1、第二章 質(zhì)點組力學(xué),2.1 質(zhì)點組,質(zhì)點組的定義:,二. 質(zhì)點組的研究方法,原則上可以采用隔離法，但若質(zhì)點的數(shù)目太多，則未知量太多,使得微分方程的求解十分困難。,2.用整體法研究質(zhì)點組的整體運動規(guī)律。,例如：地球與月亮：兩個質(zhì)點 太陽系：許多質(zhì)點 桌子：無窮個質(zhì)點,有相互作用的質(zhì)點的集合。,2.外力：質(zhì)點組外的物體作用于質(zhì)點組 任意質(zhì)點的力。,三. 內(nèi)力與外力,3.質(zhì)點組的整體運動規(guī)律確定后，再采用隔離法確定各個質(zhì)點的運動規(guī)律。,4.本章將主要討論幾個描述質(zhì)點組整體運動規(guī)律的普遍定理和守恒律。,1.內(nèi)力：質(zhì)點組中質(zhì)點間的相互作用力。,3.內(nèi)力的性質(zhì),（1）質(zhì)點組內(nèi)力之和為零,（2）內(nèi)力對某點O

2、的力矩之和為零,（3）內(nèi)力做功之和一般不為零,若 ,則 ,質(zhì)點間距離不變化(剛體),若 ,則 ,質(zhì)點間距離變化(一般質(zhì)點組),四. 質(zhì)心(Center of mass),由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點組，質(zhì)量分別為 , 質(zhì)點組中恒存在一特殊點,它的運動可反映質(zhì)點組的整體運動，而且很容易確定，該特殊點就是質(zhì)心。,質(zhì)心速度：,質(zhì)心加速度：,質(zhì)心坐標(biāo)：,2.2 動量定理與動量守恒律,一、動量定理,1.質(zhì)點組總動量,2.相對運動的動量表述,S系中：,其中：,3.質(zhì)心坐標(biāo)系( 系為為質(zhì)心系),質(zhì)點組對質(zhì)心坐標(biāo)系的總動量為零,4、動量定理(慣性系S),單個質(zhì)點動量定理：,將上式對質(zhì)點數(shù)目求和：,質(zhì)點組動量定理：,與

3、內(nèi)力無關(guān),單個質(zhì)點動量定理：,將上式對質(zhì)點數(shù)目求和：,質(zhì)點組動量定理：,5、動量定理(非慣性平動系 ),二、質(zhì)心運動定理(慣性系S),質(zhì)心運動定理,由慣性系中的質(zhì)點組動量定理,也可由質(zhì)心系(非慣性系)中的質(zhì)點組 動量定理推導(dǎo),例1：剪切金屬的剪床是由曲柄連桿機構(gòu)OAB構(gòu)成的，活動 的刀具裝在滑塊B上，而固定的刀具則裝在基礎(chǔ)C上。設(shè)曲柄 為均質(zhì)體，其長為 ，輕連桿長為 。曲柄以勻角速度 繞軸 O轉(zhuǎn)動。試求基礎(chǔ)對地面的壓力。,解：(1) 研究對象：物體系由質(zhì)量為 的曲柄，質(zhì)量為 的滑塊和活動刀，質(zhì)量 為 的基礎(chǔ)和外殼組成。,(2) 參考系：地面；坐標(biāo)系：oxy,(3) 受力分析：,(4) 運用質(zhì)心

4、運動定理,三、質(zhì)點組動量守恒定律,出發(fā)點：質(zhì)點組動量定理,例1：一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m，炮身及炮車質(zhì)量和 等于M。炮車可以自由地在鐵軌上反沖。如炮身與地面成角度 ， 炮彈對炮身的相對速度為 ，試求炮彈離炮身時對地面的速度 炮車的反沖速度 。,解: (1) 研究對象: 炮車和炮彈組成的質(zhì)點組,(2) 參考系: 地面，坐標(biāo)系: oxy,(3) 受力分析:,例2：水面上有一質(zhì)量為M，長為L的小船(船最初靜止),船上有一質(zhì)量為m的人，由船頭走到船尾，問船移動的距離為多少？(水的阻力不計，人運動的速度不為常量)。,解：,分析：人沿走的方向動量守恒,1.對象：系統(tǒng)（人和船） 2.參考系：地面,3

