1、二次函數背景下的多解問題湖北省蘄春縣劉河中學 龔自輝 （郵編：435325）以二次函數為背景的多解問題，因其作用的特殊性和其個性特征的多樣性頻頻亮相于中考試題，尤其是以“分類討論”或“存在性”為呈現形式的中考熱點，更表現出了其個性魅力?，F選取幾例2013年中考試題“多點與二次函數”作一簡析，僅供學習參考。1. 多點在拋物線上例1（2013年德宏州23題）如圖，已知直線y=x與拋物線交于A、B兩點（1）求交點A、B的坐標；（2）記一次函數y=x的函數值為y1，二次函數的函數值為y2若y1y2，求x的取值范圍；（3）在該拋物線上存在幾個點，使得每個點與AB構成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個

2、滿足條件的點P的坐標解：（1）如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，解得，或，A（0，0），B（2，2）；（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）一次函數y=x的函數值為y1，二次函數的函數值為y2當y1y2時，根據圖象可知x的取值范圍是：0x2；（3）該拋物線上存在4個點，使得每個點與AB構成的三角形為等腰三角形理由如下：A（0，0），B（2，2），B=2根據題意，可設P（x，x2）當PA=PB時，點P是線段AB的中垂線與拋物線的交點易求線段AB的中垂線的解析式為y=x+2，則，解得，P1（1，3+），P2（1，3）；當PA=AB時，根據拋物線的對稱性知，點P與點B關于y軸對稱，即P3

3、（2，2）；當AB=PB時，點P4的位置如圖所示綜上所述，符號條件的點P有4個，其中P1（1，3+），P2（1，3），P3（2，2）評析：根據題意可以列出關于x、y的方程組，通過解方程組可以求得點A、B的坐標；利用函數圖象可以直接回答問題；等腰三角形以AB為腰和以AB為底進行分類討論2. 多點在拋物線的對稱軸上例2（2013年撫順26題）如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內，F為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求

4、點F的坐標；（3）點P從點D出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值解：（1）y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，當y=0時，x=3，即A點坐標為（3，0），當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3），將A（3，0），B（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得，拋物線的解析式為y=x22x+3；（2）如圖1，設第三象限內的點F的坐標為（m，m22m+3），則m0，m22m+30y=x22x+3=（x+1）2+4，對稱軸為直線x=1，頂點D的坐標為（1，4），設拋物線的對稱軸與

5、x軸交于點G，連接FG，則G（1，0），AG=2直線AB的解析式為y=x+3，當x=1時，y=1+3=2，E點坐標為（1，2）SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=22+2（m2+2m3）2（1m）=m2+3m，以A、E、F為頂點的三角形面積為3時，m2+3m=3，解得m1=，m2=（舍去），當m=時，m22m+3=m23m+m+3=3+m+3=m=，點F的坐標為（，）；（3）設P點坐標為（1，n）B（0，3），C（1，0），BC2=12+32=10分三種情況：如圖2，如果PBC=90，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n3）2+10=（1+1）2+（n0）2，化簡整理得6n=1

6、6，解得n=，P點坐標為（1，），頂點D的坐標為（1，4），PD=4=，點P的速度為每秒1個單位長度，t1=；如圖3，如果BPC=90，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n3）2+（1+1）2+（n0）2=10，化簡整理得n23n+2=0，解得n=2或1，P點坐標為（1，2）或（1，1），頂點D的坐標為（1，4），PD=42=2或PD=41=3，點P的速度為每秒1個單位長度，t2=2，t3=3；如圖4，如果BCP=90，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n0）2=（0+1）2+（n3）2，化簡整理得6n=4，解得n=，P點坐標為（1，），頂點D的坐標為（1，4），

7、PD= 4+=，點P的速度為每秒1個單位長度，t4= ；綜上可知，當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形評析：先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；設第三象限內的點F的坐標為（m，m22m+3），運用配方法求出拋物線的對稱軸及頂點D的坐標，再設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，根據SAEF=SAEG+SAFGSEFG=3，列出關于m的方程，解方程求出m的值，進而得出點F的坐標；設P點坐標為（1，n）先由B、C兩點坐標，運用勾股定理求出BC2

8、=10，再分三種情況進行討論。3. 多點在拋物線所在的坐標軸上例3（2013年懷化24題）已知函數（k是常數）（1）若該函數的圖象與x軸只有一個交點，求k的值；（2）若點M（1，k）在某反比例函數的圖象上，要使該反比例函數和二次函數都是y隨x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設拋物線與x軸交于A（，0），B（，0）兩點，且，在y軸上，是否存在點P，使ABP是直角三角形？若存在，求出點P及ABP的面積；若不存在，請說明理由解：（1）若k=0，則是一次函數，與x軸只有一個交點，滿足條件；若k0，則（k0）是二次函數，由=b24ac=46k=0，得k=k=0或（2）設反比例函數解

