1、第三章,線性方程組,1,1 消元法,2 n維向量空間,3 線性相關(guān)性,4 矩陣的秩,5 線性方程組有解判別定理,6 線性方程組解的結(jié)構(gòu),第一節(jié) 消元法,2,1一般線性方程組是指形式為,(1),是方程的個數(shù) ;,的方程組，其中 代表 個未知量的系數(shù)，,稱為方程組的系數(shù)； 稱為常數(shù)項 。,一、一般線性方程組的基本概念,3,2方程組的解,設(shè) 是 個數(shù)，如果 分別用,代入后，(1)中每一個式子都變成恒等式,則稱有序數(shù)組 是（1）的一個解.,(1)的解的全體所成集合稱為它的解集合,解集合是空集時就稱方程組（1）無解,4,(1),3同解方程組,如果兩個線性方程組有相同的解集合，則稱它們,是同解的,5,(1

2、),線性方程組解的個數(shù)有哪幾種情況？,無解，,唯一解，,有兩個解？,設(shè),6,是方程組的兩個解，則,7,兩組等式兩邊分別乘以1/2后，相加得,也是方程組的解。,8,也是方程組的解。,第一組等式兩邊乘以1/3，第二組等式兩邊乘以2/3，相加得,9,也是方程組的解。,若,是方程組的兩個解，則,也都是方程組的解。,若方程組有兩個解，則一定有無窮多解。,顯然,10,(1),線性方程組的解有哪幾種情況？,無解，,唯一解，,無窮多解,例1解方程組,解,方程組(1)中第2個方程減去第1個方程的2倍， 第3個方程減去第1個方程，得,再將方程組(2)中第2個方程減去第3個方程的4倍，得,11,將方程組(3)中第2

3、，3方程交換，得,得方程組有唯一解,12,例2 解方程組,解,方程組(1)中第2個方程減去第1個方程的2倍， 第3個方程減去第1個方程，得,再將方程組(2)中第2個方程加上第3個方程，得,13,取遍所有實數(shù),整理得,解得,14,該方程組有無窮多解。,例3 解方程組,解,方程組(1)中第2個方程減去第1個方程， 第3個方程減去第1個方程的2倍，得,再將方程組(2)中第2個方程乘以1/2，得,15,此方程組無解。,方程組(3)中第3個方程減去第2個方程，得,16,定義線性方程組的初等變換是指下列三種變換, 用一個非零的數(shù)乘某一個方程；, 將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上；, 交換兩個方程的位置,性

4、質(zhì)線性方程組經(jīng)初等變換后，得到的線性方程,組與原線性方程組同解,2線性方程組的初等變換,17,例1解方程組,通過初等變換，化為,階梯形方程組中，方程個數(shù)為3，,未知數(shù)的個數(shù)為3，,此時，方程組有唯一解。,階梯形方程組,18,例2 解方程組,通過初等變換， 化為,階梯形方程組中，方程個數(shù)為2，,未知數(shù)的個數(shù)為3，,此時，方程組有無窮多解。,19,例3 解方程組,通過初等變換， 化為,階梯形方程組中，出現(xiàn) 0 = 3，,此時，方程組無解。,20,階梯形方程組中，方程個數(shù)為3，,未知數(shù)的個數(shù)為3，,方程組有唯一解。,21,階梯形方程組中，非零方程個數(shù)為2，,未知數(shù)的個數(shù)為3，,方程組有無窮多解。,階

5、梯形方程組中，出現(xiàn) 0 = 3，,方程組無解。,用初等變換將方程組化為,22,例4 解線性方程組,階梯形方程組中，非零方程個數(shù)為3，,未知數(shù)的個數(shù)為4，,此時，方程組有無窮多解。,用初等變換將方程組化為,23,例5 解線性方程組,24,階梯形方程組中，非零方程個數(shù)為4，,未知數(shù)的個數(shù)為4，,方程組有唯一解。,25,階梯形方程組中，非零方程個數(shù)為3，,未知數(shù)的個數(shù)為4，,此時，方程組有無窮多解。,階梯形方程組中，非零方程個數(shù)為4，,未知數(shù)的個數(shù)為4，,方程組有唯一解。,若階梯形方程組為,方程組無解。,用初等變換將方程組化為,26,例6 解線性方程組,階梯形方程組中，非零方程個數(shù)為3，,未知數(shù)的個