5、.建立坐標(biāo)系: (固定在船上),4.用動量守恒定律列方程,代入（1）式:,5.結(jié)果,方法二：用質(zhì)心運動定理求解,2.3 動量矩定理與動量矩守恒定律,一、質(zhì)點組對慣性系固定點O的動量矩定理,1.對慣性系固定點O的動量矩,2.相對運動的動量矩描述,系（平動系）,系（固定系）,3.在質(zhì)心系中分析以上四項,第一項：,質(zhì)心對O點的動量矩,第二項：,第三項：,第四項：,質(zhì)點組對慣性系固定點O的動量矩等于質(zhì)心對該固定 點的動量矩與質(zhì)點組對質(zhì)心的動量矩之矢量和。,4.質(zhì)點組對慣性系固定點O的動量矩定理,隔離第i個質(zhì)點：,將上式對質(zhì)點數(shù)目求和：,質(zhì)點組對慣性系固定點O 的動量矩定理,二、質(zhì)點組對慣性系固定點O的

6、動量矩守恒定律,動量矩分量守恒定律,質(zhì)點組對質(zhì)心的動量矩定理：,三、質(zhì)點組對非慣性系某點 的動量矩定理,四、質(zhì)點組對質(zhì)心的動量矩守恒定律,動量矩分量守恒定律,例1：在具有水平軸的滑輪上懸有一根繩子，繩子的兩端距 通過該軸水平面的距離為 與 ，兩個質(zhì)量分別為 與 的 人抓著繩子的兩端，他們同時開始以勻加速度向上爬并同時 到達滑輪軸所在的水平面，假設(shè)滑輪的質(zhì)量可忽略，且所有 的阻力也都忽略不計，問需多長時間，兩人可以同時到達？,解: (1) 研究對象：以兩人作為質(zhì)點組,(2) 參考系：地面,(3) 計算質(zhì)點組對固定點O的 力矩和動量矩,選逆時針為力矩和動量矩正方向,繩對兩人的拉力為一對內(nèi)力,解法二

7、：隔離二人并分別用牛頓第二定律,選地面為參照系,由方程(1)和(2)得,二人均以勻加速向上爬,注：若兩人質(zhì)量相等，且 ，至少有一個人 努力就可以同時到達頂端，爬繩所需時間則與兩 人的努力程度有關(guān)。,質(zhì)量不相等的兩人能同時到達頂端的前提條件,兩人能否同時到達頂端與他們共同努力的程度有關(guān)，但 誰較努力些則無關(guān)緊要。,解：可先確定質(zhì)心的運動規(guī)律，再確定m1,m2對質(zhì)心的運動規(guī)律。,1.對象：質(zhì)點組（m1,m2),2.參照系：地面； 坐標(biāo)系：o-xyz,例2:質(zhì)量分別為m1,m2的兩個質(zhì)點，用一長為a+b的無重剛性桿連接，c為質(zhì)心（如圖所示）。最初處于水平位置，突然給m2以 的速度，試求兩質(zhì)點此后的運

8、動規(guī)律？,3.受力分析,4.質(zhì)心運動定理,（不考慮內(nèi)力）,分量式：,解得：,其中：,質(zhì)心作豎直上拋運動,5.求m1，m2對質(zhì)心的運動,計算對質(zhì)心的合外力矩：,即任意時刻動量矩等于 初始時刻動量矩。,設(shè)t時刻桿的角速度為,質(zhì)點m1，m2相對質(zhì)心作勻角速轉(zhuǎn)動,則：,2.4 動能定理與機械能守恒定律,一、質(zhì)點組的動能,1.質(zhì)點組中第i個質(zhì)點的動能。,質(zhì)點組的動能,2.動能的相對運動描述,3. 柯尼希定理,引入質(zhì)心參照系,分析上式,第一項：,第二項：,第三項：,柯尼希定理,敘述：質(zhì)點組的動能等于質(zhì)心的動能與各質(zhì)點相對質(zhì)心的動能之和。,例題:一半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，直立在水平面上向前滾動而不滑動

