1、第二章,平面向量,2.4平面向量的數(shù)量積,2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角,自主預(yù)習(xí)學(xué)案,“我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛飛過絕望，不去想他們擁有美麗的太陽，我看見每天的夕陽也會(huì)有變化，我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛給我希望”如果能為平面向量的數(shù)量積插上“翅膀”，它又能飛多遠(yuǎn)呢？本節(jié)講解平面向量數(shù)量積的“翅膀”坐標(biāo)表示，它使平面向量的數(shù)量積同時(shí)具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，從而可以使幾何問題數(shù)量化，把“定性”研究推向“定量”研究,1平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2).,它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和,x1x2y1y2,x1x2

2、y1y20,知識(shí)點(diǎn)撥1.公式ab|a|b|cos與abx1x2y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式ab|a|b|cos求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式abx1x2y1y2求解 2已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab與ab的坐標(biāo)表示如下： abx1y2x2y1，即x1y2x2y10； abx1x2y1y2，即x1x2y1y20 兩個(gè)結(jié)論不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)，分別簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相等，橫橫縱縱積相反,2平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示 設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2

3、)，a與b的夾角為，則有下表：,1若向量a(1,2)，b(1，2)，則ab() A0B2 C4D5 2已知平面向量a(3,1)，b(x，3)，且ab，則x等于() A3 B1 C1 D3,D,B,C,互動(dòng)探究學(xué)案,命題方向數(shù)量積的坐標(biāo)表示,已知a(2，1)，b(3，2)，求(3ab)(a2b) 解析解法一：因?yàn)閍b23(1)(2)8，a222(1)25，b232(2)213， 所以(3ab)(a2b)3a27ab2b2357821315,典例 1,解法二：a(2，1)，b(3，2)， 3ab(6，3)(3，2)(3，1)， a2b(2，1)(6，4)(4,3) (3ab)(a2b)3(4)(1

4、)3 15,規(guī)律總結(jié)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，需要牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，然后直接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；二是先利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知條件計(jì)算,跟蹤練習(xí)1向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a() A1B0 C1D2 解析a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1,C,命題方向利用坐標(biāo)解決向量的夾角問題,(1)已知三點(diǎn)A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC的余弦值； (2)a(3,0)，b(5,5)，求a與b的夾角,典例 2,規(guī)律總結(jié)用坐標(biāo)求兩個(gè)向量夾角的四個(gè)步驟： (1)求ab的值

5、； (2)求|a|b|的值； (3)根據(jù)向量夾角的余弦公式求出兩向量夾角的余弦； (4)由向量夾角的范圍及兩向量夾角的余弦值求出夾角,跟蹤練習(xí)2設(shè)a(4，3)，b(2,1)，若atb與b的夾角為45，求實(shí)數(shù)t的值,利用平行、垂直求參數(shù),借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數(shù)的值，是向量運(yùn)算的重要應(yīng)用之一，具體做法就是借助abab(R，b0)x1y2x2y10或abab0 x1x2y1y20(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)列關(guān)于某參數(shù)的方程(或方程組)，然后解之即可,思路分析找出相互垂直的向量，利用向量垂直的坐標(biāo)表示公式列方程求k即可,典例 3,規(guī)律總結(jié)解決本題的關(guān)鍵是要判斷ABC中哪個(gè)內(nèi)

6、角為直角，故應(yīng)進(jìn)行分類討論，不能只認(rèn)為某個(gè)角就是直角，結(jié)果只考慮一種情況而導(dǎo)致漏解,跟蹤練習(xí)3已知三個(gè)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(3，4)、(6，3)、(5m，3m)，若ABC為直角三角形，且A為直角，求實(shí)數(shù)m的值,忽視向量共線致誤,典例 4,錯(cuò)因分析以上錯(cuò)解是由于思考欠全面，由不等價(jià)轉(zhuǎn)化而造成的如當(dāng)a與b同向時(shí)，即a與b的夾角0時(shí)cos10，此時(shí)2，顯然是不合理的 思路分析對(duì)非零向量a與b，設(shè)其夾角為，則為銳角cos0且cos1ab0且amb(m0)；為鈍角cos0且cos1ab0且amb(m0)；為直角cos0ab0,點(diǎn)評(píng)對(duì)于非零向量a與b，設(shè)其夾角為，則為銳角cos0，且cos1ab0，且

7、amb(m0)；為鈍角cos0，且cos1ab0，且amb(m0)；為直角cos0ab0,跟蹤練習(xí)4設(shè)a(2，x)，b(4,5)，若a與b的夾角為鈍角，求x的取值范圍,C,2已知向量a(x5,3)，b(2，x)，且ab，則由x的值構(gòu)成的集合是() A2,3 B1,6 C2 D6 解析考查向量垂直的坐標(biāo)表示，a(x5,3)，b(2，x)， ab，ab2(x5)3x0，解之得x2，則由x的值構(gòu)成的集合是2,C,3已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，則ABC的形狀是() A直角三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D等邊三角形,A,4已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則() A4 B3 C2 D1 解析本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的條件 mn(23,3)，mn(1，1)， (mn)(mn)， (mn)(mn)2330，3,B,5已知向量a與b同向，b