1、例1:(1)命題甲:f(x),g(x)在x=x0處均可導(dǎo);命題乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0處可導(dǎo),則甲是乙成立的( ) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充分必要條件 (D)即不充分也不必要條件,A,(2)下列函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有切線的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosx,D,(3)若 則f(x)可能是下式中的( ),B,(4)點(diǎn)P在曲線y=x3-x+2/3上移動(dòng)時(shí),過點(diǎn)P的曲線的 切線的傾斜角的取值范圍是( ),D,例2:已知曲線S1:y=x2與S2:y=-(x-2)2,若直線l與S1,S2

2、均 相切,求l的方程.,解:設(shè)l與S1相切于P(x1,x12),l與S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).,對于 則與S1相切于P點(diǎn)的切線方程為y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.,對于 與S2相切于Q點(diǎn)的切線方程為y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.,因?yàn)閮汕芯€重合,若x1=0,x2=2,則l為y=0;若x1=2,x2=0,則l為y=4x-4.,所以所求l的方程為:y=0或y=4x-4.,例3:在曲線y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切線所對應(yīng) 的切點(diǎn),并證明曲線關(guān)于此點(diǎn)對稱.,解:由于 ,故當(dāng)x=2時(shí), 有

3、最小值.,而當(dāng)x=2時(shí),y=-12,故斜率最小的切線所對應(yīng)的切點(diǎn) 為A(2,-12).,記曲線為S,設(shè)P(x,y)S,則有y=x3-6x2-x+6.,又點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為Q(4-x,-24-y),下證QS.,將4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.,即Q(4-x,-24-y)的坐標(biāo)是S的方程的解,于是QS.,這就證明了曲線S關(guān)于點(diǎn)A中心對稱.,練習(xí)1:已知曲線C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲線C上橫坐 標(biāo)為1的點(diǎn)

4、的切線方程;(2)第(1)小題中切線與曲線C是否還有其它公共點(diǎn)?如果有,求出這些點(diǎn)的坐標(biāo).,解:(1)把x=1代入曲線C的方程得切點(diǎn)(1,-4).,所以切線的斜率k=12-6-18= -12.故切線方程為y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.,故除切點(diǎn)以外,還有兩個(gè)交點(diǎn)(-2,32),(2/3,0).,例4:如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加,求圓半徑R= 10cm時(shí),圓面積增加的速度.,解:由已知知:圓半徑R=R(t),且 = 2cm/s.,又圓面積S=R2,所以 =40(cm)2/s.,故圓面積增加的速度為40(cm)2/s.,例5:在曲線 上求一點(diǎn),使通過該點(diǎn)的切線平行于 x軸

5、,并求此切線的方程.,解:設(shè)所求點(diǎn)為P(x0,y0).則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:,切線斜率,把x0=0代入曲線方程得:y0=1.,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),切線方程為y-1=0.,例6:求曲線y=xlnx的平行于直線x-y+1=0的切線方程.,解:設(shè)該切線與曲線相切的切點(diǎn)為(x0,x0lnx0).,故曲線在點(diǎn)(x0,x0lnx0)處的切線斜率為lnx0+1.,由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切點(diǎn)為(1,0).,所以所求切線方程為y-0=x-1,即x-y-1=0.,答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0.,練習(xí)2:分別求曲線y=logxe; 在點(diǎn)(e,1)處 的切線方程

6、.,延伸:設(shè)點(diǎn)P是曲線y=ex上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線y=x的 最小距離.,答案:,例7:求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交 點(diǎn)處的切線互相垂直.,證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,故只需證明其中一 個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直即可.,聯(lián)立兩曲線方程解得第一象限的交點(diǎn)為P(3,2),不妨 證明過P點(diǎn)的兩條切線互相垂直.,由于點(diǎn)P在第一象限,故由x2-y2=5得,同理由4x2+9y2=72得,因?yàn)閗1k2=-1,所以兩條切線互相垂直.從而命題成立.,例8:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x).,解:(1)兩邊取對數(shù),得lny=xlnx.,

7、由于y是x的函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對上式兩邊對x求導(dǎo),可得:,(2)兩邊取對數(shù),得lny=g(x)lnf(x),兩邊對x求導(dǎo),可得:,說明:(1)解法可能對lny求導(dǎo)不易理解,事實(shí)上,若u=lny, y=f(x),則,(2)本題用的求導(dǎo)方法習(xí)慣上稱為對數(shù)求導(dǎo)法,即先兩 邊取對數(shù),再對x求導(dǎo).一般適用于下列兩類函數(shù):,形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函數(shù),取對數(shù)后,可 將積轉(zhuǎn)化為和的形式,或 ,取對 數(shù)后,可轉(zhuǎn)化為代數(shù)和的形式.,無理函數(shù)或形如y=f(x)g(x)這類冪指函數(shù).,(3)對數(shù)求導(dǎo)法的優(yōu)點(diǎn):一是可使問題簡單化(積、商 變和、差,冪、根變積式),二是可使較復(fù)雜函數(shù)求

8、導(dǎo)變?yōu)榭赡?無求導(dǎo)公式變?yōu)橛星髮?dǎo)公式).,例如我們利用上面例題中的(2)可知 中的n的范圍可以擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù).,又如下面一題我們就有兩種不同的解法:,方法二:由于y0,故可以兩邊取對數(shù).,題目:已知0x1,求 的導(dǎo)數(shù).,方法一:,練習(xí)3:用兩種不同的解法求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).,方法一:由于y0,故兩邊取對數(shù),得,方法二:,在上面的例子中涉及到了二次曲線在某點(diǎn)的切線 問題,但在上面的解法中回避了點(diǎn)在第二、三、四象限 的情況.可能有同學(xué)會(huì)提出對于二次曲線在任意點(diǎn)的切線怎樣求的問題,由于它涉及到隱函數(shù)的求導(dǎo)問題.我們不便去過多的去研究.,下面舉一個(gè)例子使同學(xué)們了解一下求一般曲線在任意點(diǎn)的切線的方法.(說明:這個(gè)內(nèi)容不屬于考查范圍.),例子:求橢圓 在點(diǎn) 處的切線方程.,解:對橢圓方程的兩邊分別求導(dǎo)(在此把y看成是關(guān)于x 的函數(shù))得:,于是所求切線方程為:,備用,利用上述方法可得圓錐曲線的切線方程如下:,(1)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.,(2)過橢圓 上一點(diǎn)P0(x0,y0)的切線方程是:,(2)過橢圓 上一點(diǎn)P0(