1、第一章概率論的基本概念定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個結(jié)果樣本點(diǎn)組成樣本空間S，S的子集為E的隨機(jī)事件，單個樣本點(diǎn)為基本事件事件關(guān)系：1AB，A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生2AB和事件，A，B至少一個發(fā)生，AB發(fā)生3AB記AB積事件，A，B同時發(fā)生，AB發(fā)生4AB差事件，A發(fā)生，B不發(fā)生，AB發(fā)生5AB=，A與B互不相容(互斥)，A與B不能同時發(fā)生，基本事件兩兩互不相容6AB=S且AB=，A與B互為逆事件或?qū)α⑹录?，A與B中必有且僅有一個發(fā)生，記B=事件運(yùn)算：交換律、結(jié)合律、分配率略德摩根律：，概率：概率就是n趨向無窮時的頻率，記P(A)概率性質(zhì):1P()=02(有限可加性)P(A1A2An)=P(A1)+P(A2

2、)+P(An)，Ai互不相容3若AB，則P(BA)=P(B)P(A)4對任意事件A，有5P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)古典概型：即等可能概型，滿足：1S包含有限個元素2每個基本事件發(fā)生的可能性相同等概公式：超幾何分布：，其中條件概率：乘法定理：全概率公式：，其中為S的劃分貝葉斯公式：，或獨(dú)立性：滿足P(AB)=P(A)P(B)，則A，B相互獨(dú)立，簡稱A，B獨(dú)立定理一：A，B獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)定理二：A，B獨(dú)立，則A與，與，與也相互獨(dú)立第2章 隨機(jī)變量及其分布(01)分布：，k=0，1 （0p1）伯努利實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果：A及二項式分布：記Xb（n，p），n重伯努

3、利實(shí)驗(yàn)：獨(dú)立且每次試驗(yàn)概率保持不變其中A發(fā)生k次，即二項式分布泊松分布：記X（），泊松定理：，其中當(dāng)，應(yīng)用泊松定理近似效果頗佳隨機(jī)變量分布函數(shù)：，連續(xù)型隨機(jī)變量：，X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度概率密度性質(zhì)：1；2；3；4，f(x)在x點(diǎn)連續(xù)；5PX=a=0均勻分布：記XU(a，b)；性質(zhì)：對acc+lb，有指數(shù)分布：；無記憶性：正態(tài)分布：記；性質(zhì)：1f(x)關(guān)于x=對稱，且P-hX=Pz=，00(或g(x)x1時，F(xiàn)（x2，y）F（x1，y）；y2y1時，F(xiàn)（x，y2）F（x，y1）20F（x，y）1且F（，y）=0，F(xiàn)（x，）=0，F(xiàn)（，）=0，F(xiàn)（+，+）=13F（

4、x+0，y）=F（x，y），F(xiàn)（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)4對于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有Px1Xx2，y10有或，定義：Y1，Y2，Y n ，是一個隨機(jī)變量序列，a是一個常數(shù)若對任意0，有則稱序列Y1，Y2，Y n ，依概率收斂于a記伯努利大數(shù)定理：對任意0有或其中f A是n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率中心極限定理定理一：設(shè)X1,X2,X n ,相互獨(dú)立并服從同一分布，且E(X k)=，D(X k)=2 0，則n時有近似的 N(0，1)或N(0，1)或N(，)定理二：設(shè)X1,X

5、2,X n ,相互獨(dú)立且E(X k)= k，D(X k)= k2 0，若存在0使n時，則N(0，1)，記定理三：設(shè)，則n時，(0，1)，第六章樣本及抽樣分布定義：總體：全部值；個體：一個值；容量：個體數(shù)；有限總體：容量有限；無限總體：容量無限定義：樣本：X1,X2,X n 相互獨(dú)立并服從同一分布F的隨機(jī)變量，稱從F得到的容量為n的簡單隨機(jī)樣本頻率直方圖：圖形：以橫坐標(biāo)小區(qū)間為寬，縱坐標(biāo)為高的跨越橫軸的幾個小矩形橫坐標(biāo)：數(shù)據(jù)區(qū)間（大區(qū)間下限比最小數(shù)據(jù)值稍小，上限比最大數(shù)據(jù)值稍大；小區(qū)間：均分大區(qū)間，組距=大區(qū)間/小區(qū)間個數(shù)；小區(qū)間界限：精度比數(shù)據(jù)高一位）圖形特點(diǎn)：外輪廓接近于總體的概率密度曲線縱

6、坐標(biāo)：頻率/組距（總長度：1/；小區(qū)間長度：頻率/組距）定義：樣本p分位數(shù)：記xp，有1樣本xi中有np個值xp2樣本中有n(1p)個值xp箱線圖：xp選擇：記分位數(shù)x0.5，記為Q2或M，稱為樣本中位數(shù)分位數(shù)x0.25，記為Q1，稱為第一四分位數(shù)分位數(shù)x0.75，記為Q3，稱為第三四分位數(shù)圖形：min Q1 M Q3 max 圖形特點(diǎn)：M為數(shù)據(jù)中心，區(qū)間min，Q1，Q1，M，M，Q3，Q3，max數(shù)據(jù)個數(shù)各占1/4，區(qū)間越短數(shù)據(jù)密集四分位數(shù)間距：記IQR=Q3Q1；若數(shù)據(jù)XQ3+1.5IQR，就認(rèn)為X是疑似異常值抽樣分布：樣本平均值：樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本k階(原點(diǎn))矩：，k1樣本k階

