相同為合理。 . 在橫截面面積相同的條件下，要求截面對形心主慣性軸的慣性半徑盡可能大，亦即形心主慣性矩盡可能大。,圖示截面中，對于桿端約束在各縱向平面內(nèi)相同的壓桿來說，正

15、方形截面較矩形截面合理；圓截面合理，且空心圓截面較實心圓截面更合理。圖e所示組合截面其兩個槽鋼的形心間距離h以能使Iy等于或稍大于Iz者為合理。,例題9-6 圖示為簡易起重裝置，其扒桿(圖中的斜桿)為平均直徑d =300 mm的紅松，長度 l6 m，順紋抗壓強度許用應(yīng)力s10 MPa。試求該扒桿所能承受的許可壓力值。,解：1. 我國規(guī)范的有關(guān)規(guī)定,我國木結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中對木制壓桿，按樹種的彎曲強度分兩類給出穩(wěn)定因數(shù)j 的計算公式。紅松屬于樹種強度TC13級(“13”表示彎曲強度為13 MPa)，該等級所屬分類的穩(wěn)定因數(shù)計算公式為,時,時,2. 扒桿的柔度,該扒桿在軸向壓力作用下如果在圖示平面內(nèi)失

16、穩(wěn)，則由于其上端受水平鋼絲繩的約束而基本上不能產(chǎn)生側(cè)向位移而只能轉(zhuǎn)動，其下端由于銷釘?shù)募s束也只能轉(zhuǎn)動，故扒桿大致相當(dāng)于兩端鉸支壓桿，長度因數(shù)可取為m1。 扒桿在垂直于圖示平面的方向，其上端通常沒有任何約束，而下端由于受銷釘約束基本上不能轉(zhuǎn)動而可視為固定端，故長度因數(shù)可取為m2。,比較扒桿在兩個相互垂直平面內(nèi)的長度因數(shù)m，并注意到這是圓截面桿可知，決定該扒桿許可壓力的是垂直于圖示平面內(nèi)的穩(wěn)定性。從而有,3. 穩(wěn)定因數(shù)及許可壓力,因l 91，故按下式計算穩(wěn)定因數(shù)：,從而有許可壓力：,例題9-7 廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承受軸向壓力F=270 kN。根據(jù)桿端約束情況，該鋼

17、柱的長度因數(shù)取為m1.3。鋼柱長7 m，材料為Q235鋼，強度許用應(yīng)力s=170 MPa。該柱屬于b類截面中心壓桿。由于桿端連接的需要，其同一橫截面上有4個直徑為d0=30 mm的釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼號碼。,解：1. 按穩(wěn)定條件選擇槽鋼號碼,為保證此槽鋼組合截面壓桿在xz平面內(nèi)和xy平面內(nèi)具有同樣的穩(wěn)定性，應(yīng)根據(jù)ly=lz確定兩槽鋼的合理間距h?，F(xiàn)先按壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定條件通過試算選擇槽鋼號碼。,假設(shè)j0.50，得到壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力為,因而按穩(wěn)定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為,由型鋼表查得，14a號槽鋼的橫截面面積為 A =18.51 cm218.5110-4 m2，而它對z軸的慣

18、性半徑為iz=5.52 cm=55.2 mm。,下面來檢查采用兩根14a號槽鋼的組合截面柱其穩(wěn)定因數(shù)j 是否不小于假設(shè)的j 0.5。,注意到此組合截面對于z 軸的慣性矩 Iz 和面積 A 都是單根槽鋼的兩倍，故組合截面的iz 值就等于單根槽鋼的iz 值。于是有該組合截面壓桿的柔度：,由表9-3查得，Q235鋼b類截面中心壓桿相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)為j0.262。 顯然，前面假設(shè)的j0.5這個值過大，需重新假設(shè)j 值再來試算；重新假設(shè)的j 值大致上取以前面假設(shè)的j0.5和所得的j0.262的平均值為基礎(chǔ)稍偏于所得j 的值。,重新假設(shè)j0.35，于是有,試選16號槽鋼，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，從而有組合截面壓桿的柔度：,由表9-3得j =0.311，它略小于假設(shè)的j0.35?，F(xiàn)按采用2根16號槽鋼的組合截面柱而j0.311進行穩(wěn)定性校核。此時穩(wěn)定許用應(yīng)力為,按橫截面毛面積算得的工作應(yīng)力為,雖然工作應(yīng)力超過了