1、2021新亮劍高考總復(fù)習(xí)平面向量第五章第3節(jié)平面向量的數(shù)量積1磨劍課前自學(xué)目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學(xué)高考動(dòng)態(tài)拓展知識(shí)知識(shí)查缺補(bǔ)漏磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄4最新考綱考向分析1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2. 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3. 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4. 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5. 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.6. 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題1.平面向量的數(shù)量積是高考的熱點(diǎn),主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、幾何意義

2、,兩向量的模、夾角以及垂直問題. 2.數(shù)量積的綜合應(yīng)用是高考的重點(diǎn),常與函數(shù)、三角函 數(shù)、不等式、解析幾何等內(nèi)容結(jié)合考查高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄一、平面向量的數(shù)量積|a|b|cos 1.定義:已知兩個(gè)非零向量 a 與 b,它們的夾角為 ,則數(shù)量叫作 a與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作 ab,即 ab=|a|b|cos .規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0,即 0a=0.5高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄2.向量的夾角(1)定義:已知兩個(gè)非零向量 a 和 b,如右圖,作 =a, =b,則AOB=(0180)叫作 a 與 b 的夾角,記作.(2)當(dāng) =0時(shí),a 與 b 共線同向;當(dāng) =

3、180時(shí),a 與 b 共線反向;當(dāng) =90時(shí),a 與 b 互相垂直.3.幾何意義:數(shù)量積 ab 等于 a 的長(zhǎng)度|a|與 b 在 a 方向上的投影|b|cos ( 為向量 a與 b 的夾角)的乘積. 6高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)x1x2+y1y2 (1)ab=|a|b|c 2 + 2 (2)|a|= =;11(3)cos = =1 2 +1 2;| 2+ 2 2+ 21122x1x2+y1y2=0 (4)ab=0;(5)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)等號(hào)成立)|x1x2+y1y2| 2+ 2 1127高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄三、平面

4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律1. ab=ba(交換律).2. ab=(ab)=a(b)(數(shù)乘結(jié)合律). 3.(a+b)c=ac+bc(分配律).8高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄1. 向量 a,b 的夾角為銳角ab0 且 a,b 不共線;向量 a,b 的夾角為鈍角ab0 且 a,b 不共線.2. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式(1)(a+b)( a-b)=a2-b2; (2)(a+b)2=a2+2ab+b2;(3)(a-b)2=a2-2ab+b2.9高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1) 一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影為數(shù)

5、量,且有正有負(fù),也可為零.(2) 若 ab,則必有 ab0.().).).(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的加、減、數(shù)乘的運(yùn)算結(jié)果是向量.(4)若 ab0,則向量 a,b 的夾角為鈍角.(答案解析10目 錄查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)解析(1)正確.由向量投影的定義可知,當(dāng)兩向量夾角為銳角時(shí)投影為正,為鈍角時(shí)投影為負(fù),為直角時(shí)投影為零.(2) 錯(cuò)誤.當(dāng) a 與 b 有一個(gè)為 0 時(shí),ab=0.(3) 正確.由數(shù)量積與向量線性運(yùn)算的意義可知正確. (4)錯(cuò)誤.當(dāng) ab=-|a|b|0 時(shí),a 與 b 的夾角為 .11目 錄查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)【基礎(chǔ)自測(cè)】1.(湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)

6、2020 屆高三月考)已知向量 a=(k,-2),b=(2,2),a+b 為非零向量,若 a(a+b),則實(shí)數(shù) k 的值為(A).A.0B.2C.-2D.1解析a(a+b),a(a+ba+b 為非零向量,即 k+20,k=0.答案解析12目 錄查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)2.(2020 屆貴州黔東南州一模)已知在梯形 ABCD 中,ABCD,AB=2CD,且DAB=90, AB=2,AD=1,若點(diǎn) Q 滿足 =2 ,則 =().DA.-10B.10C.-13D.139999解析以 A 為原點(diǎn),AB 所在直線為 x 軸,AD 所在直線為 y 軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則 B(2,0),C