7、中心矩：，k2經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)：，表示F的一個樣本X1,X2,X n 中不大于x的隨機(jī)變量的個數(shù)自由度為n的2分布：記22（n），其中X1,X2,X n是來自總體N(0，1)的樣本E(2 )=n，D(2 )=2n12+222（n1+n2）2分布的分位點(diǎn)：對于040)，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)自由度為n的t分布：記tt (n)，其中XN(0，1)，Y2(n)，X，Y相互獨(dú)立h(t)圖形關(guān)于t=0對稱；當(dāng)n充分大時，t分布近似于N(0，1)分布t分布的分位點(diǎn)：對于045時，t (n)z，z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)自由度為(n1，n2)的F分布：記FF(n1，n2)，其中U2(n1)，V2(n2)，

8、X，Y相互獨(dú)立1/FF(n2，n1)F分布的分位點(diǎn)：對于01，滿足，則稱為的上分位點(diǎn)重要性質(zhì)：F1(n1，n2)=1/F(n1，n2)定理一：設(shè)X1,X2,X n 是來自N(，2)的樣本，則有，其中是樣本均值定理二：設(shè)X1,X2,X n 是來自N(，2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為，則有1；2與相互獨(dú)立定理三：設(shè)X1,X2,X n 是來自N(，2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為，則有定理四：設(shè)X1,X2,X n1 與Y1,Y2,Y n2分別是來自N(1，12)和N(2，22)的樣本，且相互獨(dú)立設(shè)這兩個樣本的樣本均值和樣本方差分別記為，則有12當(dāng)12=22=2時，其中，第七章參數(shù)估計定

9、義：估計量：，估計值：，統(tǒng)稱為估計矩估計法：令=()(k為未知數(shù)個數(shù))聯(lián)立方程組，求出估計設(shè)總體X均值及方差2都存在，則有，最大似然估計法：似然函數(shù)：離散：或連續(xù)：，化簡可去掉與無關(guān)的因式項即為最大值，可由方程或求得當(dāng)多個未知參數(shù)1，1，k時：可由方程組或（）求得最大似然估計的不變性：若u=u()有單值反函數(shù)=(u)，則有，其中為最大似然估計截尾樣本取樣：定時截尾樣本：抽樣n件產(chǎn)品，固定時間段t0內(nèi)記錄產(chǎn)品個體失效時間(0t1t2tmt0)和失效產(chǎn)品數(shù)量定數(shù)截尾樣本：抽樣n件產(chǎn)品，固定失效產(chǎn)品數(shù)量數(shù)量m記錄產(chǎn)品個體失效時間(0t1t2tm)結(jié)尾樣本最大似然估計：定數(shù)截尾樣本：設(shè)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)

10、分布Xe（），即產(chǎn)品平均壽命產(chǎn)品ti時失效概率Pt=tif(ti)d ti，壽命超過tm的概率，則，化簡得，由得：，其中s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，稱為實(shí)驗(yàn)總時間定時截尾樣本：與定數(shù)結(jié)尾樣本討論類似有s(t0)=t1+t2+tm+(nm)t0，無偏性：估計量的存在且，則稱是的無偏估計量有效性：與都是的無偏估計量，若，則較有效相合性：設(shè)的估計量，若對于任意有，則稱是的相合估計量置信區(qū)間：，和分別為置信下限和置信上限，則是的一個置信水平為置信區(qū)間，稱為置信水平，正態(tài)樣本置信區(qū)間：設(shè)X1，X2，Xn是來自總體XN(，2)的樣本，則有的置信區(qū)間：樞軸量W W分布 a，b不等式 置信水平

11、 置信區(qū)間其中z/2為上分位點(diǎn)置信區(qū)間的求解：1先求樞軸量：即函數(shù)W=W(X1，X2，Xn；)，且函數(shù)W的分布不依賴未知參數(shù)如上討論標(biāo)注2對于給定置信水平，定出兩常數(shù)a，b使PaW50時，若令，則有置信區(qū)間(，）單側(cè)置信區(qū)間：若或，稱(，)或(，)是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限（置信水平為）待估其他樞軸量W的分布置信區(qū)間單側(cè)置信限一個正態(tài)總體2已知，2未知，2未知，兩個正態(tài)總體1212，22已知1212=22=2未知12/221，2未知，單個總體XN(，2)，兩個總體XN(1，12)，YN(2，22)第八章假設(shè)實(shí)驗(yàn)定義：H0：原假設(shè)或零假設(shè)，為理想結(jié)果假設(shè)；H1：備擇假設(shè)，原假設(shè)被拒絕后可供選擇的假設(shè)第類錯誤：H0實(shí)際為真時，卻拒絕H0第類錯誤：H0實(shí)際為假時，卻接受H0顯著性檢驗(yàn)：只對犯第第類錯誤的概率加以控制，而不考慮第類錯誤的概率的檢驗(yàn)P當(dāng)H0為真拒絕H0，稱為顯著水平拒絕域：取值拒絕H0臨界點(diǎn)：拒絕域邊界雙邊假設(shè)檢驗(yàn)：H0：=0，H1：0右邊檢驗(yàn)：H0：0，H1：0左邊檢驗(yàn)：H0：0，H1：0zz00tt(n1)0zz1212tt(n1+n22)12120222(n1)202222FF(n11，n21)1222120tt(n1)D0D0tt(n1)D=0D0|t|t2(n1)檢驗(yàn)方