1、第二講推理與證明,重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握合情推理和演繹推理 能熟練地運(yùn)用綜合法和分析法證題 難點(diǎn)：用綜合法、分析法、反證法證題的思路,知識(shí)歸納 1推理的概念 根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)(或假設(shè))得出一個(gè)判斷，這種思維方式叫推理，推理一般有兩部分組成：前提和結(jié)論 推理一般分為合情推理和演繹推理兩類,(1)歸納推理 根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種特征，推出該類事物的所有對(duì)象都具有這種特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)，歸納推理是由部分到整體，由特殊到一般的推理 歸納推理的一般步驟： 通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì) 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜

2、想),2合情推理 前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理叫合情合理數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的合情推理是歸納和類比推理,(2)類比推理 根據(jù)兩類不同對(duì)象之間具有的某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征推測(cè)另一類事物也具有這些特征的推理叫類比推理 類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結(jié)論可能是真的所以類比推理屬于合情推理 類比推理的一般步驟： 找出兩類對(duì)象之間的相似性或一致性 用一類對(duì)象具有某種性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象可能具有這種性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想),3演繹推理 從一般性的原理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推導(dǎo)出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理形式稱作演繹推理演繹推理是從一般到特殊的推理 它的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，

3、結(jié)論必然為真,(1)三段論推理 在推理中：“若bc，而ab，則ac”，這種推理規(guī)則叫三段論推理它包括： 大前提已知的一般性原理M是P 小前提所研究的特殊情況S是M 結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷S是P，三段論推理是演繹推理的一般模式 (2)假言推理 假言推理的規(guī)則是：“若pq，p真，則q真” 它的本質(zhì)是，通過(guò)驗(yàn)證結(jié)論的充分條件為真，從而判斷結(jié)論為真,(3)關(guān)系推理 推理規(guī)則是：“如果aRb，bRc，則aRc”(其中R表示具有傳遞性的關(guān)系)，這種推理叫關(guān)系推理，如：由ab，bc，推出ac，若ab，bc，則ac，都是關(guān)系推理 (4)完全歸納推理 把所有情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則叫做完全歸

4、納推理,4直接證明 直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理、法則等，直接推證結(jié)論的真實(shí)性 (1)綜合法 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法叫做綜合法綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法 綜合法的證明步驟用符號(hào)表示是： P0(已知)P1P2Pn(結(jié)論),(2)分析法 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件或定理、定義、公理等)為止，這種證明方法稱為分析法 分析法是一種執(zhí)果索因的證明方法，用分析法證明的邏輯關(guān)系是：B(結(jié)論)B1B2BnA

5、(已知) 分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看需知，逐步靠攏“已知”，其每步推理都是尋求使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸納為判定一個(gè)明顯成立的條件為止,綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是尋找使每一步結(jié)論成立的必要條件,5反證法 一般地，由證明pq，轉(zhuǎn)向證明qrt，而t與已知矛盾或與某個(gè)真命題矛盾，從而判定q為假，推出q為真的證明方法叫做反證法 反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，通過(guò)正確、嚴(yán)密的邏輯推理，由此引出一個(gè)新的結(jié)論，而這個(gè)新結(jié)論與已知矛盾，從而肯定原結(jié)論是正確的一種間接證明方法 這里所謂的“與已知矛盾”主要是指： (1)與假設(shè)自相矛盾 (2)

6、與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾 (3)與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾,反證法主要適用于以下情形： 結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題； 關(guān)于唯一性、存在性的命題； 結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題； 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題； 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰的命題 如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形,誤區(qū)警示 1用作商比較法時(shí)，要注意除式的符號(hào)，否則易出錯(cuò)因?yàn)?1，若B0，有AB，但若B0，則有AB. 2分析法的過(guò)程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件,1綜

7、合法往往是分析法的逆過(guò)程，表述簡(jiǎn)單，條理清楚，所以實(shí)際證題時(shí)，可將分析法、綜合法結(jié)合起來(lái)使用，即：分析找思路，綜合寫(xiě)過(guò)程 2用反證法證題時(shí)，首先要搞清反證法證題的方法，其次注意反證法是在條件較少，不易入手時(shí)常用的方法,反證法還常常用在要證的結(jié)論中含有許多種情形，而結(jié)論的反面則有較少或僅一種情形的命題的證明中，要注意否定原命題時(shí)，要準(zhǔn)確無(wú)誤 3在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤,解析： 在n邊形A1A2An中： (n3) 點(diǎn)評(píng)：歸納出的一般性結(jié)論，要能使已知的結(jié)論為其特殊情形,觀察下列已知的恒等式： 據(jù)此猜想出