9、，若圓心的速度為 ，求圓盤的動能,解：由柯尼希定理,圓盤相對于其質(zhì)心軸作定軸轉(zhuǎn)動,二、質(zhì)點組的動能定理(在慣性系S中),由第i個質(zhì)點的動能定理：,對質(zhì)點數(shù)目求和得，,敘述:質(zhì)點組動能的微分等于質(zhì)點組所受的外力與內(nèi)力的元功之和。,質(zhì)點組不受外力或合外力為零，動能不一定守恒。,三、機械能守恒定律(在慣性系S中),由質(zhì)點組動能定理:,四、質(zhì)點組對質(zhì)心的動能定理,引入質(zhì)心參照系，質(zhì)點組中第i個質(zhì)點的動能,對質(zhì)點數(shù)目求和：,敘述:質(zhì)點組對質(zhì)心系的動能的微分等于外力與內(nèi)力對質(zhì)心系的元功之和。,說明:(1)質(zhì)心系一般為非慣性系，但在質(zhì)心系中 質(zhì)點組的動能定理仍保持與慣性系中相同的形式。,(2)慣性力對質(zhì)點組

10、做功為零。,五、質(zhì)點組相對質(zhì)心系的機械能守恒定律,由質(zhì)點組對質(zhì)心的動能定理:,解：質(zhì)點組沒有受外力作用，兩質(zhì)點相互作用的內(nèi)力為 保守力，相對某慣性系質(zhì)點組動量守恒、機械能守恒。,（2）,聯(lián)立方程（1）、（2）解得,例1. 質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點以萬有引力吸引，開始時兩質(zhì)點靜止且距離為 。求兩質(zhì)點相距為 時兩質(zhì)點的速度。,解法二：在質(zhì)心系中求解,質(zhì)點組沒有受外力作用，兩質(zhì)點相互作用的內(nèi)力為保守力， 所以質(zhì)心作慣性運動，質(zhì)點組相對質(zhì)心系的機械能守恒。,（2）,解法三：通過兩質(zhì)點間的相對運動(視m2靜止)求解,返回,例2:質(zhì)量為m1的質(zhì)點，沿傾角為的光滑直角劈滑下，劈的質(zhì)量為m2，可在光滑水平面上

11、自由滑動，試求：質(zhì)點從靜止開始下滑距離 時的速度？,分析:,重力為保守力，地面支持力不做功，m1,m2之間的 相互作用內(nèi)力做功之和為零，質(zhì)點組機械能守恒。,解:(1)研究對象：質(zhì)點組（m1,m2),(2)參照系：水平面； 建立oxy坐標(biāo)系,(3)受力分析,（4）,設(shè)m1的速度為 ，m2的速度為 ，則,(1),(2),(3),聯(lián)立方程(1)(2)(3)(4)解得,2.5 兩體問題,一.什么是兩體問題,(2)問題的提出（地球繞太陽運動，月球繞地球 運動，雙星運動，電子繞原子核運動）,(1)兩體問題的定義,選擇慣性系o-xyz,二.先確定質(zhì)心的運動，再確定行星、太陽對質(zhì)心的運動,1. 確定系統(tǒng)(S,

12、 P)質(zhì)心的運動,在慣性系o-xyz中，由質(zhì)心運動定理,且系統(tǒng)的動量守恒，即,2. 確定行星和太陽相對質(zhì)心的運動,在質(zhì)心系(慣性系) 中，行星的動力學(xué)方程為,在慣性系o-xyz中，行星的動力學(xué)方程為：,太陽的動力學(xué)方程為：,（3）的形式和太陽固定不動時行星的動力學(xué)方程完全一樣。,說明：(1)若Mm，由上式引起的誤差極小，仍可以 將太陽視為靜止，可視為單體問題處理;,表明：考慮太陽的運動后，行星對太陽做圓錐曲線 運動，但質(zhì)量不為m，而是折合質(zhì)量 。,(4),可看作質(zhì)量為 的行星繞太陽的運動,(2)如果Mm不成立，兩質(zhì)量差別不大，則必須視為兩體問 題處理(如雙星運動);,(3)若考慮其他行星的吸引