7、(1,1),D(0,1).4 ,0 ,所以 = - 1 ,1 , = - 4 ,1 ,因?yàn)?=2 ,所以 Q 333所以 =4+1=13.99答案解析13目 錄查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)3.(山西省晉城市 2020 屆高三第三次模擬)設(shè)向量 m=(2,4),n=(-3,)(R),若 m3 2n,則 =.解析依題意,mn=0,即-6+4=0,解得 =3.2答案解析14目 錄查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)4.已知點(diǎn) A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量 在 方向上的投影為 2.3 2解析 =(2,1), =(5,5),由定義知, 在 方向上的投影為 = 15=3 2

8、.| |5 22答案解析15目 錄查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)【易錯(cuò)檢測(cè)】5.已知向量 a,b 的夾角為 60, |a|=2,|b|=1,則|a+2b|= 2 3.解析( 法 一 )|a+2b|= ( + 2)2= 2 + 4 + 42= 22 + 4 2 1 cos60 + 4 12= 12=2 3.(法二:數(shù)形結(jié)合法) 由|a|=|2b|=2 可知,以 a 與 2b 為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為 2 的菱形 OACB,如圖,則|a+2b|=| |.又AOB=60, 所以|a+2b|=2 3. 答案解析16目 錄查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)-36.已知正三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為 1,且 =c, =a,

9、 =b,則 ab+bc+ac= 2.解析由題意知=120, |a|=|b|=|c|=1,ab=bc=ac=11cos 120=-1,2ab+bc+ac=-3.2答案解析1718目 錄悟劍課堂精講考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄考點(diǎn) 1例 1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 (1)(2020 屆成都模擬)已知菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2,B=,點(diǎn) P 滿足 = ,3R,若 =-3,則 的值為().AA.1B.-1C.1D.-12233(2)(遼寧省朝陽市重點(diǎn)高中 2020 屆高三模擬)已知 P 為等邊三角形 ABC 所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且 = (R),若| |=2,則 ( + )=(

10、C).D.與 有關(guān)的數(shù)值A(chǔ).2 3B.3C.6答案解析19考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析(1)(法一)由題意可得 =22cos =2, =( + )( -3 )=( + )( - )- =( + )( -1) - =(1-) 2- +(1-) - 2=4(1-)-2+2(1-)-4=-6=-3,=1.2(法二)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則 B(2,0),C(1, 3),D(-1, 3). 令 P(x,0),由 =(-3, 3)( x-1,- 3)=-3x+3-3=-3x=-3,解得 x=1. = ,=1.2 20考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄(2) 如圖,以 BC 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) O,

11、BC 所在直線為 x 軸,OA 所在直線為 y 軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)閨 |=2,所以| |= 3,因?yàn)?P 為等邊三角形 ABC 所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且 = (R), 所以點(diǎn) P 在直線 BC 上,所以 在 方向上的投影為| |,因此 ( + )=2 =2| |2=6.21考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄方法總結(jié)：平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法:(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即 ab=|a|b|cos. (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.提示:解決涉及幾何

12、圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí),可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算,但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ). 22考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄【針對(duì)訓(xùn)練 1】1.(2020 屆上饒模擬)設(shè) D,E 為正三角形 ABC 的 BC 邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn),且BC=2,則 等于(C).A.4B.8C.26D.269993答案解析23考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析如圖, | |=| |=2,=60,D,E 是邊 BC 的兩個(gè)三等分點(diǎn),1 1 2 1 1 2 = + = + + + 333333=2| |2+5 +2| |2=24+5221+24=26.99

13、99929924考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄2.(天津市部分區(qū) 2020 屆高三聯(lián)考)已知菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2,ABC=60,22點(diǎn) E,F 分別在邊 AD,DC 上, =1( + ), =1 ,則 =. 323解析如圖,連接 AC,BD,交點(diǎn)為 O,以 O 為原點(diǎn),以 OC,OD 所在直線分別為 x 軸,y 軸建立平面直角坐標(biāo)系.菱形的邊長(zhǎng)為 2,ABC=60,A(-1,0),B(0,- 3),C(1,0),D(0, 3). =1( + ),E 為 AD 的中點(diǎn),E - 1 , 3 .222 =1 ,F1 , 2 3 . = - 1 , 3 3 , = 1 , 5 3 , 3332