6、數(shù)為4，,此時，方程組有無窮多解。,用初等變換將方程組化為,27,例7 解線性方程組,階梯形方程組中，出現(xiàn) 0 = -4，,此時，方程組無解。,3利用初等變換解一般線性方程組 （化階梯方程組）,先檢查(1)中 的系數(shù)，若 全為零，,則 沒有任何限制，即 可取任意值，從而方程組,(1)可以看作是 的方程組來解,28,如果 的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)，,分別把第一個方程 的倍加 到第i個方程 ,(2),于是(1)就變成,其中,29,30,(2),依次下去，,最后就得到一個階梯形方程組.,這時去掉它們不影響方程組的解,方程組中的“”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn),也可能出現(xiàn)，,31,1,階梯形方程組,時，方程

7、組無解,時，方程組有解,32,1）若非零方程的個數(shù)等于未知數(shù),方程組有唯一解。,時，方程組有解,由Cramer法則知,此時方程組有無窮多個解。,事實上，任意給 一組值，,由方程組就唯一定出的 一組值,33,2）若非零方程的個數(shù)小于未知數(shù),這時方程組可化為,而,一般地，我們可以把,這樣一組表達(dá)式稱為方程組(1)的一般解，,表示出來,34,通過,稱為一組自由未知量,35,階梯形方程組中，非零方程個數(shù)為2，,未知數(shù)的個數(shù)為3，,方程組有無窮多解。,是自由未知量,整理得,回代,經(jīng)過初等變換化為階梯形方程組,用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，,若階梯形方程組中出現(xiàn)“0=非零常數(shù)”,否則有解。,方程個

8、數(shù) = 未知數(shù)個數(shù)，,有解的情況下：,36,在階梯形方程組中,有唯一解；,有無窮多解。,3利用初等變換解一般線性方程組 （化階梯方程組）,方程組無解，,階梯形方程組中，出現(xiàn) 0 = -6，,此方程組無解。,37,解線性方程組, , 2, , 2,練習(xí),38,解齊次線性方程組,2, ,2,階梯形方程組中，非零方程個數(shù)為2，,未知數(shù)的個數(shù)為4，,此時，方程組有無窮多解。,練習(xí),齊次線性方程組,39,一定有零解。,齊次線性方程組解的情況：,唯一零解，,無窮多解,齊次線性方程組,一定有無窮多解,三、齊次線性方程組的解,定理1 對齊次線性方程組,因為：,方程組化為階梯形后，階梯形方程組中，,故一定小于未

9、知數(shù)的個數(shù)n。,40,若方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)，,非零方程的個數(shù)不會超過原來方程的個數(shù) s，,即：如果 ，則它必有非零解。,則它必有無窮多解。,由 mn 個數(shù) 排成的 m 行 n 列的數(shù)表,稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣,記作,矩陣,定義,41,簡記為,元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.,這 mn 個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.,42,例如：,是一個 實矩陣,是一個 復(fù)矩陣,行數(shù)不一定等于列數(shù) 共有mn個元素 本質(zhì)上就是一個數(shù)表,行數(shù)等于列數(shù) 共有n2個元素,矩陣,行列式,43,nn 矩陣也稱為n 級方陣。,一個n 級方陣,定義一個n 級行列式,稱為矩

10、陣A的行列式，,記作|A|。,44,對線性方程組,(1),稱為方程組的系數(shù)矩陣,稱為方程組的增廣矩陣,45,46, ,2,47,4 ,48, ,線性方程組的初等變換, 用一個非零的數(shù)乘某一個方程；, 將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上；, 交換兩個方程的位置,對應(yīng)增廣矩陣的行變換, 用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行；, 將矩陣的某一行的倍數(shù)加到另一行；, 交換矩陣中兩行的位置,49,所謂矩陣的初等行變換是指下列三種變換, 用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行；, 將矩陣的某一行的倍數(shù)加到另一行；, 交換矩陣中兩行的位置,定義2,50,51,階梯形方程組,稱該種形式的矩陣為行階梯形矩陣,對應(yīng)的增廣矩陣為,定義

