1、一.幾個實例： 1. 曲邊梯形的面積： 曲邊梯形：三條邊是直線，其中兩條互相平行， 第三條與 前兩條垂直，另一邊是曲線 弧( 如圖).,求由曲線弧 y= f(x) (連續(xù)) (f(x)0), x=a, x=b, y=0 圍成的曲邊梯形的面積 A。,第1節(jié) 定積分,第3章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用,(1).任取一組分點 把區(qū)間 a, b分成 n個小區(qū)間,-分割,(2).任取 則第 i個小曲邊梯形的面積為,-取近似,-取極限,(3).整個曲邊梯形的面積,-求和,1). 任取 把 a, b分成 n 段,(2). 任取 則在時間段 上可看成 等速運動,因而在 上走過的路程,2. 變速直線運動的路程:,(

2、3). 總路程,設(shè)一物體作變速直線運動, 速度v=v(t)(v(t) 0)連續(xù),求從時刻 a 到時刻 b 所經(jīng)過的路程 s ?,設(shè)一質(zhì)點M在與ox 軸平行, 大小為F(x) 的力作用下, 從x=a 運動到 x=b, 求所作的功W。,(1). 任取 把a, b分成n個小區(qū)間,(2). 任取 則在 上所做的功,3. 變力做功:,(3).,二. 定積分的概念,定義1 設(shè) f ( x ) 在a, b上有界,任取一組分點 ,把區(qū)間 a, b 分成 n個 小區(qū)間 小區(qū)間的長度 為 . 任取 作和式 .,如果不論 a,b 的分法和 的取法如何, 時和式 的極限存在, 且此極限值與a, b的分法和 的取法無

3、關(guān), 則稱此極限值為f(x) 在a,b上的定積分, 記為,若 f 在a, b上的定積分存在，則稱 f ( x) 在a, b上可積,注. 由定義知, 定積分是一個與積分變量x 的記號無關(guān) 的常數(shù), 而只與被積函數(shù) f(x) 和積分區(qū)間a, b有關(guān),即,(1). 設(shè) ，則 f (x) 在a, b 上可積, 反之未必。,2. 什么條件下, f(x) 在a, b 上可積？,(3).若函數(shù) f 在a, b 上單調(diào)且有界, 則 f 在 a, b 上 可積。,(2). 若函數(shù) f 在a, b 上有界, 且只有有限個間斷點, 則 f 在 a, b 上可積。反之，若 f 在a, b 上可積，則 f 在a, b

4、上必有界。,(4) 若 f (x) 在a, b 上可積，則改變f (x)在有限多個點 處的值后所得到的函數(shù)在a, b 上仍可積，且值不變。,3.,曲線弧 y= f (x) (f (x)0)與直線 x=a, x=b, y=0 圍成的曲邊梯形的面積,. 若已知 f (x) 可積，則說明積分值與a, b 的分法和,例求,解 ,故 f(x) 在0, 1 上可積，將0,1 n 等分，每個小區(qū)間的長度取,的取法無關(guān)， 故可取一種易于運算的特殊分法與特殊的來求定積分。,例試將下列和式的極限表示為定積分：,三.定積分的性質(zhì),8. (廣義積分中值定理),定積分的幾何意義：,當(dāng) f(x)0, ab 時，表示 y =