1、請默寫：常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式：,1,回 顧,2,第七節(jié),一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù),第十二章,傅里葉級數(shù),3,傅里葉簡介(17681830) 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,他出身平民家庭,父親是位裁縫.9歲時父母雙亡,他被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng),12歲時主教送他到鎮(zhèn)上的軍校讀書,表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的特殊愛好,之后,他想當(dāng)炮兵或工程兵,但因家庭地位低貧而遭拒絕。1789年回到家鄉(xiāng)奧賽爾的母校教書. 傅里葉因熱心地方的公益事務(wù)而知名,還曾因替當(dāng)時恐怖行為的受害人申辯而入獄,出獄后,他又去巴黎師范讀書,為期甚短,但他的數(shù)學(xué)才華給人以深刻的印象.1795年,正好成立一

2、個新學(xué)校：巴黎綜合工科學(xué)校,即被任命為拉格朗日,蒙日的助教從事教學(xué)工作,這一年還被諷刺性地作為恐怖分子的支持者再次入獄,后經(jīng)同事營救而,4,釋.1798年,蒙日把他推薦給拿破侖遠(yuǎn)征埃及,任軍中文書和埃及研究院秘書,并從事外交活動,但同時他仍不斷進(jìn)行個人的業(yè)余研究,即數(shù)學(xué)物理方面的研究.1801年回國后,傅里葉希望繼續(xù)在巴黎綜合工科學(xué)校教書,但因拿破侖賞識他的行政才能,任命他為伊澤爾地區(qū)首府格列諾布爾的高級官員,由于政績卓著,1808年拿破侖又授予他男爵稱號,1815 傅里葉終于辭去爵位與官職,毅然返回巴黎以圖全力投入學(xué)術(shù)研究,后來,隨著政治局勢的動蕩，也幾經(jīng)沉浮,當(dāng)傅里葉處于一生中最艱難的時期

3、時, 得到了昔日同事與學(xué)生的關(guān)懷,為他謀得統(tǒng)計局主管之職,使他在工作之余有時間繼續(xù)從事研究. 1816年,傅里葉被提名為法國科學(xué)院的成員,開始因,5,他曾效力過拿破侖而被路易18所據(jù),后來,事實(shí)澄清,于1817年就職科學(xué)院,其聲譽(yù)又隨之迅速上升,他的任職得到了拉普拉斯的支持,卻不斷受到泊松的反對,1822年,終于成為科學(xué)院的終身秘書,這是極有權(quán)利的職位. 傅里葉一生為人正直,他曾對許多年輕的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家給予無私的支持和幫助,人緣極好,從而得到他們的忠誠愛戴,并成為他們的至交好友.如：奧斯特、狄里克雷、阿貝爾等 . 傅里葉的主要成就在于他的熱傳導(dǎo)問題的研究,以及使用的數(shù)學(xué)方法.他的著作熱的解析

4、理論(1822) 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題最卓越的工具.,6,一、問題的提出,簡單的周期運(yùn)動 :,(諧波函數(shù)),( A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動 :,令,得函數(shù)項(xiàng)級數(shù),為角頻率,(諧波迭加),稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).,7,二、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,1.三角級數(shù)的定義,其中 都是常數(shù).,2.三角函數(shù)系的正交性,(1)三角函數(shù)系的定義：組成三角級數(shù)的函數(shù)系,(2) 三角函數(shù)系的正交性,正交 ,上的積分等于0 .,即其中任兩個不同的函數(shù)之積在,8,證:,同理可證 :,9,上的積分不等于 0 .

5、,且,但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在,10,三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),問題:,1)若能展開為三角級數(shù),怎樣確定,與f (x)有何關(guān)系?,2)展開的條件是什么?,收斂時其和函數(shù)是f (x)嗎？,收斂嗎？,11,定理 1 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且,若右端級數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有,1. 傅里葉系數(shù)及傅里葉級數(shù),12,13,14,15,傅里葉系數(shù) ;,以,的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù),的傅里葉級數(shù) .,稱為,(歐拉公式),16,(歐拉公式),問題:,條件？,17,2. 收斂定理（狄利克雷Dirichlet 充分條件）,定理2 (收斂定理, 展開定理),設(shè) f (x)

6、 是周期為2的,周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:,x 為f (x)的間斷點(diǎn),x 為f (x)的連續(xù)點(diǎn),注意到：函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.,18,若f (x) 的圖形：,則S (x) 的圖形：,19,注意:,1.請熟記收斂定理的條件與結(jié)論.,條件：,1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn);,2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點(diǎn),f (x) 的傅里葉級數(shù)處處收斂 , 且有和函數(shù),結(jié)論：,x 為f (x)的間斷點(diǎn),x 為f (x)的連續(xù)點(diǎn),設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù),x 為f (x)的連續(xù)點(diǎn)時,20,2. f (x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)

7、 S(x)與f (x)的關(guān)系：,(1)S(x)與f (x)的定義域相同，,(2)S(x)與f (x)的周期性相同,周期相等.,但函數(shù)值不一定相等.,x 為f (x)的連續(xù)點(diǎn)時,3. 將周期為2的周期函數(shù)f (x)展開為傅氏級數(shù)的步驟：,第一步：判斷f (x)是否滿足收斂定理的條件并,確定f (x)的間斷點(diǎn)（最好做出的圖形）.,第二步：計算f (x)的傅里葉系數(shù),（用歐拉公式）.,第三步：寫出f (x)的傅氏級數(shù)，并注明等式成立的范圍.,21,例1.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在, )上的表達(dá)式,解:,如圖：,22,例1. 設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在, )上的表達(dá)式,和函數(shù)如圖,

8、23,例1. 設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在, )上的表達(dá)式,24,例1.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在, )上的表達(dá)式,25,1) 根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于,2) 傅氏級數(shù)的部分和逼近,說明:,f (x) 的情況見右圖.,26,注意:,作法:,27,延拓前,延拓后,周期延拓,其它,傅里葉展開,上的傅里葉級數(shù),28,例2. 將函數(shù),則,解: 將 f (x)延拓成以,展成傅里葉級數(shù).,2為周期的函數(shù) F(x) ,F(x)滿足收斂定理的條件,且在整個實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù).,29,所求函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為:,30,利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.,當(dāng) x = 0 時, f (0) = 0 , 得,說明:,31,設(shè),已知,又,32,解:,(92考研),在,處收斂于 .,33,則,例4. 設(shè),提示:,(03 考研),回顧：多次