1、Hamilton算子:Laplace算子:MATLAB的PDE工具箱能解的方程類(lèi)型:橢圓型PDE: 為有界平面.c, a, f,和 未知量u 是標(biāo)量,且是定義在上的 復(fù)函數(shù). c 可以是 上的22的矩陣函數(shù). 拋物型PDE雙曲型PDE特征值問(wèn)題d 是 上的復(fù)函數(shù), 是未知的特征值. 對(duì)于拋物和雙曲型 PDE ,參數(shù) c, a, f, 和d 可依賴(lài)時(shí)間t. 非線(xiàn)性求解器可解非線(xiàn)性橢圓 PDE所謂非線(xiàn)性橢圓 PDE就是橢圓PDE中的參數(shù) c, a和 f是(未知函數(shù))u的函數(shù).對(duì)于如何使用非線(xiàn)性求解器,還需做特別的介紹.還能求方程組等其他一些的問(wèn)題.下面是針對(duì)標(biāo)量u而定義的邊界條件:狄利克雷邊界條件

2、: hu=r on Dirichlet: hu = r 廣義黎曼條件Generalized Neumann: on . 是邊界上單位向外法向量. g, q, h和r 是定義在上的復(fù)值函數(shù). (特征值問(wèn)題是齊次條件問(wèn)題,即 g = 0, r = 0.)在非線(xiàn)性情形下,系數(shù)g, q, h和r可以依賴(lài)于u,對(duì)于雙曲和拋物型PDE,系數(shù)可以依賴(lài)于時(shí)間t. 對(duì)于2維方程組系統(tǒng), Dirichlet 邊界條件是:廣義Neumann 條件是:混合邊界條件是: 此處 的計(jì)算要滿(mǎn)足 Dirichlet 邊界條件. 典型方程的計(jì)算實(shí)例1. 單位圓上的Possion方程的邊值問(wèn)題: (此問(wèn)題有精確解)2. 散射問(wèn)題

3、一塊圓形金屬片,中心挖去一正方形,外邊界滿(mǎn)足Neumann條件,內(nèi)邊界滿(mǎn)足Dirichlet條件,考慮以-x方向的入射波.得到求解此入射波的反射問(wèn)題:3. 最小曲面問(wèn)題平面上一圓形區(qū)域,求此區(qū)域上具有最小面積的函數(shù)u(x,y),且在區(qū)域邊界上滿(mǎn)足.此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下的偏微分方程問(wèn)題:4. 設(shè)區(qū)域?yàn)閱挝粓A,求解此問(wèn)題的精確解為:5. 熱傳導(dǎo)方程:帶有矩形孔的矩形金屬板的熱傳導(dǎo)問(wèn)題外邊界頂點(diǎn)坐標(biāo)(-0.5,-0.8),(0.5,-0.8),(0.5,0.8),(-0.5,0.8).內(nèi)邊界頂點(diǎn)坐標(biāo)(-0.05,-.4),(0.05,-0.4),(0.05,0.4),(-0.05,0.4).6. 二維波動(dòng)方程的定解問(wèn)題:7 特征值問(wèn)題的例 此問(wèn)題的精確解為:特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為:練習(xí):