8、一個(gè)一般性結(jié)論_,答案：,例2(文)在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2AC2BC2.”拓展到空間，類比平面幾何定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則_”,解析：設(shè)ABa，ACb，ADc. 三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩垂直， AB、AC、AD兩兩垂直,(理)如圖(1)，過(guò)四面體VABC的底面內(nèi)任一點(diǎn)O分別作OA1VA，OB1VB，OC1VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側(cè)面交點(diǎn),分析：考慮平面上的類似命題：“過(guò)ABC底邊AB上任一點(diǎn)O分別作OA1AC，OB1

9、BC，分別交BC，AC于A1，B1，求證 為定值” 這一命題利用相似三角形的性質(zhì)很容易推出其為定值1.另外，過(guò)A，O分別作BC垂線，過(guò)B，O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1.于是類比到空間圖形，也可用兩種方法證明其定值為1.,證明：如圖(2)，設(shè)平面OA1VABCM，平面OB1VBACN，平面OC1VCABL，則有MOA1MAV，NOB1NBV，LOC1LCN.得 在底面ABC中，由于AM，BN，CL交于一點(diǎn)O，,點(diǎn)評(píng)：(1)用現(xiàn)代的眼光看，類比就是兩個(gè)同構(gòu)關(guān)系的模型間的推理，模型間的同構(gòu)關(guān)系，即它們結(jié)構(gòu)或功能上存在的某種對(duì)應(yīng)性(相似性)，它是進(jìn)行類比推理的依據(jù) (2)本例中的三角

10、形與四面體就是平面與空間中的兩個(gè)常見(jiàn)具有同構(gòu)關(guān)系的模型，因而四面體中的很多性質(zhì)及證明方法都可以通過(guò)三角形中的性質(zhì)及證明方法類比得到 (3)數(shù)學(xué)中其他一些常見(jiàn)的具有同構(gòu)關(guān)系的模型有：等式與不等式、分?jǐn)?shù)與分式、橢圓與雙曲線、等差數(shù)列與等比數(shù)列、長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方體、圓與球等,在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式_成立,解析：解法1：從分析所提供的性質(zhì)入手：由a100，可得aka20k0，因而當(dāng)n19n時(shí)的情形. 由此可知：等差數(shù)列an之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在等差數(shù)列中有性質(zhì)：an1a

11、19n2a100，類似地，在等比數(shù)列bn中，也有性質(zhì)：bn1b17nb1，因而得到答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*),解法2：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中有“和”的性質(zhì)a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，故在等比數(shù)列bn中，由b91，可知應(yīng)有“積”的性質(zhì)b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立(1) 證明如下：當(dāng)n8時(shí)，等式(1)為b1b2bnb1b2bnbn1b17n 即：bn1bn2b17n1.(2) b91，bk1b17kb 1. bn1 bn2b17nb 1. (2)式成立，即(1)式成立；,當(dāng)n8時(shí)，(1)式即：b91顯然成立； 當(dāng)8n17時(shí)，(1)式

12、即： b1b2b17nb18nbnb1b2b17n 即：b18nb19nbn1(3) b91，b18kbkb 1 b18nb19nbnb 1 (3)式成立，即(1)式成立 綜上可知，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列bn滿足b91時(shí)，有： b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立 答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*),如圖是三個(gè)拼在一起的正方形， 求證： .,如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，點(diǎn)E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)求證： (1)EF平面ACD； (2)平面EFC平面BCD.,證明：(1)E、F分別為AB、BD的中點(diǎn)，EFAD， 又AD平面ACD，EF平面ACD，EF平面A

13、CD. (2),例4在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：ABC為等邊三角形 分析：要證明三角形ABC為正三角形，可證三條邊相等或三個(gè)角相等 證明：由A、B、C成等差數(shù)列，有2BAC. 因?yàn)锳、B、C為ABC的內(nèi)角， 所以ABC.,由得，B . 由a、b、c成等比數(shù)列，有b2ac. 由余弦定理及可得， b2a2c22accosBa2c2ac. 再由得，a2c2acac. 即(ac)20，因此ac. 從而有AC. 由得，ABC . 所以ABC為等邊三角形.,例5已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，A、B、C的對(duì)邊分別為a