13、，則為多體問題，一般只能用 微擾法(攝動法)近似求解；,P96 例題,(4),(5)應(yīng)用:如當(dāng)求一個質(zhì)點m1相對另一個質(zhì)點m2的運 動時，可認(rèn)為m2不動，但動力學(xué)方程中必須把m1 換成折合質(zhì)量 。即：,四.對開普勒第三定律的修正,說明:當(dāng)mM時，對開普勒定律的修正很小，但對質(zhì)量相近的雙星系統(tǒng)，必須考慮修正，雙星系統(tǒng)中可能有一顆星是暗星，可以根據(jù)兩體理論，由亮星的運動導(dǎo)致暗星的發(fā)現(xiàn)。,2.6 實驗室坐標(biāo)系與質(zhì)心坐標(biāo)系,一、實驗室坐標(biāo)系,即以大地為參照系(靜系) 研究力學(xué)問題。,實驗室中觀察一個粒子對另外一個粒子的散射,特點：由質(zhì)心運動定理，質(zhì)心 作勻速直線運動，碰撞過程中 動量守恒，質(zhì)點系的動量

14、為,若為完全彈性碰撞：總動能守恒,二、質(zhì)心坐標(biāo)系,在質(zhì)心坐標(biāo)系中觀察碰撞問題,結(jié)論：質(zhì)心靜止，開始兩個 質(zhì)點向質(zhì)心運動，散射后逐 漸遠離質(zhì)心。,分析：碰撞前后質(zhì)點組對質(zhì)心系 的相對總動量守恒且恒為零。,若為完全彈性碰撞：總動能守恒,標(biāo)量方程為,兩式相除得,對彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)的總動能不變,得,再根據(jù),最后得,一、變質(zhì)量物體的動力學(xué)方程(慣性系),t,t+t,對合并前后(即在t時間內(nèi))，對系統(tǒng)運用質(zhì)點組動量定理：,2.7 變質(zhì)量物體的運動,展開,取極限，并舍去二階小量,即,或者,二、討論,1、若dm0，說明主體的質(zhì)量在增大（合并）,2、若dm0，說明主體的質(zhì)量在減小（分離）,3、若 方程為（

15、如雨滴粘附問題）,注：m不是恒量,即：,4、若 方程為：,即：形式和定質(zhì)量物體的動力學(xué)方程一樣，差別在于此處m為t的函數(shù)。,例：一車廂在光滑的水平面上勻加速向右行駛， 車廂上方有一漏斗，裝有沙子，如圖：,注：m不是恒量,欲保持原加速度前進，F(xiàn)要增大。,5、反推力(火箭),由：,欲保持推力不變， m增大, 減小。,可寫成：,令：,下面分析一維情況：,例：從后面向小船上投沙袋。,例1: 雨點開始自由下落時的質(zhì)量為M，在下落過程中，單位 時間內(nèi)凝結(jié)在它上面的水汽質(zhì)量為 。略去空氣阻力，試求 雨點在t秒鐘后下落的距離。,解：1.研究對象：雨點,2.參照系：地面；建立坐標(biāo)系：以雨點 初始位置為o點，豎直

16、向下為x軸,4.用變質(zhì)量物體的動力學(xué)方程：,3.受力分析:,解法一：用變質(zhì)量物體的動力學(xué)方程求解,1.研究對象：空中部分鏈條。,2.參照系：地面；建立坐標(biāo)系：桌子邊緣為 o點，豎直向下為x軸，如右圖所示。,4.用變質(zhì)量物體的動力學(xué)方程：,3.受力分析,例2:長為 的均勻細鏈條伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向與桌面邊緣垂直，開始時鏈條靜止，一半從桌上下垂，如下圖所示。求鏈條末端滑到桌子邊緣時鏈條的速度 ？,設(shè)線質(zhì)量密度為，對桌面上一段用變質(zhì)量物體的動力學(xué)方程,(2),將(2)代入(1)得,注意：,(1),化簡得,兩邊積分：,得：,即：,拉力做功之和為零(鏈條不可伸長)，只有空中部分鏈條的重力做