11、3,52,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,稱具有以下形式的矩陣為行階梯形矩陣。,53,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,不是行階梯形,例,54,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,不是行階梯形,例,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,定理,任何一個矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總

12、能變成行階梯形矩陣。,55,56,57,58,作為增廣矩陣，該矩陣對應(yīng)的線性方程組為,階梯形方程組,該方程組有無窮多解,階梯形矩陣中，,作為增廣矩陣，該矩陣對應(yīng)的線性方程組有無窮多解,非零行的行數(shù),列數(shù)減1,59,作為增廣矩陣，該矩陣對應(yīng)的線性方程組為,作為增廣矩陣，該矩陣對應(yīng)的線性方程組有唯一解,階梯形方程組,該方程組有唯一解,階梯形矩陣中，,非零行的行數(shù),列數(shù)減1,60,作為增廣矩陣，該矩陣對應(yīng)的線性方程組為,階梯形方程組,該方程組無解,方程組中出現(xiàn) 0 =1,出現(xiàn)某一行，該行只有最后一列元素不為 0,作為增廣矩陣，該矩陣對應(yīng)的線性方程組無解,階梯形矩陣,用初等行變換化增廣矩陣為行階梯形矩

13、陣,消元法解方程組的矩陣表示：,根據(jù)階梯形矩陣的特征來判斷方程組解的情況。,61,該矩陣對應(yīng)的線性方程組有無窮多解；,2. 階梯形矩陣中，非零行的行數(shù) = 列數(shù)減1，,該矩陣對應(yīng)的線性方程組有唯一解；,3. 階梯形矩陣中，出現(xiàn)某一行，該行只有最后一列 元素不為0，,該矩陣對應(yīng)的線性方程組無解。,例：求解非齊次線性方程組,解：,原線性方程組有無窮多解,62,階梯形矩陣中，非零行的行數(shù)為3,小于列數(shù)減1（5-1=4），,例：求解非齊次線性方程組,解：,原線性方程組無解,63,階梯形矩陣中，第三行只有最后一列元素為0，,64, ,2,65,4 ,66, ,易算出,67,回代,最簡行階梯形矩陣,4 非

14、零行的第一個非零元為1; 5 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,求解方程組的矩陣表示:,由最后一個矩陣得方程組的解,68,將增廣矩陣先化為行階梯形,再將行階梯形化為最簡行階梯形,所謂矩陣的初等列變換是指下列三種變換, 用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一列；, 將矩陣的某一列的倍數(shù)加到另一列；, 交換矩陣中兩列的位置,定義4,矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱初等變換。,69,定義1線性方程組的初等變換是指下列三種變換, 用一個非零的數(shù)乘某一個方程；, 將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上；, 交換兩個方程的位置,性質(zhì)線性方程組經(jīng)初等變換后，得到的線性方程組,與原線性方程組同解,小結(jié),70,用初等變換化線

15、性方程組為階梯形方程組，,若階梯形方程組中出現(xiàn)“0=非零常數(shù)”,否則有解。,方程個數(shù) = 未知數(shù)個數(shù)，,有解的情況下：,71,在階梯形方程組中,有唯一解；,有無窮多解。,方程組無解，,消元法解方程組的過程：,由 mn 個數(shù) 排成的 m 行 n 列的數(shù)表,稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣,記作,矩陣,定義,72,所謂矩陣的初等行變換是指下列三種變換, 用一個非零的數(shù)乘矩陣的某一行；, 將矩陣的某一行的倍數(shù)加到另一行；, 交換矩陣中兩行的位置,定義2,定義3,稱具有以下形式的矩陣為行階梯形矩陣。,73,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,定理,任何一個矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總能變成階梯形矩陣。,用初等行變換化增廣矩陣為行階梯形矩陣,消元法解方程組的矩陣表示：,根據(jù)階梯形矩陣的特征來判斷方程組解的情況。,74,該矩陣對應(yīng)的線性方程組有無窮多解；,2. 階梯形矩陣中，非零行的行數(shù)