14、、b、c，求證： 證明：要證,0B180，只需證B60， A、B、C成等差數(shù)列，B60成立 因此原結(jié)論成立 點(diǎn)評(píng)：把以上各步逆寫(xiě)出來(lái)就是綜合法的證題過(guò)程.,例6若p0，q2，即p2q， p3(2q)3812q6q2q3，即812q6q2(q3p3)0， 612q6q20，那么q22q10，(q1)20與(q1)20相矛盾， 故假設(shè)不成立，pq2.,點(diǎn)評(píng)：1.條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系不是很明顯，直接證明無(wú)從著手，可考慮使用反證法. 2反證法是常用的一種重要的思維方式和數(shù)學(xué)方法，在平面幾何、不等式及立體幾何中有著廣泛的應(yīng)用，反證法的一般步驟為： (1)反設(shè)：即作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)； (2)歸謬

15、：將所作的假設(shè)為依據(jù)，通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾； (3)下結(jié)論：判斷產(chǎn)生矛盾的原因在于所作的假設(shè)是錯(cuò)誤的，因此原命題正確,3正確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)，是正確運(yùn)用反證法的前提，要注意一些常見(jiàn)結(jié)論的“否定形式”如“至少有一個(gè)”、“至多有一個(gè)”、“都是”的否定形式分別是“一個(gè)也沒(méi)有”、“至少有兩個(gè)”、“不都是” 4在推理時(shí)導(dǎo)致的矛盾是多種多樣的可能是：與已知矛盾；與公理、定義、定理、公式矛盾；也可以與反設(shè)矛盾或自相矛盾作出反設(shè)后，可把反設(shè)也當(dāng)做已知條件的一部分，和原來(lái)的已知條件合并在一起，用它們的全部或部分進(jìn)行推理，由于選的條件不同，得出的矛盾也不同可見(jiàn)矛盾是在推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的，而不是推理之

16、前設(shè)計(jì)或確定的,設(shè)直線a平面，點(diǎn)A，Ab，ab，求證b. 證明：假設(shè)b，a，A，Aa，點(diǎn)A與直線a可確定一個(gè)平面，與有公共點(diǎn)A，必有經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的交線l，a，al，又ba，bl.這與b和l有公共點(diǎn)A矛盾，原假設(shè)不成立，故b.,一、選擇題 1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2)，而a11，通過(guò)計(jì)算a2、a3、a4，猜想an() 答案B,解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1 Sn1Sn(n1)2an1n2an an1(n1)2an1n2an，,2(09山東)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x) ，則f(2009)的值為() A1 B0 C1D2 答案C,解析當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(x1)f(

17、x2) f(x2)f(x3)f(x2) f(x3) f(x6)f(x6) 函數(shù)的周期T6. f(2009)f(63345)f(5)f(1)log221.,3(文)已知ab0，且ab1,0q Bpq Cpq Dpq 答案B,(理)用Maxa1，a2，an表示數(shù)集a1，a2，an中最大的一個(gè)數(shù)，則對(duì)于a0、b0且ab，設(shè)f(x) x， (),答案D,二、填空題 4如圖數(shù)表滿足：(1)第n行首尾兩數(shù)均為n；(2)表中遞推關(guān)系類似楊輝三角下一行除首尾兩數(shù)外，每一個(gè)數(shù)都是肩上兩數(shù)之和記第n(n1)行第2個(gè)數(shù)為f(n)，根據(jù)數(shù)表中上下兩行數(shù)據(jù)關(guān)系，可以得到遞推關(guān)系：f(n)_，并可解得通項(xiàng)f(n)_.,答

18、案f(n)f(n1)n1；f(n) 解析 觀察圖表知f(n)等于f(n1)與其相鄰數(shù)n1的和 遞推關(guān)系為f(n)f(n1)n1， f(n)f(n1)n1， 即f(2)f(1)1， f(3)f(2)2， f(4)f(3)3， f(n)f(n1)n1， 相加得f(n) .,5對(duì)于非零實(shí)數(shù)a、b，以下四個(gè)命題都成立： a 0；(ab)2a22abb2；若|a|b|，則ab；若a2ab，則ab.那么，對(duì)于非零復(fù)數(shù)a、b，仍然成立的命題的所有序號(hào)是_ 答案 解析對(duì)于，當(dāng)ai時(shí)，a i ii0，故不成立對(duì)于，由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的性質(zhì)知，仍然成立對(duì)于，取a1，bi，則|a|b|，但ab，故不成立，故填.,三、解答題 解析證法1：(作