14、233答案解析 =-1+15=22.62325 考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄考點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用考向 1:平面向量的模例 2A. 2(1)(2020 屆昆明調(diào)研)已知向量 a=(-1,2),b=(1,3),則|2a-b|=(C).B.2C. 10D.10(2) 如圖,在ABC 中,O 為 BC 的中點(diǎn),若 AB=1,AC=3, 與 的夾角為 60, 則 13| |=. 2答案解析26考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析(1)因?yàn)?a=(-1,2),所以 2a=(-2,4),因?yàn)?b=(1,3),所以 2a-b=(-3,1),所以|2a-b|= 10,故選 C.(2) =| | |

15、cos 60 =131=3,又 =1( + ),222所以 2=1( + )2=1( 2+2 + 2),44即 2=1(1+3+9)=13,44所以| |= 13.227考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄方法總結(jié)：求平面向量的模的常用方法:1.若向量 a 是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,可直接利用公式|a|= 2 + 2求向量 a 的模;2.若向量 a,b 是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,可應(yīng)用公式|a|2=a2=aa,或|ab|2=(ab)2=a22ab+b2 求向量的模,即先求向量模的平方,再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解. 28考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄考向 2:平面向量的夾角例 3(1)(廣東省潮州市 2020

16、屆高三第二次模擬)已知向量 a,b 為單位向量,且a+b 在 a 的方向上的投影為 3+1,則向量 a 與 b 的夾角為(). 2A.B.C.D.6432(2)若向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知 2a-3b 與 c 的夾角為鈍角,則 k 的取值 -,- 9 - 9 ,3 范圍是. 22答案解析29考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析(1)設(shè)向量 a 與 b 的夾角為 ,因?yàn)橄蛄?a,b 為單位向量,且 a+b 在 a的方向上的投影為 3+1,所以(a+b)a=|a| 3 + 1 ,變形可得 1+ab= 3+1,即222ab=11cos =cos = 3,又 0,則 =

17、.26(2)因?yàn)?2a-3b 與 c 的夾角為鈍角,所以(2a-3b)c0,即(2k-3,-6)(2,1) 0,所以 4k-6-60,所以 k3.又當(dāng) k=-9時(shí),(2a-3b)c,2所以 k 的取值范圍是 k3 且 k-9.230考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄方法總結(jié)：求向量夾角問題的方法:(1)當(dāng) a,b 是非坐標(biāo)形式時(shí),要求 a 與 b 的夾角 ,需求出 ab 及|a|,|b|或得出它們之間的關(guān)系.1 2 +1 2(2)若已知 a=(x1,y1)與 b=(x2,y2),則 cos=. 2 + 2 2+ 21122提醒:0,. 31考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄考向 3:平面向量的垂直問題

18、例 4(1)(江西省臨川第一中學(xué) 2020 屆高三模擬)已知向量 a=(2,1),b=(m,-1),且 a(a-b),則 m 的值為(). C.1 或 3A.1B.3D.4(2)(2016 年全國(guó)卷)設(shè)向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m= -2.答案解析32考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析(1)因?yàn)?a=(2,1),b=(m,-1),所以 a-b=(2-m,2),因?yàn)?a(a-b),所以 a( a-b)=2(2-m)+2=0,解得 m=3.(2)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得 ab=0,所以 m1+12=0,得 m=-2.33考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)

19、成高考真題目 錄方法總結(jié)：平面向量垂直問題的類型及求解方法:(1) 判斷兩向量垂直:第一,計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo);第二,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為 0 即可.(2) 已知兩向量垂直求參數(shù):根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解參數(shù). 34考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄【針對(duì)訓(xùn)練 2】1.(江西撫州 2020 屆高三第三次聯(lián)考)已知向量 a=(x,1),b=(4,-2),若 ab,則|a+b|= 5 .解析由 ab,得-2x=4,即 x=-2,則 a+b=(2,-1),所以|a+b|= 5.答案解析35考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄2.已知平面向量 a,

20、b 的夾角為 ,且|a|= 3,|b|=2,在ABC 中, =2a+2b, =2a-6b,D6 ).為 BC 中點(diǎn),則| |等于(A.2B.4C.6D.8因?yàn)?=1( + )=1(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,解析22所 以 | |2=4(a-b)2=4(a2-2ab+b2)=4 3-2 2 3 cos + 4 =4,6則| |=2.答案解析36考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄3.(山西省太原市 2020 屆高三模擬)已知|a|=1,|b|= 3,且(a+b)(3a+b),則向量 a 與b 的夾角為(A.60 ).B.120C.30D.150解析因?yàn)?a+b)(3a+b),所以(a+b)

