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文檔簡介

1、,4,例1.,求圓柱螺旋線,對應點處的切線方程和法平面方程.,切線方程,法平面方程,即,即,解: 由于,對應的切向量為,在, 故,7,10,8.8.2、曲面的切平面與法線,設 有光滑曲面,P是曲面上點，則,曲面上過P點的所有曲線在P點的切線位于同一平面上，該平面稱為曲面在P點的切平面。,11,設 有光滑曲面,通過其上定點,對應點 M,切線方程為,不全為0 .,則 在,且,點 M 的切向量為,任意引一條光滑曲線,下面證明:,此平面稱為 在該點的切平面., 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都,在同一平面上.,12,證:,在 上,得,令,由于曲線 的任意性 ,表明這些切線都在以,為,法向量的平面上

2、,從而切平面存在 .,13,曲面 在點 M 的法向量,法線方程,切平面方程,15,曲面,時,則在點,故當函數,法線方程,令,特別, 當光滑曲面 的方程為顯式,在點,有連續(xù)偏導數時,切平面方程,16,法向量,用,將,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分別記為,則,向上,17,20,25,P,Q,M,N,x, y,A,B,dz=AB : 切面立標的增量,z= f (x ,y), z =AN ：曲面立標的增量,過點M的切平面：,即：,dz,z,=AB+BN,.,dz,=AB,用切面立標的增量近似曲面立標的增量,dz,全微分的幾何意義,復習一元函數微分,26,用切面立標的增量近似曲面立標的增量,全微分的幾何意義,27,注：函數 在點M0 的梯度向量為,函數的等值面,上，則該點的梯度垂直于等值面，即是等值面,在該點的法向量。,二元函數有類似的性質。,補充：參考同濟大學的高等數學,作 業(yè),習 題 八,（P137）,1 (1)（2）（3

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