9、析式為：y=，點M（1，k）在反比例函數圖象上，m=ky=由反比例函數的性質可知，當y隨x的增大而增大時，須滿足條件：k0，x0二次函數，拋物線開口向下，其對稱軸為直線x=，當y隨x的增大而增大時，須滿足條件：k0，x綜上所述，要使該反比例函數和二次函數都是y隨x的增大而增大，須滿足條件：k0，x（3）存在拋物線解析式為：，令y=0，即，+=， =（+）22=1，即：（）22=1整理得：k2+3k4=0，解得：k=4或k=1又拋物線與x軸有兩個交點，=46k0，解得k，k=1不符合題意，舍去，k=4拋物線的解析式為：y=4x22x+=4 y=（x+）2+令y=0，解得x=，A（，0），B（，0

10、）畫出函數大致圖象如下，則OA=，OB=，AB=以AB為直徑作圓，由圖象可見，圓與y軸的交點有2個，因此所求的點P有兩個連接PA、PB，易證PAOBPO，OP2=OAOB=，OP=SABP=ABOP=綜上所述，存在兩個滿足條件的點P點P的坐標為（0，）或（0，），ABP的面積為評析：注意分類討論：若k=0，函數為一次函數；若k0，函數為二次函數，根據其=0求解即可；根據反比例函數和二次函數的增減性，綜合確定k應滿足的條件和x的取值范圍；由題意，先根據一元二次方程根與系數關系，求出k的值，從而得到拋物線的解析式，畫出拋物線的大致圖象，以AB為直徑作圓，圓與y軸的兩個交點即為所求之點P；最后利用相

11、似三角形求出點P的坐標和ABP的面積4. 多點在拋物線所在的坐標平面內例4（2013年義烏市23題）小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換如圖ABC，DEF均為等腰直角三角形，各頂點坐標分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（，0），F（1）他們將ABC繞C點按順時針方向旋轉45得到請你寫出點的坐標，并判斷和DF的位置關系； （2）他們將ABC繞原點按順時針方向旋轉45，發(fā)現旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上請你求出符合條件的拋物線解析式；（3）他們繼續(xù)探究，發(fā)現將ABC繞某個點旋轉45，若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上，則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的

12、坐標請你直接寫出點P的所有坐標解：（1）A1（2，1+），B1（2+，1+）A1C和DF的位置關系是平行（2）ABC繞原點按順時針方向旋轉45后的三角形即為DEF，當拋物線經過點D、E時，根據題意可得：，解得y=x212x+；當拋物線經過點D、F時，根據題意可得：，解得y=x211x+；當拋物線經過點E、F時，根據題意可得：，解得y=x213x+（3）在旋轉過程中，可能有以下情形：順時針旋轉45，點A、B落在拋物線上，如答圖1所示：易求得點P坐標為（0，）；順時針旋轉45，點B、C落在拋物線上，如答圖2所示：設點B，C的橫坐標分別為，易知此時BC與一、三象限角平分線平行，設直線BC的解析式為y

13、=x+b， 聯立y=x2與y=x+b得：x2=x+b，即x2xb=0，+=1，=bBC=1，根據題意易得：|=，（）2=，即（+）24=1+4b=，解得b=x2x+=0，解得x=或x=點C的橫坐標較小，x=當x=時，y=x2=，P（，）；順時針旋轉45，點C、A落在拋物線上，如答圖3所示：設點C，A的橫坐標分別為，易知此時CA與二、四象限角平分線平行，設直線CA的解析式為y=x+b，聯立y=x2與y=x+b得：x2=x+b，即x2+xb=0，+=1，=bCA=1，根據題意易得：|=，（）2=，即（+）24=1+4b=，解得b=x2+x+=0，解得x=或x=點C的橫坐標較大，x=當x=時，y=x2=，P（，）；逆時針旋轉45，點A、B落在拋物線上因為逆時針旋轉45后，直線AB與y軸平行，因為與拋物線最多只能有一個交點，故此種情形不存在；逆時針旋轉45，點B、C落在拋物線上，如答圖4所示：與同理，可求得：P（，）；逆時針旋轉45，點C、A落在拋物線上，如答圖5所示：與同理，可求得：P（，）綜上所述，點P的坐標為：（0，），（，），（，），（，）評析：由旋轉性質