21、(3 a+b)=0,即 3a2+4ab+b2=0,所以-6=- 3,所以=150.3+3+4 3cos=0, 即 cos=4 32答案解析37考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄4.已知向量 a=(x2,x+2),b=(- 3,-1),c=(1, 3),若 ab,則 a 與 c 的夾角為(). A.B.C.2D.56336cos= =-2 3=- 3,由 x20 且 ab 得 a,b 反向共線,則解析|42cos=-cos= 3,又0,則= .26答案解析38考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄5.(湖北省武漢市 2020 屆高考數(shù)學(xué)模擬)已知向量 a=(1,2),b=(2,1),c=(1,n),若(2a

22、-3b)c,則 n= 4.解析2a-3b=(-4,1),(2a-3b)c,(2a-3b)c=0,n=4.答案解析39考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄 36.已知向量 a,b 均為非零向量,(a-2b)a,(b-2a)b,則 a,b 的夾角為.解析因?yàn)?a-2b)a,(b-2a)b,所以(a-2b)a=0,(b-2a)b=0,即 a2-2ab=0,b2-2ab=0,所以 b2=a2=2ab,2即 cos= = 2=1.|22因?yàn)?,所以= .3 答案解析40考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄考點(diǎn)3平面向量與三角函數(shù)的綜合例 5已知向量 a= cos 3 ,sin 3 ,b= cos ,-sin ,且

23、x - , .222234(1) 求 ab 及|a+b|;(2) 若 f(x)=ab-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值.解析41考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析(1)ab=cos3cos-sin3sin=cos 2x.2222a+b= cos 3 + cos ,sin 3 -sin,222222|a+b|= cos 3 + cos + sin 3 -sin = 2 + 2cos2=2|cos x|.2222x - , ,cos x0,|a+b|=2cos x.342-3.(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2 cos- 1 22x - , ,1

24、cos x1,342當(dāng) cos x=1時(shí),f(x)取得最小值,最小值為-3;當(dāng)cos x=1 時(shí),f(x)取得最大值,最22大值為-1.42考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄方法總結(jié)：平面向量與三角函數(shù)的綜合:(1) 題目條件給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式,運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解.(2) 給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式,解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等. 43考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄【針對(duì)訓(xùn)練 3】在ABC 中,A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c,已知向量m= cos,2c

25、os2 -1 ,n=(c,b-2a), 且 mn=0.2(1)求 C 的大小;(2)若點(diǎn) D 為邊 AB 上一點(diǎn),且滿足 = ,| |= 7,c=2 3,求ABC 的面積.解析44考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析(1)因?yàn)?m=(cos B,cos C),n=(c,b-2a),mn=0,所以 ccos B+(b-2a)cos C=0.在ABC 中,由正弦定理得 sin Ccos B+(sin B-2sin A)cos所以 sin A=2sin Acos C,C=0,又 sin A0,所以 cos C=1,因?yàn)?C(0,),所以 C= .23(2)由 = 得 - = - ,所以 2 = + ,

26、兩邊平方得 4| |2=b2+a2+2abcosACB=b2+a2+ab=28.又 c2=a2+b2-2abcosACB,所以 a2+b2-ab=12.=1absinACB=2 3.由得 ab=8,所以 SABC2 45考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄數(shù)學(xué)直觀與數(shù)算解析法在平面向量中的應(yīng)用例(1)已知在直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADC=90, AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的動(dòng)點(diǎn),則| +3 |的最小值為 5.(2)已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2,E 是 BC 的中點(diǎn),以 C 為圓心,CE 的長(zhǎng)為半徑作圓,點(diǎn) 2- 5,2+ 5. P,答案解析46考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄(1)如圖,以 D 為原點(diǎn),分別以 DA,DC 所在的直線為 x 軸,y 軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè) DC=a,DP=m,0ma,則 D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,m), =(2,-m), =(1,a-m), +3 =(5,3a-4m),| +3 |2=25+(3a-4m)225,當(dāng)且僅當(dāng) m=3時(shí)等號(hào)成立,4| +3 |的最小值為 5.47考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄(2)以 C 為原點(diǎn)建立如圖所示的