17、功，故系統(tǒng)的機械能守恒,選桌面為零勢能位置,(1),受力分析：空中部分鏈的重力，桌面上鏈條的重力，桌面對其 上鏈條的支撐力以及鏈條內(nèi)部 的拉力(內(nèi)力)。,代入方程(1)得,化簡，得,即：,分析： (鏈條不可伸長),只有 空中部分鏈條的重力做功,(2)參照系：地面；建立oy坐標(biāo)系。,(3) 受力分析,例3:火箭在t時刻質(zhì)量為m0(1-t)，從t=0時靜止鉛直上升，噴射氣體相對火箭的速率為4g/。設(shè)大氣阻力為2m0v (v為火箭速度)。試證火箭到達高度g/(32) 時，火箭只有原來質(zhì)量的一半。(設(shè)g恒定，為常數(shù))。,(4) 列出火箭的運動微分方程,即：,即：,得：,積分：,小 結(jié),一. 基本要求,

18、1. 概念,質(zhì)點組；質(zhì)心；內(nèi)力、外力及其性質(zhì)； 慣性系；質(zhì)心系。,2. 掌握質(zhì)點組的動量定理，動量矩定理，動能定理。(慣性系，質(zhì)心系),3. 運用三個基本定理及守恒律和質(zhì)心運動定理求解質(zhì)點組動力學(xué)問題。,4. 兩體問題。,5. 變質(zhì)量物體的動力學(xué)問題。,二. 補充例題,解：,(1) 研究對象: 人船系統(tǒng)。,設(shè)人，船最初靜止，跳起瞬時，人的絕對速 度為 ,船的絕對速度為V。,(2) 參照系:河岸,(4)由質(zhì)點組對慣性系的動能定理,要保持一定的速度 向岸上跳，M越大，W越小，M越小，W越大。,(3) 水平方向動量守恒,. 一電機質(zhì)量為m放在光滑水平面上，有長為2l質(zhì)量為m1的均質(zhì)桿，一端與電機軸垂

19、直固定連接，另一端焊一質(zhì)量為m2的小球，如電機軸以轉(zhuǎn)動，求(1)電機的水平運動規(guī)律。(2)若用鏍栓將電機固定于地面，求鏍栓所受的力？,解：,(1).研究對象：質(zhì)點組（電機，桿，小球）,(2) 參照系：地面 坐標(biāo)系:o-xy,(4) 質(zhì)點組在水平方向 動量守恒,設(shè)電機最初靜止，則,(3) 受力分析,積分：,(4) 在ox方向運用質(zhì)心運動定理(電機被固定在地面上),解之得：,代入質(zhì)心運動定理：,由牛頓第三定律,(5) 在oy方向運用質(zhì)心運動定理,代入質(zhì)心運動定理：,解:(1) 參考系：地面； 建立坐標(biāo)系 o-xy,(3) 列方程,3. 長為 的輕繩兩端各系一質(zhì)量為m的小球，中央系一質(zhì)量為M的小球，三個小球均靜止于光滑的水平桌面上，繩處于拉直狀態(tài)，今給小球M一水平初速度 ( 和繩垂直)，求兩小球相碰瞬間，繩的張力？,(1),(2) 受力分析,(4) 由質(zhì)點組機械能守恒(內(nèi)力做功之和為零),(5) 系統(tǒng)在y軸方向動量守恒,聯(lián)立方程(1)-(5)求解：,(3),(4),(5),討論: 若給左邊小球初速度 ，確定系統(tǒng)此后的運動規(guī)律。,解:(1) 參考系：地面； 建立坐標(biāo)系 o-xy,(2)